Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 50779.21-2004 "Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение" (утв. постановлением Госстандарта РФ от 12 января 2004 г. N 3-ст)

Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 50779.21-2004
"Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным.
Часть 1. Нормальное распределение"
(утв. постановлением Госстандарта РФ от 12 января 2004 г. N 3-ст)


Statistical methods. Determination rules and methods for calculation of statistical characteristics based on sample data.
Part 1. Normal distribution


Дата введения - 1 июня 2004 г.

Взамен ГОСТ Р 50779.21-96


Введение


Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону. В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;

в) интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;

г) проверки гипотез об этих же величинах.

Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т.п.


1. Область применения


Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:

- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

- проверки гипотез относительно значений этих параметров;

- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание - Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие "доля распределения случайной величины в интервале", которое далее применено в настоящем стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;

- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.


2. Нормативные ссылки


В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.


3. Термины и определения


В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1 точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;

3.2 интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;

3.3 доверительный интервал: Интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее 1 - альфа (где 1 - альфа - доверительная вероятность).

Примечание - Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;

3.4 нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.

Примечание - В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.


4. Обозначения


В настоящем стандарте применены следующие обозначения:


мю      - математическое   ожидание    нормального  закона  распределения
          (среднее значение генеральной   совокупности,   далее - среднее
          значение);
мю      - известное значение параметра мю;
  0
мю , мю - математические  ожидания   для  двух    различных   генеральных
  1    2
          совокупностей;
^                                       ^  ^
мю      - точечная оценка параметра мю; мю=х;

мю , мю - верхняя и нижняя доверительные границы параметра мю;
  М    L
(мю - мю )^ - точечная оценка разности значений параметров мю  и мю ;
   1    2                                                    1     2
сигма   - стандартное   (среднеквадратичное)    отклонение      нормально
          распределенной случайной величины;
                                                       2
D       - дисперсия генеральной совокупности; D = сигма ;
D       - известное     значение   дисперсии    генеральной совокупности,
 0                 2
          D = сигма ;
           0       0
сигма   - известное численное значение параметра сигма;
     0
сигма  , сигма  - известные значения параметров сигма  и сигма  для  двух
     01       02                                     1        2
         генеральных совокупностей;
  ^                                          ^
сигма   - точечная оценка параметра сигма, сигма=S;

сигма , сигма  - верхняя и нижняя доверительные границы параметра сигма;
     M       L
D       - точечная оценка дисперсии;
х       - выборочное значение наблюдаемой случайной величины;
х       - выборочное значение случайной величины из первой генеральной
 1
          совокупности;
х       - то же, из второй генеральной совокупности;
 2
n, n , n  - объемы выборок;
    1   2
_  _   _
х, х , х  - среднеарифметические значения (выборочные средние);
    1   2
                 _ 2
              (х-х)
S = кв.корень(------)  -  выборочное   стандартное   (среднеквадратичное)
              (n-1)
          отклонение;
S , S   - то же для двух выборок соответственно;
 1   2
альфа  - риск  первого  рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда  она
         верна);
(1-альфа) - уровень   значимости    при   проверке   гипотез,   а   также
            доверительная вероятность 0 < aльфа < 1;
ню      - число степеней свободы;
u       , u         - квантили   стандартного   нормального        закона
 1-альфа   1-альфа/2
         распределения уровней 1-альфа и 1 - альфа/2 соответственно;
t       (ню), t         (ню)  - квантили распределения Стьюдента    с  ню
 1-альфа       1-альфа/2
        степенями свободы уровней 1-альфа   и  1-альфа/2  соответственно;
F     (ню , ню ) - квантиль распределения Фишера с ню и ню      степенями
 1-альфа 1    2                                      1    2
         свободы уровня 1-альфа;
  2              2                2
хи       (ню), хи         (ню), хи       (ню) - квантили хи2 распределения
  1-альфа        1-альфа/2        альфа/2       с ню степенями   свободы
                                                уровней 1-альфа, 1-альфа/2
                                                и альфа/2 соответственно;
L, М    - нижняя и верхняя границы интервала соответственно;
р       - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в
          заданный интервал [L, М];
q       - доля распределения  (вероятность попадания) случайной  величины
          вне интервала [L, М ], причем q+р=1;
^  ^
p, q    - точечные оценки р и q;
p , q   - нижние односторонние доверительные границы для р и q;
 L   L
p , q   - верхние односторонние доверительные границы для р и q;
 M   M
С       - случайное событие: например, попадание случайной величины в
          заданный интервал;
Prob{C} - вероятность случайного события С;
Сумма(x) - сумма выборочных значений.

5. Общие требования


5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:

1) статистические и исходные данные;

2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.

5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).

Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.


Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения
(раздел 6)


Задача оценки среднего значения Номер таблицы
D известна D неизвестна
Оценка среднего

Сравнение среднего значения с
заданным значением

Сравнение двух средних

Оценка разности двух средних
6.1

6.3


6.5

6.7
6.2

6.4


6.6

6.8

Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии
(раздел 7)


Задача оценки дисперсии Номер таблицы
Оценка дисперсии

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с
заданным значением

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных
отклонений
7.1

7.2


7.3

Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)


Номер таблицы
D известна D неизвестна
8.2 8.3

Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)


Заданные границы
интервала
Искомая величина Номер таблицы
L

М

L, M

L

М

L, M
p_L, q_M

p_L, q_M

p_L, q_M

p_M, q_L

p_M, q_L

p_M, q_L
8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.


6. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности


6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.


Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин

Сумма(х) =

3 Известное значение дис-
персии:
2
сигма =
0

4 Выбранная доверительная
вероятность:

1 - альфа =
1 Квантиль стандартного нормаль-
ного закона распределения уровня (1 -
альфа):

u =
1-альфа

2 Квантиль стандартного нормального
закона распределения уровня
(1-альфа/2):

u =
1-альфа/2

3 Вычисляем:

_ 1
х = - Сумма(х) =
n

4 Вычисляем:
U
1-альфа
К = -------------- =
1 кв.корень(n)

5 Вычисляем:
U
1-альфа/2
К = -------------- =
2 кв.корень(n)
Результаты

1 Точечная оценка параметра мю:
^ _
мю = x =

2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для мю:

_ _
x - K сигма <= мю <= x + K сигма ,
2 0 2 0

3 Односторонние доверительные интервалы для мю:

_
мю <= х + K сигма или
1 0
_
мю >= x - K сигма ,
1 0
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения
определяют по таблице А.1 приложения A.

Примеры

1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки мю требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения мю(^) или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение мю. Интервал может быть:

- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать мю;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что мю не выше какого-то значения;

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что мю не ниже какого-то значения.

2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром сигма(2)_0), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки мю. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.


6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.


Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин

Сумма(х) =

3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:

2
Сумма(х) =

4 Степени свободы:

ню = n-1 =

5 Выбранная доверительная
вероятность

1 - альфа =
1 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа) с ню степенями
свободы:

t (ню) =
1-альфа

2 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа/2) с ню степенями
свободы:

t (ню)=
1-альфа/2

3 Вычисляем:

_ 1
х = - Сумма(х) =
n

4 Вычисляем:
_ 2 2 2
Сумма(х-х) Сумма(х)-(Сумма х)/n
----------- = --------------------- =
n-1 n-1

5 Вычисляем:
_ 2
Сумма(х-х)
S = кв.корень(-----------)=
n-1

6 Вычисляем:

t (ню)
1-альфа
l = -------------- =
1 кв.корень(n)

7 Вычисляем:

t (ню)
1-альфа/2
l = -------------- =
2 кв.корень(n)
Результаты

1 Точечная оценка параметра мю:
^ _
мю = x =

2 Точечная оценка параметра D:
2
D = S =

3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра мю:
_ _
x - l S <= мю <= x + l S.
2 2

4 Односторонние доверительные интервалы для параметра мю:
_
мю <= х + l S или (1)
1
_
мю >= x - l S. (2)
1
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1
приложения Б.

Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.


6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.


Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при известной дисперсии


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =

3 Заданное значение:

мю =
0

4 Известное значение диспер-
сии генеральной совокупности:

2
сигма =
0

или стандартного отклонения:

сигма =
0

5 Выбранный уровень значимо-
сти:

альфа =
1 Квантиль стандартного нормаль-
ного закона распределения уровня (1 -
альфа):

u =
1-альфа

2 Квантиль стандартного нормального
закона распределения уровня
(1-альфа/2):

u =
1-альфа/2

3 Вычисляем:

_ 1
х = - Сумма(х) =
n
 Результаты
 
 Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением мю :
 0
 1 В двустороннем случае:
 Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений
 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
 _
         |х - мю | > [u        /кв.корень (n)] сигма .                  
                0      1-альфа/2                    0                   
                                                                        
 2 В одностороннем случае:                                              
 а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем мю         
                                                               0        
 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:                                  
         _                                                              
         х < мю - [u        /кв.корень (n)] сигма ;                     
               0    1-альфа                      0                      
                                                                        
  б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем мю        
                                                                0       
 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:                                  
         _                                                              
         х > мю + [u        /кв.корень (n)] сигма .                     
               0    1-альфа                      0                      
 
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения
определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение сигма(2)_0 известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.


6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.


Таблица 6.4 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при неизвестной дисперсии


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =

3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:

2
Сумма(х) =

4 Заданное значение:

ню =

5 Степени свободы:

ню = n-1=

6 Выбранный уровень значимо-
сти:

альфа =
1 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа) с ню степенями
свободы:

t (ню) =
1-альфа

2 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа/2) с ню степенями
свободы:

t (ню)=
1-альфа/2

3 Вычисляем:

_ 1
х = - Сумма(х) =
n

4 Вычисляем:
_ 2 2 2
Сумма(х-х) Сумма(х)-((Сумма х)/n)
----------- = --------------------- =
n-1 n-1

5 Вычисляем:
_ 2
Сумма(х-х)
S = кв.корень(-----------)=
n-1
 Результаты
 _
 Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением мю :
 0
 1 В двустороннем случае:
 Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений
 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
 _
         |х - мю | > [t        (ню)/кв.корень(n)] S.                    
                0      1-альфа/2                                        
                                                                        
 2 В одностороннем случае:                                              
 а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем мю         
                                                               0        
 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:                                  
         _                                                              
         х < мю - [t       (ню)/кв.корень (n)] S;                       
               0    1-альфа                                             
                                                                        
 б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем мю         
                                                               0        
 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:                                  
         _                                                              
         х > мю + [t       (ню) /кв.корень (n)] S.                      
               0    1-альфа                                             
 
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1
приложения Б.

Примеры

1 То же, что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.

2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.

Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т.п.


6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.


Таблица 6.5 - Сравнение двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
Первая Вторая
выборка выборка



1 Объем n = n =
выборки: 1 2


2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
значений 1 2
наблюдаемых
величин

3 Известные 2 2
значения сигма = сигма =
дисперсий 01 02
генеральных
совокупно-
стей:
4 Выбранный
уровень альфа=
значимости:
1 Квантиль стандартного нормаль-
ного закона распределения уровня (1 -
альфа):

u =
1-альфа

2 Квантиль стандартного нормального
закона распределения уровня
(1-альфа/2):

u =
1-альфа/2

3 Вычисляем:

Сумма(х ) Сумма(х )
_ 1 _ 2
х = --------- = ; x =--------- =
1 n 2 n
2 2

4 Вычисляем:
2 2
сигма сигма
01 02
сигма = кв.корень(------- + -------)=
d n n
1 2
 Результаты
 
 Сравнение средних значений двух совокупностей:
 1 В двустороннем случае:
 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза)  отклоняет-
 ся, если:
 
 _   _
         |х - х | > u         / сигма .                                 
           1   2     1-альфа/2       d                                  
                                                                        
 2 В одностороннем случае:                                              
 а) предположение о том, что первое среднее не  менее   второго (нулевая
 гипотеза) отклоняется, если:                                           
                                                                        
         _   _                                                          
         х < х - u        сигма ;                                       
          1   2   1-альфа      d                                        
                                                                        
  б) предположение о том, что первое среднее не  более  второго (нулевая
  гипотеза) отклоняется, если:                                          
                                                                        
         _   _                                                          
         х > х + u        сигма .                                       
          1   2   1-альфа      d                                        
                                                                        
 
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения
определяют по таблице А.1 приложения А.

Примеры

1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры сигма_01 и сигма_02. Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.

2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.


6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.


Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
Первая Вторая
выборка выборка



1 Объем n = n =
выборки: 1 2


2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
значений 1 2
наблюдаемых
величин:
2 2
3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
квадратов 1 2
значений
наблюдаемых
величин:

4 Степени ню = n + n - 2 =
свободы: 1 2


5 Выбранный
уровень альфа=
значимости:
1 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа) с ню степенями
свободы:

t (ню) =
1-альфа

2 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа/2) с ню степенями
свободы:

t (ню)=
1-альфа/2

3 Вычисляем:

Сумма(х ) Сумма(х )
_ 1 _ 2
х = --------- = ; x =--------- =
1 n 2 n
1 2

4 Вычисляем:

_ 2 _ 2
Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) =
1 1 2 2

2 2 1
= Сумма(х ) + Сумма(х )- --- x
1 2 n
1


2 1 2
x (Сумма(х )) - ---(Сумма(х )) =
1 n 2
2

5 Вычисляем:

(n + n )
1 2
S = кв.корень(-------- x
d n n
1 2

_ 2 _ 2
Сумма(х - х ) + Сумма(х - х )
1 1 2 2
х --------------------------------) =
n + n - 2
1 2
 Результаты
 
 Сравнение средних значений двух совокупностей:
 1 В двустороннем случае:
 а) предположение о том, что средние мю   и мю  совпадают       (нулевая
 1      2
 гипотеза) отклоняется, если:
 _   _
         |х - х | > t         (ню) S .                                  
           1   2     1-альфа/2      d                                   
                                                                        
 2 В одностороннем случае:                                              
 а) предположение о том, что мю  >= мю  (нулевая гипотеза)  отклоняется,
                               1      2                                 
 если:                                                                  
         _   _                                                          
         х < х - t       (ню) S ;                                       
          1   2   1-альфа      d                                        
                                                                        
  б) предположение о том, что мю  <= мю  (нулевая гипотеза) отклоняется,
                                1      2                                
 если:                                                                  
         _   _                                                          
         х > х + t       (ню) S .                                       
          1   2   1-альфа      d                                        
                                                                        
                                                                        
 
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1
приложения Б.

Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.

Примеры:

1 Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

2 Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.


6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.


Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
Первая Вторая
выборка выборка



1 Объем n = n =
выборки: 1 2


2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
значений 1 2
наблюдаемых
величин:

3 Известное 2 2
значение сигма = сигма =
дисперсий 01 02
генеральной
совокупно-
сти:

4 Выбранный
уровень альфа= ,
значимости


тогда доверительная
вероятность равна
1-альфа=
1 Квантиль стандартного нормаль-
ного закона распределения уровня (1 -
альфа):

u =
1-альфа

2 Квантиль стандартного нормального
закона распределения уровня
(1-альфа/2):

u =
1-альфа/2

3 Вычисляем:

Сумма(х ) Сумма(х )
_ 1 _ 2
х = --------- = ; x =--------- =
1 n 2 n
1 2

4 Вычисляем:
2 2
сигма сигма
01 02
сигма = кв.корень(------- + -------)=
d n n
1 2
 Результаты
 1 Точечная  оценка  равности между средними значениями параметров мю  и
 1
 мю  для двух совокупностей:
 2
 ^  _    _
 (мю - мю ) = х  - х .
 1    2     1    2
 
 2 Односторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ):
 1    2
 _   _
 (мю - мю ) < (x - x ) + u       сигма  или
 1    2      1   2     1-альфа     d
 
 _   _
 (мю - мю ) > (x - x ) - u       сигма .
 1    2      1   2     1-альфа     d
 
 3 Двусторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ):
 1    2
 _   _                                     _   _
 (х - х ) - u         сигма < (мю - мю ) < (x - x ) + u          х
 1   2     1-альфа/2     d     1    2      1   2     1-альфа/2
 
 x сигма  .
 d
 
 4 Предположение равенства средних значений (нулевая  гипотеза)
 отклоняется, если:
 _   _
     |x - x | > u         сигма .                                       
       1   2     1-альфа/2     d                                        
 
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения
определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.

Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.


6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.


Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
Первая Вторая
выборка выборка



1 Объем n = n =
выборки: 1 2


2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
значений 1 2
наблюдаемых
величин:
2 2
3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
квадратов 1 2
значений
наблюдаемых
величин:

4 Степени ню = n + n - 2 =
свободы: 1 2


5 Выбранная
доверительная 1-альфа =
вероятность:
1 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа) с ню степенями
свободы:

t (ню) =
1-альфа

2 Квантиль распределения Стьюдента
уровня (1-альфа/2) с ню степенями
свободы:

t (ню)=
1-альфа/2

3 Вычисляем:

Сумма(х ) Сумма(х )
_ 1 _ 2
х = --------- = ; x =--------- =
1 n 2 n
1 2

4 Вычисляем:

_ 2 _ 2
Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) =
1 1 2 2

2 2 1
= Сумма(х ) + Сумма(х )- --- x
1 2 n
1


2 1 2
x (Сумма(х )) - ---(Сумма(х )) =
1 n 2
2

5 Вычисляем:

(n + n )
1 2
S = кв.корень(-------- x
d n n
1 2

_ 2 _ 2
Сумма(х - х ) + Сумма(х - х )
1 1 2 2
х --------------------------------) =
n + n - 2
1 2
Результаты
1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров мю и
1
мю для двух совокупностей:
2
^ _ _
(мю - мю ) = х - х .
1 2 1 2

2 Двусторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ):
1 2
_ _ _ _
(х - х ) - t (ню) S < (мю - мю ) < (x - x ) + t (ню) х
1 2 1-альфа/2 d 1 2 1 2 1-альфа/2

x S .
d

3 Односторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ):
1 2
_ _
(мю - мю ) < (x - x ) + t (ню) S или
1 2 1 2 1-альфа d
_ _
(мю - мю ) > (x - x ) - t (ню) S .
1 2 1 2 1-альфа d
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1
приложения Б.

Пример - Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны, Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.


* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.


7. Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности


7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.


Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =

3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:

2
Сумма(х) =

4 Степени свободы:

ню = n-1 =

5 Выбранная доверительная
вероятность:

1 - альфа =
2
1 Квантили Хи распределения с ню
степенями свободы уровней альфа, (1 -
альфа), альфа/2 и (1-альфа/2)
соответственно:

2
Хи (ню) =
альфа

2
Хи (ню) =
1-альфа

2
Хи (ню) =
альфа/2

2
Хи (ню) =
1-альфа/2

3 Вычисляем:

_ 2 2
Сумма(х-х) = Сумма(х) -

2
- (Сумма(х))/ n =

4 Вычисляем:
_ 2
2 Сумма(х-х)
S = ----------- =
n - 1
Результаты

1 Точечные оценки дисперсии D и стандартного отклонения сигма генера-
льной совокупности:
2 ^ 2
D = S ; сигма = кв.корень(S) .

2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D:
_ 2 _ 2
Сумма(х-х) Сумма(х-х)
--------------- < D < ----------- .
2 2
Хи (ню) Хи (ню)
1-альфа/2 альфа/2

3 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D:
_ 2
Сумма(х-х) 2
D > ------------- = сигма или (3)
2 L
Хи (ню)
1-альфа

_ 2
Сумма(х-х) 2
D < ------------- = сигма . (4)
2 M
Хи (ню)
альфа
* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения
сигма являются корнем квадратным из значений границ доверительного
интервала дисперсии D.
2
Примечание - Квантили Хи распределения определяют по таблице В.1
приложения В.

Примеры

1 Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.

2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).

Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка сигма(2) или сигма, a если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку сигма(2) или сигма с верхней доверительной границей.


7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.


Таблица 7.2 - Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =

3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:

2
Сумма(х) =

4 Заданное значение:
2
сигма = D =
0 0

5 Степени свободы:

ню = n - 1 =





6 Выбранная доверительная
вероятность:

альфа =
2
1 Квантили Хи распределения с ню
степенями свободы уровней альфа, (1 -
альфа), альфа/2 и (1-альфа/2)
соответственно:

2
Хи (ню) =
альфа

2
Хи (ню) =
1-альфа

2
Хи (ню) =
альфа/2

2
Хи (ню) =
1-альфа/2

2 Вычисляем:

_ 2 2 2
Сумма (х-х) = Сумма х - (Сумма х)/n =

3 Вычисляем:

_ 2
Сумма (х-х)
------------ =
2
сигма
0
Результаты
2
Сравнение дисперсии D с заданным значением сигма или сравнение
0
стандартного отклонения сигма с заданным значением сигма :
0
1 Двусторонний случай:
Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного
значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
_ 2 _ 2
Сумма(х-х) 2 Сумма(х-х) 2
------------ < Хи (ню) или ----------- > Хи (ню).
2 альфа/2 2 1-альфа/2
сигма сигма
0 0

2 Односторонний случай:
а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более
заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

_ 2
Сумма(х-х) 2
------------ > Хи (ню);
2 1-альфа
сигма
0

б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее
заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

_ 2
Сумма(х-х) 2
------------ < Хи (ню).
2 альфа
сигма
0
2
Примечание - Квантили Хи распределения определяют по таблице В.1
приложения В.

Примеры

1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром сигма_0) другого оборудования или технологического процесса.

2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т.е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением сигма_0.


7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.


Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
Первая Вторая
выборка выборка



1 Объем n = n =
выборки: 1 2


2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
значений 1 2
наблюдаемых
величин:
2 2
3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=
квадратов 1 2
значений
наблюдаемых
величин:

4 Степени
свободы:

ню = n - 1= ; ню = n - 1=
1 1 2 2

5 Выбранный
уровень
значимости: альфа=
1. Вычисляем:

_ 2 2 1
Сумма(х - х ) = Сумма(х - -- x
1 2 1 n
1

2
x Сумма(x ) =
1

_ 2 2 1
Сумма(х - х ) = Сумма(х )- --- x
2 2 2 n
2
2
x(cумма(х )) =
2

2 Вычисляем:
_ 2
Сумма(х - х )
2 1 1
S = -------------- =
1 n - 1
1
_ 2
Сумма(х - х )
2 2 2
S = -------------- =
2 n - 1
2

3 Квантили распределения Фишера:


F (ню , ню ) =
1-альфа/2 1 2

F (ню , ню ) =
1-альфа 1 2
Результаты
Сравнение дисперсий двух совокупностей:
1 Двустороонний случай:
Предположение равенства дисперсий или равенства двух стандартных откло-
нений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

2 2
S S
1 1 1
---- < -------------------- или ----- > F (ню , ню ).
2 F (ню , ню ) 2 1-альфа/2 1 2
S 1-альфа/2 2 1 S
2 2

2 Односторонний случай:
а) предположение о том, что D <= D (сигма <= сигма ) (нулевая гипоте-
1 2 1 2
за) отклоняется, если:

2
S
1 1
---- > --------------------;
2 F (ню , ню )
S 1-альфа/2 2 1
2

б) предположение о том, что D >= D (сигма >= сигма ) (нулевая гипоте-
1 2 1 2
за) отклоняется, если:

2
S
1 1
---- < --------------------;
2 F (ню , ню )
S 1-альфа/2 2 1
2
Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам
Г.1 - Г.9 приложения Г.

Примеры

1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.

2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.


8. Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале*


8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.


Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Среднее значение (математи-
ческое ожидание):

мю =
0

2 Стандартное отклонение:

сигма =
0

или дисперсия:

2
D = сигма =
0 0

3 Границы интервала:

нижняя L =
верхняя M =
1 Пересчитанная для стандартного нор-
мального закона эквивалентная нижняя
граница интервала:
мю - L
L 0
u = -------- =
сигма
0

2 Пересчитанная для стандартного
нормального закона эквивалентная
верхняя граница интервала:
M - мю
M 0
u = -------- =
сигма
0

3 Доля распределения случайной вели-
чины, лежащая ниже границы L:

L
q = 1 - Ф(u ) =
L

Если значение L не задано, то q =0
L

4 Доля распределения случайной
величины, лежащая выше границы М:

М
q = 1 - Ф(u ) =
М

Если значение M не задано, то q =0
М
Результаты
1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L, M]:

q = q + q .
L M

2 Доля распределения случайной величины в интервале [L, M]:

p = 1 - q .
L M
Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (-u ) представляют собой значение
функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде-
ляют по таблице А.1 приложения А.

Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров мю и сигма(2) считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2-8.9.


Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность сигма(2)_0.


* Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте, имеет понятие - "доля распределения случайной величины в интервале", хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия "вероятность попадания случайной величины в интервал".


8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.


Таблица 8.2 - Точечное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Стандартное отклонение:

сигма =
0

или дисперсия

2
D = сигма =
0 0

3 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =

3 Границы интервала:
нижняя L =
верхняя M =
1 Точечная оценка среднего значения:

^ 1
мю = --- Сумма(х) =
n


2 Пересчитанная для стандартного
нормального закона эквивалентные
границы интервала:
^
L мю - L
нижняя u = ------ =
сигма
0

^
M M - мю
верхняя u = ------ =
сигма
0

3 Точечная оценка доли распределения
случайной величины, лежащей ниже
границы L (см. таблицу 8.1):

^ L
q = 1 - Ф (u ) =
L

Если значение L не задано, то q =0
L

4 Точечная оценка доли распределения
случайной величины, лежащей выше гра-
ницы М (см. таблицу 8.1):

^ М
q = 1 - Ф(u ) =
М
^
Если значение M не задано, то q =0
М
Результаты
1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала
[L, M] :
^ ^ ^
q = q + q .
L M

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале
[L, M]:
^ ^
p = 1 - q .
L M
Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (u ) представляют собой значение
функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде-
ляют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.


8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.


Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии


Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =


3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:
2
Сумма(х ) =






4 Границы интервала:
нижняя L =
верхняя M =
1 Точечная оценка среднего значения:

^ _ 1
мю = x - --- Сумма(х) =
n

2 Вычисляем:
_ 2 2 2
Сумма(х-х ) Сумма(х )-(Сумма(х ))/n
------------=----------------------- =
n - 1 n - 1

3 Точечная оценка стандартного
отклонения:

_ 2
Сумма(х-х)
S = кв.корень(-----------) =
n - 1

4 Пересчитанные для стандартного
нормального закона эквивалентные гра-
ницы интервала:
^
L мю - L
нижняя u = ------- =
S

^
M M - мю
верхняя u = ------ =
S

5 Точечная оценка доли
распределения случайной величины,
лежащей ниже границы L (см.
таблицу 8.1):
^ L
q = 1 - Ф (u ) =
L
Если значение L не задано, то q =0
L

6 Точечная оценка доли распределения
случайной величины, лежащей выше гра-
ницы М (см. таблиwe 8.1):
^ М
q = 1 - Ф(u ) =
М
^
Если значение M не задано, то q =0
М
Результаты
1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала
[L, M] :
^ ^ ^
q = q + q .
L M

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале
[L, M]:
^ ^
p = 1 - q .
L M
Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (u ) представляют собой значение
функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде-
ляют по таблице А.1 приложения А.

Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.


8.4 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.4.

Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины X и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и М для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т.п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.


Примеры

1 Определение уровня несоответствий для показателя "толщина гальванопокрытия". Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества "твердость после термической обработки". Требование (допуск) одностороннее: L=45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы q_M на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница p_L на долю продукции, соответствующей требованию, т.е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки p_L и q_M в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 - альфа):

истинная доля годной продукции - не менее p_L;

истинная доля несоответствующей продукции - не более q_M.


Таблица 8.4 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)


Необходимые условия Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >=
M L

>= 1 - альфа
Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =


3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:
2
Сумма(х ) =

4 Степени свободы:

ню = n - 1 =

5 Выбранная доверительная
вероятность:

1 - альфа =

6 Нижняя граница односторон-
него интервала:

L =
1 Устанавливаем соответственно три
пары доверительных вероятностей:

j
(1 - альфа ) = для мю и
мю

j
(1 - альфа ) = для сигма, причем
сигма

j j
(1 - альфа )(1 - альфа ) =
мю сигма

= 1 - альфа,

где j = 1, 2, 3, тогда

1
альфа = 1/4 альфа;
мю

2
альфа = 1/2 альфа;
мю

3
альфа = 3/4 альфа;
мю

j j
альфа = (альфа - альфа )/
сигма мю

j
/(1 - альфа ).
мю

2 Процедура доверительного оценивания
среднего значения и стандартного от-
клонения:
2.1 Интервальная оценка параметра мю
с доверительной вероятностью
1 - альфа :
мю

мю = х - l S
L 1

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра
сигма с доверительной вероятностью
(1 - альфа ):
сигма

2
сигма = кв.корень(сигма )
М М

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание - Указанную процедуру пов-
торяют три раза.

3 Интервальная оценка величины q при
полученных значениях параметров мю и
сигма - (см. таблицу 8.1):

j
q =
M

4 После повторения процедуры по пунк-
там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

1 2 3
q , q , q .
M M M
Результаты
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной
вероятности 1 - альфа:

1 2 3
q = min {q , q , q }.
M M M M

2 Нижняя доверительная граница для p:

p = 1 - q .
L M

8.5 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.5.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в указанном интервале.


Таблица 8.5 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)


Необходимые условия Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >=
M L

>= 1 - альфа
Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =


3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:
2
Сумма(х ) =

4 Степени свободы:

ню = n - 1 =

5 Выбранная доверительная
вероятность:

1 - альфа =

6 Нижняя граница односторон-
него интервала:

M =
1 Устанавливаем соответственно три
пары доверительных вероятностей:

j
(1 - альфа ) = для мю;
мю

j
(1 - альфа ) = для сигма, причем
сигма

j j
(1 - альфа )(1 - альфа ) =
мю сигма

= 1 - альфа,

где j = 1, 2, 3, тогда

1
альфа = 1/4 альфа;
мю

2
альфа = 1/2 альфа;
мю

3
альфа = 3/4 альфа;
мю

j j
альфа = (альфа - альфа )/
сигма мю

j
/(1 - альфа ).
мю

2 Процедура доверительного оценивания
среднего значения и стандартного от-
клонения:
2.1 Интервальная оценка параметра мю
с доверительной вероятностью
1 - альфа :
мю
_
мю = х + l S
L 1

(см. формулу (1) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра
сигма с доверительной вероятностью
(1 - альфа ):
сигма

2
сигма = кв.корень(сигма )
М М

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру
повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины q при
полученных значениях параметров мю и
сигма - (см. таблицу 8.1):

j
q =
M

4 После повторения процедуры по пунк-
там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

1 2 3
q , q , q .
M M M
Результаты
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной
вероятности 1 - альфа:

1 2 3
q = min {q , q , q }.
M M M M

2 Нижняя доверительная граница для p:

p = 1 - q .
L M

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя "процент примесей" в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.


8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.6.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне интервала [L, М], а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в данном интервале.


Таблица 8.6 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)


/-----------------------------------------------------------------------\
|Необходимые условия: Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >=    |
|                                 M                            L        |
|                                                                       |
|>= 1 - альфа                                                           |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Статистические и исходные данные|  Табличные данные и вычисления       |
|--------------------------------+--------------------------------------|
|  1 Объем выборки:              | 1 Устанавливаем   соответственно  три|
|                                |пары доверительных вероятностей:      |
|    n  =                        |                                      |
|                                |            j                         |
|  2 Сумма  значений  наблюдаемых|  (1 - альфа  ) = для мю и            |
|величин:                        |            мю                        |
|                                |                                      |
|   Сумма(х) =                   |            j                         |
|                                |  (1 - альфа     ) = для сигма, причем|
|                                |            сигма                     |
|  3 Сумма    квадратов  значений|                                      |
|наблюдаемых величин:            |            j            j            |
|          2                     |  (1 - альфа  )(1 - альфа     ) =     |
|   Сумма(х ) =                  |            мю           сигма        |
|                                |                                      |
|  4 Степени свободы:            | = 1 - альфа,                         |
|                                |                                      |
|  ню = n - 1 =                  | где j = 1, 2, 3, тогда:              |
|                                |                                      |
|  5 Выбранная      доверительная|        1                             |
|вероятность:                    |   альфа  = 1/4 альфа;                |
|                                |        мю                            |
|   1 - альфа =                  |                                      |
|                                |        2                             |
|  6 Границы интервала:          |   альфа  = 1/2 альфа;                |
|                                |        мю                            |
|       L =                      |                                      |
|       M =                      |        3                             |
|                                |   альфа  = 3/4 альфа;                |
|                                |        мю                            |
|                                |                                      |
|                                |        j                    j        |
|                                |   альфа     = (альфа - альфа  )/     |
|                                |        сигма                мю       |
|                                |                                      |
|                                |            j                         |
|                                | /(1 - альфа  ).                      |
|                                |            мю                        |
|                                |                                      |
|                                | 2 Процедура доверительного оценивания|
|                                |среднего значения и  стандартного  от-|
|                                |клонения:                             |
|                                | 2.1 Интервальная оценка параметра  мю|
|                                |с доверительной вероятностью          |
|                                |1 - альфа  :                          |
|                                |         мю                           |
|                                |        _             _               |
|                                |   мю = х - l S; мю = х +l S.         |
|                                |     L       1     М      2           |
|                                |                                      |
|                                |(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).   |
|                                | 2.2 Наихудшая точка мю':             |
|                                |                                      |
|                                |мю'= мю , если мю - А <=B - мю ;      |
|                                |       L         L            М       |
|                                |                                      |
|                                |мю'= мю , если мю - А > B - мю .      |
|                                |       М         L            M       |
|                                |                                      |
|                                | 2.3 Интервальная   оценка   параметра|
|                                |сигма с доверительной вероятностью    |
|                                |(1 - альфа     ):                     |
|                                |          сигма                       |
|                                |                        2             |
|                                | сигма = кв.корень(сигма )            |
|                                |      М                 М             |
|                                |(см. формулу (4) таблицы 7.1).        |
|                                |Примечание -   Данную        процедуру|
|                                |повторяют три раза.                   |
|                                |                                      |
|                                |3 Интервальная оценка величины  q  при|
|                                |полученных значениях параметров  мю  и|
|                                |сигма - (см. таблицу 8.1):            |
|                                |    j                                 |
|                                |   q  =                               |
|                                |    M                                 |
|                                |                                      |
|                                | 4 После повторения процедуры по пунк-|
|                                |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:      |
|                                |                                      |
|                                |  1   2   3                           |
|                                | q , q , q .                          |
|                                |  M   M   M                           |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Результаты                                                             |
|1 Верхняя доверительная граница для q,  соответствующая   доверительной|
|вероятности 1 - альфа:                                                 |
|                                                                       |
|                     1   2   3                                         |
|           q = min {q , q , q }.                                       |
|            M        M   M   M                                         |
|                                                                       |
|2 Нижняя доверительная граница для p:                                  |
|                                                                       |
|           p  = 1 - q .                                                |
|            L        M                                                 |
\-----------------------------------------------------------------------/

Пример - тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.


8.7 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.7.

Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в указанном интервале.


Таблица 8.7 - Определение нижней q_L и верхней р_M доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)


Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >=
L M

>= 1 - альфа
Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки =

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =


3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:
2
Сумма(х ) =

4 Степени свободы:

ню = n - 1 =

5 Выбранная доверительная
вероятность:

1 - альфа =

6 Нижняя граница односторон-
него интервала:

L =
1 Устанавливаем соответственно три
пары доверительных вероятностей:

j
(1 - альфа ) = для мю и
мю

j
(1 - альфа ) = для сигма, причем
сигма

j j
(1 - альфа )(1 - альфа ) =
мю сигма

= 1 - альфа,

где j = 1, 2, 3, тогда:

1
альфа = 1/4 альфа;
мю

2
альфа = 1/2 альфа;
мю

3
альфа = 3/4 альфа;
мю

j j
альфа = (альфа - альфа )/
сигма мю

j
/(1 - альфа ).
мю

2 Процедура доверительного оценивания
среднего значения и стандартного от-
клонения:
2.1 Интервальная оценка параметра мю
с доверительной вероятностью
1 - альфа :
мю
_
мю = х + l S
М 1

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра
сигма с доверительной вероятностью
(1 - альфа ):
сигма

2
сигма = кв.корень(сигма )
L L

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру
повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины q при
полученных значениях параметров мю и
сигма - (см. таблицу 8.1):

j
q =
L

4 После повторения процедуры по пунк-
там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

1 2 3
q , q , q .
L L L
Результаты
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной
вероятности 1 - альфа:

1 2 3
q = max {q , q , q }.
L L L L

2 Нижняя доверительная граница для p:

p = 1 - q .
M L

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.


8.8 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.8.

Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в указанном интервале.


Таблица 8.8 - Определение нижней q_L и верхней р_M доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)


Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >=
L M

>= 1 - альфа
Статистические и исходные данные Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки:

n =

2 Сумма значений наблюдаемых
величин:

Сумма(х) =


3 Сумма квадратов значений
наблюдаемых величин:
2
Сумма(х ) =

4 Степени свободы:

ню = n - 1 =

5 Выбранная доверительная
вероятность:

1 - альфа =

6 Нижняя граница односторон-
него интервала:

M =
1 Устанавливаем соответственно три
пары доверительных вероятностей:

j
(1 - альфа ) = для мю и
мю

j
(1 - альфа ) = для сигма, причем
сигма

j j
(1 - альфа )(1 - альфа ) =
мю сигма

= 1 - альфа,

где j = 1, 2, 3, тогда:

1
альфа = 1/4 альфа;
мю

2
альфа = 1/2 альфа;
мю

3
альфа = 3/4 альфа;
мю

j j
альфа = (альфа - альфа )/
сигма мю

j
/(1 - альфа ).
мю

2 Процедура доверительного оценивания
среднего значения и стандартного от-
клонения:
2.1 Интервальная оценка параметра мю
с доверительной вероятностью
1 - альфа :
мю
_
мю = х - l S
L 1

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2 Интервальная оценка параметра
сигма с доверительной вероятностью
(1 - альфа ):
сигма

2
сигма = кв.корень(сигма )
L L

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру
повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины q при
полученных значениях параметров мю и
сигма - (см. таблицу 8.1):

j
q =
L

4 После повторения процедуры по пунк-
там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

1 2 3
q , q , q .
L L L
Результаты
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной
вероятности 1 - альфа:

1 2 3
q = max {q , q , q }.
L L L L

2 Нижняя доверительная граница для p:

p = 1 - q .
M L

8.9 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.9.

Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне интервала [L, M], а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в заданном интервале.


Таблица 8.9 - Определение нижней q_L и верхней р_м доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)


/-----------------------------------------------------------------------\
|Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >=    |
|                                 L                            M        |
|                                                                       |
|>= 1 - альфа                                                           |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Статистические и исходные данные|  Табличные данные и вычисления       |
|--------------------------------+--------------------------------------|
|  1 Объем выборки:              | 1 Устанавливаем   соответственно  три|
|                                |пары доверительных вероятностей:      |
|    n  =                        |                                      |
|                                |            j                         |
|  2 Сумма   значений наблюдаемых|  (1 - альфа  ) = для мю и            |
|величин:                        |            мю                        |
|                                |                                      |
|   Сумма(х) =                   |            j                         |
|                                |  (1 - альфа     ) = для сигма, причем|
|                                |            сигма                     |
|  3 Сумма   квадратов   значений|                                      |
|наблюдаемых величин:            |            j            j            |
|          2                     |  (1 - альфа  )(1 - альфа     ) =     |
|   Сумма(х ) =                  |            мю           сигма        |
|                                |                                      |
|  4 Степени свободы:            | = 1 - альфа,                         |
|                                |                                      |
|  ню = n - 1 =                  | где j = 1, 2, 3, тогда:              |
|                                |                                      |
|  5 Выбранная      доверительная|        1                             |
|вероятность:                    |   альфа  = 1/4 альфа;                |
|                                |        мю                            |
|   1 - альфа =                  |                                      |
|                                |        2                             |
|  6 Границы интервала:          |   альфа  = 1/2 альфа;                |
|                                |        мю                            |
|       L =                      |                                      |
|       M =                      |        3                             |
|                                |   альфа  = 3/4 альфа;                |
|                                |        мю                            |
|                                |                                      |
|                                |        j                    j        |
|                                |   альфа     = (альфа - альфа  )/     |
|                                |        сигма                мю       |
|                                |                                      |
|                                |            j                         |
|                                | /(1 - альфа  ).                      |
|                                |            мю                        |
|                                |                                      |
|                                | 2 Процедура доверительного оценивания|
|                                |среднего значения и  стандартного  от-|
|                                |клонения:                             |
|                                | 2.1 Интервальная оценка параметра  мю|
|                                |с доверительной вероятностью          |
|                                |1 - альфа  :                          |
|                                |         мю                           |
|                                |        _             _               |
|                                |   мю = х - l S; мю = х +l S.         |
|                                |     L       1     М      2           |
|                                |                                      |
|                                |(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).   |
|                                |2.2 Наихудшая точка мю':              |
|                                |                     А+В              |
|                                |мю'= мю , если мю > -----;    (2.2.1) |
|                                |       M         M    2               |
|                                |                                      |
|                                |                      А+В             |
|                                |мю'= мю , если мю  < -----;   (2.2.2) |
|                                |       L         L    2               |
|                                |                                      |
|                                |      А+В                             |
|                                |мю'= -----, если формулы (2.2.1) и    |
|                                |       2                              |
|                                |(2.2.2) не выполняются.               |
|                                |                                      |
|                                |                                      |
|                                | 2.3 Интервальная   оценка   параметра|
|                                |сигма с   доверительной   вероятностью|
|                                |(1 - альфа     ):                     |
|                                |          сигма                       |
|                                |                        2             |
|                                | сигма = кв.корень(сигма )            |
|                                |      L                 L             |
|                                |(см. формулу (3) таблицы 7.1).        |
|                                |Примечание -       Данную    процедуру|
|                                |повторяют три раза.                   |
|                                |3 Интервальная оценка величины  q  при|
|                                |полученных значениях параметров  мю  и|
|                                |сигма - (см. таблицу 8.1):            |
|                                |    j                                 |
|                                |   q  =                               |
|                                |    L                                 |
|                                | 4 После повторения процедуры по пунк-|
|                                |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:      |
|                                |                                      |
|                                |  1   2   3                           |
|                                | q , q , q .                          |
|                                |  M   M   M                           |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Результаты                                                             |
|1 Нижняя  доверительная граница для q,  соответствующая   доверительной|
|вероятности 1 - альфа:                                                 |
|                                                                       |
|                     1   2   3                                         |
|           q = max {q , q , q }.                                       |
|            L        L   L   L                                         |
|                                                                       |
|2 Верхняя доверительная граница для p:                                 |
|                                                                       |
|           p  = 1 - q .                                                |
|            M        L                                                 |
\-----------------------------------------------------------------------/

Приложение А

(справочное)


Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения


А.1 В таблице А.1 приведены значения функции стандартного нормального закона распределения Ф (u), рассчитываемой по формуле


                                                  1   2
                                               - --- t
                 1                   u            2
   Ф(u) = ---------------- х     интеграл     l       dt,           (А.1)
          кв.корень (2 пи)    -бесконечность

т.е. значения площади y под кривой, рассчитываемой по формуле:


                                               1  2
                                              -- t
                                   1           2
                       y =  ---------------- l      ,               (A.2)
                            кв.корень (2 пи)

лежащей левее точки u.

А.2 В первой колонке таблицы А.1 приведены значения аргумента u от 0,00 до 0,49, обозначенные буквой z. Во второй колонке приведены значения функции Ф (u) для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф (u) для значений аргумента u от 0,5 и выше. При этом значение аргумента u находят как сумму z и значений: 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0.


Пример - Для u = 1,86 = (1,5 + 0,36) находим Ф (1,86) = 0,96856.


А.3 Значения функции Ф(u) для отрицательных значений аргумента u рассчитывают по формуле:


                       Ф(-u) = 1 - Ф(u).                          (А.3)

А.4 Значение квантили u_альфа уровня альфа находят как значение аргумента u, соответствующего значению функции Ф(u)=альфа.


Пример - Значению альфа=0,99 соответствует ближайшее табличное значение Ф=0,99010. По таблице А.1 для этого значения функции находят значение аргумента u:


                         u = 2,0 + 0,33 = 2,33

Таблица А.1 - Значения функции стандартного нормального закона распределения


z Ф(z) Ф(0,5+z) Ф(1,0+z) Ф(1,5+z) Ф(2,0+z) Ф(2,5+z) Ф(3,0+z)
0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09
0,50000

0,50399

0,50798

0,51197

0,51595

0,51994

0,52392

0,52790

0,53188

0,53586
0,69146

0,69497

0,69847

0,70194

0,70540

0,70884

0,71226

0,71566

0,71904

0,72240
0,84134

0,84375

0,84614

0,84850

0,85083

0,85314

0,85543

0,85769

0,85993

0,86214
0,93319

0,93448

0,93574

0,93699

0,93822

0,93943

0,94062

0,94179

0,94295

0,94408
0,97725

0,97778

0,97831

0,97882

0,97932

0,97982

0,98030

0,98077

0,98124

0,98169
0,99379

0,99396

0,99413

0,99430

0,99446

0,99461

0,99477

0,99492

0,99506

0,99520
0,99865

0,99869

0,99874

0,99878

0,99882

0,99886

0,99889

0,99893

0,99896

0,99900
0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19
0,53983

0,54380

0,54776

0,55172

0,55567

0,55962

0,56356

0,56750

0,57142

0,57535
0,72575

0,72907

0,73237

0,73565

0,73891

0,74215

0,74537

0,74857

0,75175

0,75490
0,86433

0,86650

0,86864

0,87076

0,87286

0,87493

0,87698

0,87900

0,88100

0,88298
0,94520

0,94630

0,94738

0,94845

0,94950

0,95053

0,95154

0,95254

0,95352

0,95449
0,98214

0,98257

0,98300

0,98341

0,98382

0,98422

0,98461

0,98500

0,98537

0,98574
0,99534

0,99547

0,99560

0,99573

0,99585

0,99598

0,99609

0,99621

0,99632

0,99643
0,99903

0,99906

0,99910

0,99913

0,99916

0,99918

0,99921

0,99924

0,99926

0,99929
0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29
0,57926

0,58317

0,58706

0,59095

0,59483

0,59871

0,60257

0,60642

0,61026

0,61409
0,75804

0,76115

0,76424

0,76731

0,77035

0,77337

0,77637

0,77935

0,78230

0,78524
0,88493

0,88686

0,88877

0,89065

0,89251

0,89435

0,89617

0,89796

0,89973

0,90147
0,95543

0,95637

0,95728

0,95818

0,95907

0,95994

0,96080

0,96164

0,96246

0,96327
0,98610

0,98645

0,98679

0,98713

0,98745

0,98778

0,98809

0,98840

0,98870

0,98899
0,99653

0,99664

0,99674

0,99683

0,99693

0,99702

0,99711

0,99720

0,99728

0,99736
0,99931

0,99934

0,99936

0,99938

0,99940

0,99942

0,99944

0,99946

0,99948

0,99950
0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39
0,61791

0,62172

0,62552

0,62930

0,63307

0,63683

0,64058

0,64431

0,64803

0,65173
0,78814

0,79103

0,79389

0,79673

0,79955

0,80234

0,80511

0,80785

0,81057

0,81327
0,90320

0,90490

0,90658

0,90824

0,90988

0,91149

0,91308

0,91466

0,91621

0,91774
0,96407

0,96485

0,96562

0,96638

0,96712

0,96784

0,96856

0,96926

0,96995

0,97062
0,98928

0,98956

0,98983

0,99010

0,99036

0,99061

0,99086

0,99111

0,99134

0,99158
0,99744

0,99752

0,99760

0,99767

0,99774

0,99781

0,99788

0,99795

0,99801

0,99807
0,99952

0,99953

0,99955

0,99957

0,99958

0,99960

0,99961

0,99962

0,99964

0,99965
0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49
0,65542

0,65910

0,66276

0,66640

0,67003

0,67364

0,67724

0,68082

0,68439

0,68793
0,81594

0,81859

0,82121

0,82381

0,82639

0,82894

0,83147

0,83398

0,83646

0,83891
0,91924

0,92073

0,92220

0,92364

0,92507

0,92647

0,92785

0,92922

0,93056

0,93189
0,97128

0,97193

0,97257

0,97320

0,97381

0,97441

0,97500

0,97558

0,97615

0,97670
0,99180

0,99202

0,99224

0,99245

0,99266

0,99286

0,99305

0,99324

0,99343

0,99361
0,99813

0,99819

0,99825

0,99831

0,99836

0,99841

0,99846

0,99851

0,99856

0,99861
0,99966

0,99968

0,99969

0,99970

0,99971

0,99972

0,99973

0,99974

0,99975

0,99976
Примечание - z - значение аргумента u от 0,00 до 0,49. Значение
аргумента u от 0,50 и выше находят как сумму z и значений 0,5; 1,0; 1,5
и т.д. (см. обозначения граф таблицы).

Приложение Б

(справочное)


Таблица значений квантилей распределения Стьюдента


Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню) уровня альфа с ню степенями свободы.


Пример - Для ню =9 квантиль уровня aльфа = 0,99 имеет значение 2,821.


Б.2 Квантили уровня альфа=0,5 при любом ню равны нулю.

Б.3 Квантили уровня альфа<0,5 находят по формуле


                      t     (ню) = - t       (ню).
                       альфа          1-альфа

Б.4 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:


                       альфа < альфа < альфа
                            1               2

значение квантиля t_альфа (ню) может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):


                                     t      - t
                                      альфа2   альфа1
           t     = (альфа - альфа ) [----------------] + t      .
            альфа                1   альфа - альфа        альфа1
                                          2       1

Пример - Для ню=9 требуется найти квантиль уровня aльфа=0,992. Полагаем, что альфа_1=0,99, альфа_2=0,995; находим по таблице Б.1 t_0,99=2,821, t_0,995=3,250 и вычисляем для степеней свободы ню=9.


                               3,250 - 2,821
       t     = (0,992 - 0,99)[--------------] + 2,821 = 2,9926.
        0,992                  0,995 - 0,99

Таблица Б.1 - Значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню)


ню Значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню) с ню степенями свободы для уровня альфа
0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,9995
1

2

3

4

5
0,158

0,142

0,137

0,134

0,132
0,325

0,289

0,277

0,271

0,267
0,510

0,445

0,424

0,414

0,408
0,727

0,617

0,584

0,569

0,559
1,000

0,816

0,765

0,741

0,727
1,376

1,061

0,978

0,941

0,920
1,963

1,386

1,250

1,190

1,156
3,078

1,886

1,638

1,533

1,476
6,314

2,920

2,353

2,132

2,015
12,706

4,303

3,182

2,776

2,571
31,821

6,965

4,541

3,747

3,365
63,657

9,925

5,841

4,604

4,032
636,619

31,598

12,924

8,610

6,869
6

7

8

9

10
0,131

0,130

0,130

0,129

0,129
0,265

0,263

0,262

0,261

0,260
0,404

0,402

0,399

0,398

0,397
0,543

0,549

0,546

0,543

0,542
0,718

0,711

0,706

0,703

0,700
0,906

0,896

0,889

0,883

0,879
1,134

1,119

1,108

1,100

1,093
1,440

1,415

1,397

1,383

1,372
1,943

1,895

1,860

1,833

1,812
2,447

2,365

2,306

2,262

2,228
3,143

2,998

2,896

2,821

2,764
3,707

3,499

3,355

3,250

3,169
5,959

5,408

5,041

4,781

4,587
11

12

13

14

15
0,129

0,128

0,128

0,128

0,128
0,260

0,259

0,259

0,258

0,258
0,396

0,395

0,394

0,393

0,393
0,540

0,539

0,538

0,537

0,536
0,697

0,695

0,694

0,692

0,691
0,876

0,873

0,870

0,868

0,866
1,088

1,083

1,079

1,076

1,074
1,363

1,356

1,350

1,345

1,341
1,796

1,782

1,771

1,761

1,753
2,201

2,179

2,160

2,145

2,131
2,718

2,681

2,650

2,624

2,602
3,106

3,055

3,012

2,977

2,947
4,437

4,318

4,221

4,140

4,173
16

17

18

19

20
0,128

0,128

0,128

0,127

0,127
0,258

0,257

0,257

0,257

0,257
0,392

0,392

0,392

0,391

0,391
0,535

0,534

0,534

0,533

0,533
0,690

0,689

0,688

0,688

0,687
0,865

0,863

0,862

0,861

0,860
1,071

1,069

1,067

1,066

1,064
1,337

1,333

1,330

1,328

1,325
1,746

1,740

1,734

1,729

1,725
2,120

2,110

2,101

2,093

2,086
2,583

2,567

2,552

2,539

2,528
2,921

2,898

2,878

2,861

2,845
4,015

3,965

3,922

3,883

3,850
21

22

23

24

25
0,127

0,127

0,127

0,127

0,127
0,257

0,256

0,256

0,256

0,256
0,391

0,390

0,390

0,390

0,390
0,532

0,532

0,532

0,531

0,531
0,686

0,686

0,685

0,685

0,684
0,859

0,858

0,858

0.857

0,856
1,063

1,061

1,060

1,059

1,058
1,323

1,321

1,319

1,318

1,316
1,721

1,717

1,714

1,711

1,708
2,080

2,074

2,069

2,064

2,060
2,518

2,508

2,500

2,492

2,485
2,831

2,819

2,807

2,797

2,787
3,819

3,792

3,767

3,745

3,725
26

27

28

29

30
0,127

0,127

0,127

0,127

0,127
0,256

0,256

0,256

0,256

0,256
0,390

0,389

0,389

0,389

0,389
0,531

0,531

0,530

0,530

0,530
0,684

0,684

0,683

0,683

0,683
0,856

0,855

0,855

0,854

0,854
1,058

1,057

1,056

1,055

1,055
1,315

1,314

1,313

1,311

1,310
1,706

1,703

1,701

1,699

1,697
2,056

2,052

2,048

2,045

2,042
2,479

2473

2,467

2,462

2,457
2,779

2,771

2,763

2,756

2,750
3,707

3,690

3,674

3,659

3,646
40

60

120

бес-
ко-
неч-
ност
ь
0,126

0,126

0,126

0,126
0,255

0,254

0,254

0,253
0,388

0,387

0,386

0,385
0,529

0,527

0,526

0,524
0,681

0,679

0,677

0,674
0,851

0,848

0,845

0,842
0,050

0,046

0,041

0,036
1,303

1,296

1,289

1,282
1,684

1,671

1,658

1.645
2,021

2,000

1,980

1,960
2,423

2,390

2,358

2,326
2,704

2,660

2,617

2,576
3,551

3,460

3,373

3,291

Приложение В

(справочное)


Таблица значений квантилей хи(2)_альфа распределения


В.1 В таблице В.1 приведены значения квантилей хи(2)_альфа(ню), т.е. квантилей хи(2) распределения уровня альфа с ню степенями свободы.


Пример - Для ню=9 и альфа=0,98 квантиль хи(2)_0,98=19,679.


В.2 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:


                         альфа < альфа < альфа
                              1               2

значение квантиля хи(2)_альфа может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):


                                    2         2
                                  хи      - хи
         2                          альфа2    альфа1       2
       хи     = (альфа - альфа )[--------------------] + хи      .
         альфа                1    альфа - альфа           альфа1
                                        2       1

Пример - Для ню=14 требуется найти квантиль уровня альфа=0,988. Полагаем альфа_1=0,98, aльфа_2=0,99; находим по таблице В.1 хи(2)_0,98=26,873; хи(2)_0,99=29,141 и вычисляем для степеней свободы ню=14.


       2                       29,141 - 26,873
     хи     = (0,988 - 0,98) [-----------------] + 26,873 = 28,6874.
       0,988                   0,99 - 0,98

Таблица В.1 - Значения квантилей хи(2)_альфа распределения


мю Значения квантилей хи(2)_альфа распределения с ню степенями свободы для уровня альфа
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99
1

2

3

4

5
0,0157

0,0201

0,115

0,297

0,554
0,0628

0,0404

0,185

0,429

0,752
0,0393

0,103

0,352

0,711

1,145
0,0158

0,211

0,584

1,064

1,160
0,0642

0,446

1,005

1,649

2,343
0,148

0,713

1,424

2,195

3,000
0,455

1,386

2,366

3,357

4,351
1,074

2,408

3,665

4,878

6,064
1,642

3,219

4,642

5,989

7,289
2,706

4,605

6,251

7,779

9,233
3,841

5,991

7,815

9,488

11,070
5,412

7,824

9,837

11,668

13,388
6,635

9,210

11,345

13,277

15,086
6

7

8

9

10
0,872

1,239

1,646

2,088

2,358
1,134

1,564

2,032

2,532

3,059
1,635

2,167

2,733

3,325

3,940
2,204

2,833

3,490

4,168

4,865
3,070

3,822

4,594

5,380

6,179
3,828

4,671

5,527

6,393

7,267
5,348

6,346

7,344

8,343

9,342
7,231

8,383

9,524

10,656

11,781
8,558

9,803

11,030

12,242

13,442
10,645

12,017

13,362

14,684

15,987
12,592

14,067

15,507

16,919

18,307
15,033

16,622

18,168

19,679

21,161
16,812

18,475

20,090

21,666

23,209
11

12

13

14

15
3,053

3,571

4,107

5,660

5,229
3,609

4,178

4,765

5,368

5,985
4,575

5,226

5,892

6,571

7,261
5,578

6,304

7,042

7,790

8,547
6,989

7,807

8,634

9,467

10,307
8,148

9,034

9,926

10,821

11,721
10,341

11,340

12,340

13,339

14,339
12,899

14,011

15,119

16,222

17,322
14,631

15,821

16,985

18,151

19,311
17,275

18,549

19,812

21,064

22,307
19,675

21,026

22,362

23,996

24,996
22,618

24,054

25,472

26,873

28,259
24,725

26,217

27,688

29,141

30,578
16

17

18

19

20
5,812

6,408

7,015

7,633

8,260
6,614

7,255

7,906

8,567

9,237
7,962

8,672

9,390

10,117

10,851
9,312

10,035

10,865

11,651

12,443
11,152

12,002

12,857

13,716

14,578
12,624

13,531

14,440

15,352

16,266
15,333

16,338

17,338

18,338

19,337
18,418

19,511

20,601

21,689

22,775
20,465

21,615

22,760

23,900

25,038
23,542

24,769

25,989

27,204

28,412
26,296

27,587

28,869

30,144

31,410
29,633

30,995

32,346

33,687

35,020
32,000

33,409

34,805

36,191

37,566
21

22

23

24

25
8,897

9,542

10,196

10,856

11,524
9,915

10,600

11,293

11,992

12,697
11,591

12,338

13,091

13,848

14,611
13,240

14,041

14,848

15,659

16,473
15,445

16,314

17,187

18,062

18,940
17,182

18,101

19,021

19,943

20,867
20,337

21,337

22,337

23,337

24,337
23,858

24,939

26,018

27,096

28,172
26,171

27,301

28,429

29,553

30,675
29,615

30,813

32,007

33,196

34,382
32,671

33,924

35,172

36,415

37,652
36,343

37,659

38,968

40,270

41,566
38,932

40,289

41,638

42,980

44,314
26

27

28

29

30
12,198

12,879

13,565

14,256

14,953
13,409

14,125

14,847

15,574

16,306
15,379

16,151

16,928

17,708

18,493
17,292

18,114

18,939

19,768

20,599
19,820

20,703

21,588

22,475

23,364
21,792

22,719

23,647

24,577

25,508
25,336

26,336

27,336

28,336

29,336
29,246

30,319

31,391

32,461

33,530
31,795

32,912

34,027

35,139

36,250
35,563

36,741

37,916

39,087

40,256
38,885

40,113

41,337

42,557

43,773
42,856

44,140

45,419

46,693

47,962
45,642

46,963

48,278

49,588

50,892

Приложение Г

(справочное)


Таблицы значений квантилей распределения Фишера


Г.1 В таблицах Г.1-Г.9 содержатся значения квантилей F_альфа(ню_1, ню_2) при заданных уровнях альфа для различных сочетаний степеней свободы ню_1 и ню_2. Каждая таблица соответствует одному уровню альфа, значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям ню_1 и ню_2.

Г.1.1 Для определения квантилей уровня альфа менее 0,5 следует использовать соотношение:


                                        1
              F     (ню , ню ) = ------------------ .
               альфа   1    2    F       (ню , ню )
                                  1-альфа   2    1

Г.1.2 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:


                       альфа < альфа < альфа
                            1               2

значение квантиля F_альфа может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):


                                   F      - F
                                    альфа2   альфа1
         F      = (альфа - альфа )[----------------] + F      .
          альфа                 1   альфа - альфа       альфа1
                                         2       1

Г.1.3 Для промежуточных значений ню_1 и ню_2, лежащих между двумя соседними табличными значениями ню_1' и ню_1" и или ню_2' и ню_2", т.е.


                ню' < ню < ню"  или  ню' < ню  < ню" ,
                  1     1    1         2     2     2

значения квантилей F_альфа (ню_1), F_альфа(ню_2) могут быть приближенно вычислены по формулам:


                            F     (ню") - F     (ню')
                             альфа   1     альфа   1
   F     (ню ) = (ню - ню') ------------------------- + F     (ню');
    альфа   1       1    1         ню" - ню'             альфа   1
                                     1     1

                            F     (ню") - F     (ню')
                             альфа   2     альфа   2
   F     (ню ) = (ню - ню') ------------------------- + F     (ню').
    альфа   2       2    2         ню" - ню'             альфа   2
                                     2     2

Таблица Г.1 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,5


ню_2 Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,5 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1

2

3

4
1,0000

0,66667

0,58506

0,54863
1,5000

1,0000

0,88110

0,82843
1,7092

1,1349

1,0000

0,94054
1,8227

1,2071

1,0632

1,0000
1,8937

1,2519

1,1024

1,0367
1,9422

1,2824

1,1289

1,0617
1,9774

1,3045

1,1482

1,0797
2,0041

1,3213

1,1627

1,0933
2,0250

1,3344

1,1741

1,1040
5

6

7

8

9
0,52807

0,51489

0,50572

0,49898

0,49382
0,79877

0,77976

0,76655

0,75683

0,74938
0,90715

0,88578

0,87095

0,86004

0,85168
0,96456

0,94191

0,92619

0,91464

0,90580
1,0000

0,97654

0,96026

0,93831

0,93916
1,0240

1,0000

0,98334

0,97111

0,96175
1,0414

1,0169

1,0000

0,98757

0,97805
1,0545

1,0298

1,0126

1,0000

0,99037
1,0648

1,0398

1,0224

1,0097

1,0000
10

11

12

13

14
0,48973

0,48644

0,48369

0,48141

0,47944
0,74349

0,73872

0,73477

0,73145

0,72862
0,84508

0,83973

0,83530

0,83159

0,82842
0,89882

0,89316

0,88848

0,88454

0,88119
0,93193

0,92608

0,92124

0,91718

0,91371
0,95436

0,94837

0,94342

0,93926

0,93573
0,97054

0,96445

0,95943

0,95520

0,95161
0,98276

0,97661

0,97152

0,96724

0,96360
0,99232

0,98610

0,98097

0,97665

0,97298
15

16

17

18

19
0,47775

0,47628

0,47499

0,47385

0,47284
0,72619

0,72406

0,72219

0,72053

0,71906
0,82569

0,82330

0,82121

0,81936

0,81771
0,87830

0,87578

0,87357

0,87161

0,86987
0,91073

0,90812

0,90584

0,90381

0,90200
0,93627

0,93001

0,92767

0,92560

0,92375
0,94850

0,94580

0,94342

0,94132

0,93944
0,96046

0,95773

0,95532

0,95319

0,95129
0,96981

0,96705

0,96462

0,96247

0,96056
20

21

22

23

24
0,47192

0,47108

0,47033

0,46965

0,46902
0,71773

0,71653

0,71545

0,71446

0,71356
0,81621

0,81487

0,81365

0,81255

0,81153
0,86830

0,86688

0,86559

0,86442

0,86335
0,90038

0,89891

0,89759

0,89638

0,89527
0,92210

0,92060

0,91924

0,91800

0,91687
0,93776

0,93624

0,93436

0,93360

0,93245
0,94959

0,94805

0,94665

0,94538

0,94422
0,95884

0,95728

0,95588

0,95459

0,95342
25

26

27

28

29
0,46844

0,46793

0,46744

0,46697

0,46654
0,71272

0,71195

0,71124

0,71059

0,70999
0,81061

0,80975

0,80894

0,80820

0,80753
0,86236

0,86145

0,86061

0,85983

0,85911
0,89425

0,89331

0,89244

0,89164

0,89089
0,91583

0,91487

0,91399

0,91317

0,91241
0,93140

0,93042

0,92952

0,92869

0,92791
0,94315

0,94217

0,94126

0,94041

0,93963
0,95234

0,95135

0,95044

0,94958

0,94879
30

40

60

120

бесконеч-
ность
0,46616

0,46330

0,46053

0,45774

0,45494
0,70941

0,70531

0,70122

0,69717

0,69315
0,80689

0,80228

0,79770

0,79314

0,78866
0,85844

0,85357

0,84873

0,84392

0,83918
0,89019

0,88516

0,88017

0,87521

0,87029
0,91169

0,90654

0,90144

0,89637

0,89135
0,92719

0,92197

0,91679

0,91164

0,90654
0,93889

0,93361

0,92838

0,92318

0,91802
0,94805

0,94272

0,93743

0,93218

0,92698

Продолжение таблицы


ню_2 Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,5 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
2,0419

1,3450

1,1833

1,1126
2,0674

1,3610

1,1972

1,1255
2,0931

1,3771

1,2111

1,1386
2,1190

1,3933

1,2252

1,1517
2,1321

1,4014

1,2322

1,1583
2,1452

1,4096

1,2393

1,1649
2,1584

1,4178

1,2464

1,1716
2,1716

1,4261

1,2536

1,1782
2,1848

1,4344

1,2608

1,1849
2,1981

1,4427

1,2680

1,1916
5

6

7

8

9
1,0730

1,0478

1,0304

1,0175

1,0077
1,0855

1,0600

1,0423

1,0293

1,0194
1,0980

1,0722

1,0543

1,0412

1,0311
1,1106

1,0845

1,0664

1,0531

1,0429
1,1170

1,0907

1,0724

1,0591

1,0489
1,1234

1,0969

1,0785

1,0651

1,0548
1,1297

1,1031

1,0846

1,0711

1,0608
1,1361

1,1093

1,0908

1,0771

1,0667
1,1426

1,1156

1,0969

1,0832

1,0727
1,1490

1,1219

1,1031

1,0893

1,0788
10

11

12

13

14
1,0000

0,99373

0,98856

0,98421

0,98051
1,0116

1,0052

1,0000

0,99560

0,99186
1,0232

1,0168

1,0115

1,0071

1,0033
1,0349

1,0284

1,0231

1,0186

1,0147
1,0408

1,0343

1,0289

1,0243

1,0205
1,0467

1,0401

1,0347

1,0301

1,0263
1,0526

1,0460

1,0405

1,0360

1,0321
1,0585

1,0519

1,0464

1,0418

1,0379
1,0645

1,0578

1,0523

1,0476

1,0437
1,0705

1,0637

1,0582

1,0535

1,0495
15

16

17

18

19
0,97732

0,97454

0,97203

0,96993

0,96800
0,98863

0,98582

0,98334

0,98116

0,97920
1,0000

0,99716

0,99466

0,99245

0,99047
1,0114

1,0086

1,0060

1,0038

1,0018
1,0172

1,0143

1,0117

1,0095

1,0075
1,0229

1,0200

1,0174

1,0152

1,0132
1,0287

1,0258

1,0232

1,0209

1,0189
1,0345

1,0315

1,0289

1,0267

1,0246
1,0403

1,0373

1,0347

1,0324

1,0304
1,0461

1,0431

1,0405

1,0382

1,0361
20

21

22

23

24
0,96626

0,96470

0,96328

0,96199

0,96081
0,97746

0,97587

0,97444

0,97313

0,97194
0,98870

0,98710

0,98565

0,98433

0,98312
1,0000

0,99838

0,99692

0,99558

0,99436
1,0057

1,0040

1,0026

1,0012

1,0000
1,0114

1,0097

1,0082

1,0069

1,0057
1,0171

1,0154

1,0139

1,0126

1,0113
1,0228

1,0211

1,0196

1,0183

1,0170
1,0285

1,0268

1,0253

1,0240

1,0227
1,0343

1,0326

1,0311

1,0297

1,0284
25

26

27

28

29
0,95972

0,95872

0,95779

0,95694

0,95614
0,97084

0,96983

0,96889

0,96802

0,96722
0,98201

0,98099

0,98004

0,97917

0,97835
0,99324

0,99220

0,99125

0,99036

0,98954
0,99887

0,99783

0,99687

0,99598

0,99515
1,0045

1,0035

1,0025

1,0016

1,0008
1,0102

1,0091

1,0082

1,0073

1,0064
1,0159

1,0148

1,0138

1,0129

1,0121
1,0215

1,0205

1,0195

1,0186

1,0177
1,0273

1,0262

1,0252

1,0243

1,0234
30

40

60

120

бесконеч-
ность
0,95540

0,95003

0,94471

0,93943

0,93418
0,96647

0,96104

0,95566

0,95032

0,94503
0,97759

0,97211

0,96667

0,96128

0,95593
0,98877

0,98323

0,97773

0,97228

0,96687
0,99438

0,98880

0,98328

0,97780

0,97236
1,0000

0,99440

0,98884

0,98333

0,97787
1,0056

1,0000

0,99411

0,98887

0,98339
1,0113

1,0056

1,0000

0,99443

0,98891
1,0170

1,0113

1,0056

1,0000

0,99445
1,0226

1,0169

1,0112

1,0056

1,0000

Таблица Г.2 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,75


ню_2 Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,75 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1

2

3

4
5,8285

2,5714

2,0239

1,8074
7,5000

3,0000

2,2798

2,0000
8,1999

3,1534

2,3555

2,0467
8,5810

3,2320

2,3901

2,0642
8,8198

3,2799

2,4095

2,0723
8,9833

3,3121

2,4218

2,0766
9,1021

3,3352

2,4302

2,0790
9,1922

3,3526

2,4364

2,0805
9,2631

3,3661

2,4410

2,0814
5

6

7

8

9
1,6925

1,6214

1,5732

1,5384

1,5121
1,8528

1,7622

1,7010

1,6569

1,6236
1,8843

1,7844

1,7169

1,6683

1,6315
1,8927

1,7872

1,7157

1,6642

1,6253
1,8947

1,7852

1,7111

1,6575

1,6170
1,8945

1,7821

1,7059

1,6508

1,6091
1,8935

1,7789

1,7011

1,6448

1,6022
1,8923

1,7760

1,6969

1,6396

1,5961
1,8911

1,7733

1,6931

1,6350

1,5909
10

11

12

13

14
1,4915

1,4749

1,4613

1,4500

1,4403
1,5975

1,5767

1,5595

1,5452

1,5331
1,6028

1,5798

1,5609

1,5451

1,5317
1,5949

1,5794

1,5503

1,5336

1,5194
1,5863

1,5598

1,5389

1,5214

1,5066
1,5765

1,5502

1,5286

1,5105

1,4952
1,5688

1,5418

1,5197

1,5011

1,4854
1,5621

1,5346

1,5120

1,4931

1,4770
1,5563

1,5284

1,5054

1,4861

1,4697
15

16

17

18

19
1,4321

1,4249

1,4186

1,4130

1,4081
1,5227

1,5137

1,5057

1,4988

1,4925
1,5202

1,5103

1,5015

1,4938

1,4870
1,5071

1,4965

1,4873

1,4790

1,4717
1,4938

1,4827

1,4730

1,4644

1,4568
1,4820

1,4705

1,4605

1,4516

1,4437
1,4718

14601

1,4497

1,4406

1,4325
1,4631

1,4511

1,4405

1,4312

1,4228
1,4556

1,4433

1,4325

1,4230

1,4145
20

21

22

23

24
1,4037

1,3997

1,3961

1,3928

1,3898
1,4870

1,4820

1,4774

1,4733

1,4695
1,4808

1,4573

1,4703

1,4657

1,4615
1,4652

1,4593

1,4540

1,4491

1,4447
1,4500

1,4438

1,4382

1,4331

1,4285
1,4366

1,4302

1,4244

1,4191

1,4143
1,4252

1,4186

1,4126

1,4072

1,4022
1,4153

1,4086

1,4025

1,3969

1,3918
1,4069

1,4000

1,3937

1,3880

1,3828
25

26

27

28

29
1,3870

1,3845

1,3822

1,3800

1,3780
1,4661

1,4629

1,4600

1,4573

1,4547
1,4577

1,4542

1,4510

1,4480

1,4452
1,4406

1,4368

1,4334

1,4302

1,4272
1,4242

1,4203

1,4166

1,4133

1,4102
1,4099

1,4058

1,4021

1,3986

1,3953
1,3976

1,3935

1,3896

1,3860

1,3826
1,3871

1,3828

1,3788

1,3752

1,3717
1,3780

1,3737

1,3696

1,3658

1,3623
30

40

60

120

бесконеч-
ность
1,3761

1,3626

1,3493

1,3362

1,3233
1,4524

1,4355

1,4188

1,4024

1,3863
1,4426

1,4239

1,4055

1,3873

1,3694
1,4244

1,4045

1,3848

1,3654

1,3463
1,4073

1,3863

1,3657

1,3453

1,3251
1,3923

1,3706

1,3491

1,3278

1,3068
1,3795

1,3571

1,3349

1,3128

1,2910
1,3685

1,3455

1,3226

1,2999

1,2774
1,3590

1,3354

1,3119

1,2886

1,2654

Продолжение таблицы


ню_2 Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,75 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
9,3202

3,3770

2,4447

2,0820
9,4064

3,3934

2,4500

2,0826
9,4934

3,4098

2,4552

2,0829
9,5813

3,4263

2,4602

2,0828
9,6255

3,4345

2,4626

2,0827
9,6698

3,4428

2,4650

2,0825
9,7144

3,4511

2,4674

2,0821
9,7591

3,4594

2,4697

2,0817
9,8041

3,4677

2,4720

2,0812
9,8492

3,4761

2,4742

2,0806
5

6

7

8

9
1,8899

1,7708

1,6898

1,6310

1,5863
1,8877

1,7668

1,6843

1,6244

1,5788
1,8851

1,7621

1,6781

1,6170

1,5705
1,8820

1,7569

1,6712

1,6088

1,5611
1,8802

1,7540

1,6675

1,6043

1,5560
1,8784

1,7510

1,6635

1,5996

1,5506
1,8763

1,7477

1,6593

1,5945

1,5450
1,8742

1,7443

1,6548

1,5892

1,5389
1,8719

1,7407

1,6502

1,5836

1,5325
1,8694

1,7368

1,6452

1,5777

1,5257
10

11

12

13

14
1,5513

1,5230

1,4996

1,4801

1,4634
1,5430

1,5140

1,4902

1,4701

1,4530
1,5338

1,5041

1,4796

1,4590

1,4414
1,5235

1,4930

1,4678

1,4465

1,4284
1,5179

1,4869

1,4613

1,4397

1,4212
1,5119

1,4805

1,4544

1,4324

1,4136
1,5056

1,4737

1,4471

1,4247

1,4055
1,4990

1,4664

1,4393

1,4164

1,3967
1,4919

1,4587

1,4310

1,4075

1,3874
1,4843

1,4504

1,4221

1,3980

1,3772
15

16

17

18

19
1,4491

1,4366

1,4256

1,4159

1,4073
1,4383

1,4255

1,4142

1,4042

1,3953
1,4263

1,4130

1,4014

1,3911

1,3819
1,4127

1,3990

1,3869

1,3762

1,3666
1,4052

1,3913

1,3790

1,3680

1,3582
1,3973

1,3830

1,3704

1,3592

1,3492
1,3888

1,3742

1,3613

1,3497

1,3394
1,3796

1,3646

1,3514

1,3395

1,3289
1,3698

1,3543

1,3406

1,3284

1,3174
1,3591

1,3432

1,3290

1,3162

1,3048
20

21

22

23

24
1,3995

1,3925

1,3861

1,3803

1,3750
1,3873

1,3801

1,3735

1,3675

1,3621
1,3763

1,3661

1,3593

1,3531

1,3474
1,3580

1,3502

1,3431

1,3366

1,3307
1,3494

1,3414

1,3341

1,3275

1,3214
1,3401

1,3319

1,3245

1,3176

1,3113
1,3301

1,3217

1,3140

1,3069

1,3004
1,3193

1,3105

1,3025

1,2952

1,2885
1,3074

1,2983

1,2900

1,2824

1,2754
1,2943

1,2848

1,2761

1,2681

1,2607
25

26

27

28

29
1,3701

1,3656

1,3615

1,3576

1,3541
1,3570

1,3524

1,3481

1,3441

1,3404
1,3422

1,3374

1,3329

1,3288

1,3249
1,3252

1,3202

1,3155

1,3112

1,3071
1,3158

1,3106

1,3058

1,3013

1,2971
1,3056

1,3002

1,2953

1,2906

1,2863
1,2945

1,2889

1,2838

1,2790

1,2745
1,2823

1,2765

1,2712

1,2662

1,2615
1,2689

1,2628

1,2572

1,2519

1,2470
1,2538

1,2474

1,2414

1,2358

1,2306
30

40

60

120

бесконеч-
ность
1,3507

1,3266

1,3026

1,2787

1,2549
1,3369

1,3119

1,2780

1,2621

1,2371
1,3213

1,2952

1,2691

1,2428

1,2163
1,3033

1,2758

1,2481

1,2200

1,1914
1,2933

1,2649

1,2361

1,2068

1,1767
1,2823

1,2529

1,2229

1,1921

1,1600
1,2703

1,2397

1,2081

1,1752

1,1404
1,2571

1,2249

1,1912

1,1555

1,1164
1,2424

1,2080

1,1715

1,1314

1,0838
1,2256

1,1883

1,1474

1,0987

1,0000

Таблица Г.3 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,999


ню_2 Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,999 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1

2

3

4
405300

998,5

167,0

74,14
500000

999,0

148,5

61,25
540400

999,2

141,1

56,18
562500

999,2

137,1

53,44
576400

999,3

134,6

51,71
585900

999,3

132,8

50,53
592900

999,4

131,6

49,66
598100

999,4

130,6

49,00
602300

999,4

129,9

48,47
5

6

7

8

9
47,18

35,51

29,25

25,42

22,86
37,12

27,00

21,69

18,49

16,39
33,20

23,70

18,77

15,83

13,90
31,09

21,92

17,19

14,39

12,56
29,75

20,81

16,21

13,49

11,71
28,84

20,03

15,52

12,86

11,13
28,16

19,46

15,02

12,40

10,70
27,64

19,03

14,63

12,04

10,37
27,24

18,69

14,33

11,77

10,11
10

11

12

13

14
21,04

19,69

18,64

17,81

17,14
14,91

13,81

12,97

12,31

11,78
12,55

11,56

10,80

10,21

9,73
11,28

10,35

9,63

9,07

8,62
10,48

9,58

8,89

8,35

7,92
9,92

9,05

8,38

7,86

7,43
9,52

8,66

8,00

7,49

7,08
9,20

8,35

7,71

7,21

6,80
8,96

8,12

7,48

6,98

6,58
15

16

17

18

19
16,59

16,12

15,72

15,38

15,08
11,34

10,97

10,66

10,39

10,16
9,34

9,00

8,73

8,49

8,28
8,25

7,94

7,68

7,46

7,26
7,57

7,27

7,02

6,81

6,62
7,09

6,81

6,56

6,35

6,18
6,74

6,46

6,22

6,02

5,85
6,47

6,19

5,96

5,76

5,59
6,26

5,98

5,75

5,56

5,39
20

21

22

23

24
14,82

14,59

14,38

14,19

14,03
9,95

9,77

9,61

9,47

9,34
8,10

7,94

7,80

7,67

7,55
7,10

6,95

6,81

6,69

6,59
6,46

6,32

6,19

6,08

5,98
6,02

5,88

5,76

5,65

5,55
5,69

5,56

5,44

5,33

5,23
5,44

5,31

5,19

5,09

4,99
5,24

5,11

4,99

4,89

4,80
25

26

27

28

29
13,88

13,74

13,61

13,50

13,39
9,22

9,12

9,02

8,93

8,85
7,45

7,36

7,27

7,19

7,12
6,49

6,41

6,33

6,25

6,19
5,88

5,80

5,73

5,66

5,59
5,46

5,38

5,31

5,24

5,18
5,15

5,07

5,00

4,93

4,87
4,91

4,83

4,76

4,69

4,64
4,71

4,64

4,57

4,50

4,45
30

40

60

120

бесконеч-
ность
13,29

12,61

11,97

11,38

10,83
8,77

8,25

7,76

7,32

6,91
7,05

6,60

6,17

5,79

5,42
6,12

5,70

5,31

4,95

4,62
5,53

5,13

4,76

4,42

4,10
5,12

4,73

4,37

4,04

3,74
4,82

4,44

4,09

3,77

3,47
4,58

4,21

3,87

3,55

3,27
4,39

4,02

3,69

3,38

3,10

Продолжение таблицы


ню_2 Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,999 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
605600

999,4

129,2

48,05
610700

999,4

128,3

47,41
615800

999,4

127,4

46,76
620900

999,4

126,4

46,10
623500

999,5

125,9

45,77
626100

999,5

125,4

45,43
628700

999,5

125,0

45,09
631300

999,5

124,5

44,75
634000

999,5

124,0

44,40
636600

999,5

123,5

44,05
5

6

7

8

9
26,92

18,41

14,08

11,54

9,89
26,42

17,99

13,71

11,19

9,57
25,91

17,56

13,32

10,84

9,24
25,39

17,12

12,93

10,48

8,90
25,14

16,89

12,73

10,30

8,72
24,87

16,67

12,53

10,11

8,55
26,40

16,44

12,33

9,92

8,37
24,33

16,21

12,12

9,73

8,19
24,06

15,99

11,91

9,53

8,00
23,79

15,75

11,70

9,33

7,81
10

11

12

13

14
8,75

7,92

7,29

6,80

6,40
8,45

7,63

7,00

6,52

6,13
8,13

7,32

6,71

6,23

5,85
7,80

7,01

6,40

5,93

5,56
7,64

6,85

6,25

5,78

5,41
7,47

6,68

6,09

5,63

5,25
7,30

6,52

5,93

5,47

5,10
7,12

6,35

5,76

5,30

4,94
6,94

6,17

5,59

5,14

4,77
6,76

6,00

5,42

4,97

4,60
15

16

17

18

19
6,08

5,81

5,58

5,39

5,22
5,81

5,55

5,32

5,13

4,97
5,54

5,27

5,05

4,87

4,70
5,25

4,99

4,78

4,59

4,43
5,10

4,85

4,63

4,45

4,29
4,95

4,70

4,48

4,30

4,14
4,80

4,54

4,33

4,15

3,99
4,64

4,39

4,18

4,00

3,84
4,47

4,23

4,02

3,84

3,68
4,31

4,06

3,85

3,67

3,51
20

21

22

23

24
5,08

4,95

4,83

4,73

4,64
4,82

4,70

4,58

4,48

4,39
4,56

4,44

4,33

4,23

4,14
4,29

4,17

4,06

4,23

3,87
4,15

4,03

3,92

3,82

3,74
4,00

3,88

3,78

3,68

3,59
3,86

3,74

3,63

3,53

3,45
3,70

3,58

3,48

3,38

3,29
3,54

3,42

3,32

3,22

3,14
3,38

3,26

3,15

3,05

2,97
25

26

27

28

29
4,56

4,48

4,41

4,35

4,29
4,31

4,24

4,17

4,11

4,05
4,06

3,99

3,92

3,86

3,80
3,79

3,72

3,66

3,60

3,54
3,66

3,59

3,52

3,46

3,41
3,52

3,44

3,38

3,32

3,27
3,37

3,30

3,23

3,18

3,12
3,22

3,15

3,08

3,02

2,97
3,06

2,99

2,92

2,86

2,81
2,89

2,82

2,75

2,69

2,64
30

40

60

120

бесконеч-
ность
4,24

3,87

3,54

3,24

2,96
4,00

3,64

3,31

3,02

2,74
3,75

3,40

3,08

2,78

2,51
3,49

3,15

2,83

2,53

2,27
3,36

3,01

2,69

2,40

2,13
3,22

2,87

2,55

2,26

1,99
3,07

2,73

2,41

2,11

1,84
2,92

2,57

2,25

1,95

1,66
2,76

2,41

2,08

1,76

1,45
2,59

2,23

1,89

1,54

1,00

Таблица Г.4 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,9995


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,9995 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  
1

2

3

4
1620000

2000

266

106
2000000

2000

237

87,4
2160000

2000

225

80,1
2250000

2000

218

76,1
2310000

2000

214

73,6
2340000

2000

211

71,9
2370000

2000

209

70,6
2390000

2000

208

69,7
2410000

2000

207

68,9
2420000

2000

206

68,3
2430000

2000

204

67,8
2440000

2000

204

67,4
 
5

6

7

8

9
63,6

46,1

37,0

31,6

28,0
49,8

34,8

27,2

22,8

19,9
44,4

30,4

23,5

19,4

16,8
41,5

28,1

21,4

17,6

15,1
39,7

26,6

20,2

16,4

14,1
38,5

25,6

19,3

15,7

13,3
37,6

24,9

18,7

15,1

12,8
36,9

24,3

18,2

14,6

12,4
36,4

23,9

17,8

14,3

12,1
35,9

23,5

17,5

14,0

11,8
35,6

23,2

17,2

13,8

11,6
35,2

23,0

17,0

13,6

11,4
 
10

11

12

15

20
25,5

23,6

22,2

19,5

17,2
17,9

16,4

15,3

13,2

11,4
15,0

13,6

12,7

10,8

9,20
13,4

12,2

11,2

9,48

8,02
12,4

11,2

10,4

8,66

7,28
11,8

10,6

9,74

8,10

6,76
11,3

10,1

9,28

7,68

6,38
10,9

9,76

8,94

7,36

6,08
10,6

9,48

8,66

7,11

5,85
10,3

9,24

8,43

6,91

5,66
10,1

9,04

8,24

6,75

5,51
9,93

8,88

8,08

6,60

5,38
 
24

30

40

60

120
16,2

15,2

14,4

13,6

12,8
10,6

9,90

9,25

8,65

8,10
8,52

7,90

7,33

6,81

6,34
7,39

6,82

6,30

5,82

5,39
6,68

6,14

5,64

5,20

4,79
6,18

5,66

5,19

4,76

4,37
5,82

5,31

4,85

4,44

4,07
5,54

5,04

4,59

4,18

3,82
5,31

4,82

4,38

3,98

3,63
5,13

4,65

4,21

3,82

3,47
4,98

4,51

4,07

3,69

3,34
4,85

4,38

3,95

3,57

3,22
 
Бесконеч-
ность
12,1 7,60 5,91 5,00 4,42 4,02 3,72 3,48 3,30 3,14 3,02 2,90  

Продолжение таблицы


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,9995 для степеней свободы ню_1
15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500 бесконечность
1

2

3

4
2460000

2000

203

66,5
2480000

2000

201

65,5
2490000

2000

200

65,1
2500000

2000

199

64,6
2510000

2000

199

64,1
2520000

2000

198

63,8
2520000

2000

198

63,6
2530000

2000

197

63,2
2530000

2000

197

63,1
2530000

2000

197

62,9
2540000

2000

196

62,7
2540000

2000

196

62,6
5

6

7

8

9
34,6

22,4

16,5

13,1

11,0
33,9

21,9

16,0

12,7

10,6
33,5

21,7

15,7

12,5

10,4
33,1

21,4

15,5

12,2

10,2
32,7

21,1

15,2

12,0

9,94
32,5

20,9

15,1

11,8

9,80
32,3

20,7

15,0

11,8

9,1
32,1

20,5

14,7

11,6

9,53
32,0

20,4

14,7

11,5

9,49
31,8

20,3

14,6

11,4

9,40
31,7

20,2

14,5

11,4

9,32
31,6

20,1

14,4

11,3

9,26
10

11

12

15

20
9,56

8,52

7,74

6,27

5,07
9,16

8,14

7,37

5,93

4,75
8,96

7,94

7,18

5,75

4,58
8,75

7,75

7,00

5,58

4,42
8,54

7,55

6,80

5,40

4,24
8,42

7,43

6,68

5,29

4,15
8,33

7,35

6,61

5,21

4,07
8,16

7,18

6,45

5,06

3,93
8,12

7,14

6,41

5,02

3,90
8,04

7,06

6,33

4,94

3,82
7,96

6,98

6,25

4,87

3,75
7,90

6,93

6,20

4,83

3,70
24

30

40

60

120
4,55

4,10

3,68

3,30

3,96
4,25

3,80

3,39

3,02

2,67
4,09

3,65

3,24

2,87

2,53
3,93

3.48

3,08

2,71

2,38
3,76

3,32

2,92

2,55

2,21
3,66

3,22

2,82

2,45

2,11
3,59

3,15

2,74

2,38

2,01
3,44

3,00

2,60

2,23

1,88
3,41

2,97

2,57

2,19

1,84
3,33

2,89

2,49

2,11

1,75
3,27

2,82

2,41

2,03

1,67
3,22

2,78

2,37

1,98

1,60
бесконеч-
ность
2,65 2,37 2,22 2,07 1,91 1,79 1,71 1,53 1,48 1,36 1,22 1,00

Таблица Г.5 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,995


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа = 0,995 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9  
1

2

3

4
16211

198,50

55,552

31,333
20000

199,00

49,799

26,284
21615

199,17

47,467

24,259
22500

199,25

46,195

23,155
23056

199,30

45,392

22,456
23437

199,33

44,838

21,975
23715

199,36

44,434

21,622
23925

199,37

44,126

21,352
24091

199,39

43,882

21,139
 
5

6

7

8

9
22,785

18,635

16,236

14,688

13,614
18,314

14,544

12,404

11,042

10,107
16,530

12,917

10,882

9,5965

8,7171
15,556

12,028

10,050

8,8051

7,9559
14,940

11,464

9,5221

8,3018

7,4711
14,513

11,073

9,1554

7,9520

7,1338
14,200

10,786

8,8854

7,6942

6,8849
13,961

10,566

8,6781

7,4960

6,6933
13,772

10,391

8,5138

7,3386

6,5411
 
10

11

12

13

14
12,826

12,226

11,754

11,374

11,060
9,4270

8,9122

8,5096

8,1865

7,9216
8,0807

7,6004

7,2258

6,9257

6,6803
7,3428

6,8809

6,5211

6,2335

5,9984
6,8723

6,4217

6,0711

5,7910

5,5623
6,5446

6,1015

5,7570

5,4819

5,2574
6,3025

5,8648

5,5245

5,2529

5,0313
6,1159

5,6821

5,3451

5,0761

4,8566
5,9676

5,5368

5,2021

4,9351

4,7173
 
15

16

17

18

19
10,798

10,575

10,384

10,218

10,073
7,7008

7,5138

7,3536

7,2148

7,0935
6,4760

6,3034

6,1556

6,0277

5,9161
5,8029

5,6378

5,4967

5,3746

5,2181
5,3721

5,2117

5,0746

4,9560

4,8526
5,0708

4,9134

4,7789

4,6627

4,5614
4,8473

4,6920

4,5594

4,4448

4,3448
4,6743

4,5207

4,3893

4,2759

4,1770
4,5364

4,3838

4,2535

4,1410

4,0428
 
20

21

22

23

24
9,9439

9,8295

9,7271

9,6348

9,5513
6,9865

6,8914

6,8064

6,7300

6,6609
5,8177

5,7304

5,6524

5,5823

5,5190
5,1743

5,0911

5,0168

4,9500

4,8898
4,7616

4,6808

4,6088

4,5441

4,4857
4,4721

4,3931

4,3225

4,2591

4,2019
4,2569

4,1789

4,1094

4,0469

3,9905
4,0900

4,0128

3,9440

3,8822

3,8264
3,9564

3,8799

3,8116

3,7502

3,6949
 
25

26

27

28

29
9,4753

9,4059

9,3423

9,2838

9,2297
6,5982

6,5409

6,4885

6,4403

6,3958
5,4615

5.4091

5,3611

5,3170

5,2764
4,8351

4,7852

4,7396

4,6977

4,6591
4,4327

4,3844

4,3402

4,2996

4,2622
4,1500

4,1027

4,0594

4,0197

3,9830
3,9394

3,8928

3,8501

3,8110

3,7749
3,7758

3,7297

3,6875

3,6487

3,6130
3,6447

3,5989

3,5571

3,5186

3,4832
 
30

40

60

120

бесконе-
чность
9,1797

8,8278

8,4946

8,1790

7,8794
6,3547

6,0664

5,7950

5,5393

5,2983
5,2388

4,9759

4,7290

4,4973

4,2794
4,6233

4,3738

4,1399

3,9207

3,7151
4,2276

3,9860

3,7600

3,5482

3,3499
3,9492

3,7129

3,4918

3,2849

3,0913
3,7416

3,5088

3,2911

3,0874

2,8968
3,5801

3,3498

3,1344

2,9330

2,7444
3,4505

3,2220

3,0083

2,8083

2,6210
 

Продолжение таблицы


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа = 0,995 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
24224

199,40

43,686

20,967
24426

199,42

43,387

20,705
24630

199,43

43,085

20,438
24836

199,45

42,778

20,167
24940

199,46

42,622

20,030
25044

199,47

42,466

19,892
25148

199,47

42,308

19,752
25253

199,48

42,149

19,611
25339

199,49

41,989

19,468
25465

199,51

41,829

19,325
5

6

7

8

9
13,618

10,250

8,3803

7,2107

6,4171
13,384

10,034

8,1764

7,0149

6,2274
13,146

9,8140

7,9678

6,8143

6,0325
12,903

9,5888

7,7540

6,6082

5,8318
12,780

9,4741

7,6450

6,5029

5,7292
12,656

9,3583

7,5345

6,3961

5,6248
12,530

9,2408

7,4225

6,2875

5,5186
12,402

9,1219

7,3088

6,1772

5,4104
12,274

9,0015

7,1933

6,0649

5,3001
12,144

8,2793

7,0760

5,9505

5,1875
10

11

12

13

14
5,8467

5,4182

5,0855

4,8199

4,6034
5,6613

5,2363

4,9063

4,6429

4,4281
5,4707

5,0489

4,7214

4,4600

4,2468
5,2740

4,8552

4,5299

4,2703

4,0585
5,1732

4,7557

4,4315

4,1726

3,9614
5,0705

4,6543

4,3309

4,0727

3,8619
4,9659

4,5508

4,2282

3,9704

3,7600
4,8592

4,4450

4,1229

3,8665

3,6553
4,7501

4,3367

4,0149

3,7577

3,5473
4,6385

4,2256

3,9039

3,6465

3,4359
15

16

17

18

19
4,4236

4,2719

4,1423

4,0305

3,9329
4,2498

4,0994

3,9709

3,8599

3,7631
4,0698

3,9205

3,7929

3,6827

3,5866
3,8826

3,7342

3,6073

3,4977

3,4020
3,7859

3,6378

3,5112

3,4017

3,3062
3,6867

3,5388

3,4124

3,3030

3,2075
3,5850

3,4372

3,3107

3,2014

3,1058
3,4803

3,3324

3,2058

3,0962

3,0004
3,3722

3,2240

3,0971

2,9871

2,8908
3,2602

3,1115

2,9839

2,8732

2,7762
20

21

22

23

24
3,8470

3,7709

3,7030

3,6420

3,5870
3,6779

3,6024

3,5350

3,4745

3,4199
3,5020

3,4270

3,3600

3,2999

3,2456
3,3178

3,2431

3,1764

3,1165

3,0624
3,2220

3,1474

3,0807

3,0208

2,9667
3,1234

3,0488

2,9821

2,9221

2,8679
3,0215

2,9467

2,8799

2,8198

2,7654
2,9159

2,8408

2,7736

2,7132

2,6585
2,8058

2,7302

2,6625

2,6016

2,5463
2,6904

2,6140

2,5455

2,4837

2,4276
25

26

27

28

29
3,5370

3,4916

3,4499

3,4117

3,3765
3,3704

3,3252

3,2839

3,2460

3,2111
3,1963

3,1515

3,1104

3,0727

3,0379
3,0133

2,9685

2,9275

2,8899

2,8551
2,9176

2,8728

2,8318

2,7941

2,7594
2,8187

2,7738

2,7327

2,6949

2,6601
2,7160

2,6709

2,6296

2,5916

2,5565
2,6088

2,5633

2,5217

2,4834

2,4479
2,4960

2,4501

2,4079

2,3690

2,3331
2,3765

2,3297

2,2867

2,2469

2,2102
30

40

60

120

бесконе-
чность
3,3440

3,1167

2,9042

2,7052

2,5188
3,1787

2,9531

2,7419

2,5439

2,3583
3,0057

2,7811

2,5705

2,3727

2,1868
2,8230

2,5984

2,3872

2,1881

1,9998
2,7272

2,5020

2,2898

2,0890

1,8983
2,6278

2,4015

2,1874

1,9839

1,7891
2,5241

2,2958

2,0789

1,8709

1,6691
2,4151

2,1838

1,9622

1,7469

1,5325
2,2998

2,0635

1,8341

1,6055

1,3637
2,1760

1,9318

1,6885

1,4311

1,0000

Таблица Г.6 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,9


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,9 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9  
1

2

3

4
39,864

8,5263

5,5383

4,5448
49,500

9,0000

5,4624

4,3246
53,593

9,1618

5,3908

4,1908
55,833

9,2434

5,3427

4,1073
57,241

9,2926

5,3092

4,0506
58,204

9,3255

5,2847

4,0098
58,906

9,3491

5,2662

3,9790
59,439

9,3668

5,2517

3,9549
59,858

9,3805

5,2400

3,9357
 
5

6

7

8

9
4,0604

3,7760

3,5894

3,4597

3,3603
3,7797

3,4633

3,2574

3,1131

3,0065
3,6195

3,2888

3,0741

2,9238

2,8129
3,5202

3,1808

2,9605

2,8064

2,6927
3,4530

3,1075

2,8833

2,7265

2,6106
3,4045

3,0546

2,8274

2,6683

2,5509
3,3679

3,0145

2,7849

2,6241

2,5053
3,3393

2,9830

2,7516

2,5893

2,4694
3,3163

2,9577

2,7247

2,5612

2,4403
 
10

11

12

13

14
3,2850

3,2252

3,1765

3,1362

3,1022
2,9245

2,8595

2,8068

2,7632

2,7265
2,7277

2,6602

2,6055

2,5603

2,5222
2,6053

2,5362

2,4801

2,4337

2,3947
2,5216

2,4512

2,3940

2,3467

2,3069
2,4606

2,3891

2,3310

2,2830

2,2426
2,4140

2,3416

2,2828

2,2341

2,1931
2,3772

2,3040

2,2446

2,1953

2,1539
2,3473

2,2735

2,2135

2,1638

2,1220
 
15

16

17

18

19
3,0732

3,0481

3,0262

3,0070

2,9899
2,6952

2,6682

2,6446

2,6239

2,6056
2,4898

2,4618

2,4374

2,4160

2,3970
2,3614

2,3327

2,3077

2,2858

2,2663
2,2730

2,2438

2,2183

2,1958

2,1760
2,2081

2,1783

2,1524

2,1296

2,1094
2,1582

2,1280

2,1017

2,0785

2,0580
2,1185

2,0880

2,0613

2,0379

2,0171
2,0862

2,0553

2,0284

2,0047

1,9836
 
20

21

22

23

24
2,9747

2,9609

2,9486

2,9374

2,9271
2,5893

2,5746

2,5613

2,5493

2,5383
2,3801

2,3649

2,3512

2,3387

2,3274
2,2489

2,2333

2,2193

2,2065

2,1949
2,1582

2,1423

2,1279

2,1149

2,1030
2,0913

2,0751

2,0605

2,0472

2,0351
2,0397

2,0232

2,0084

1,9949

1,9826
1,9985

1,9819

1,9668

1,9531

1,9407
1,9649

1,9480

1,9327

1,9189

1,9063
 
25

26

27

28

29
2,9177

2,9091

2,9012

2,8939

2,8871
2,5283

2,5191

2,5106

2,5028

2,4955
2,3170

2,3075

2,2987

2,2906

2,2831
2,1843

2,1745

2,1655

2,1571

2,1494
2,0922

2,0822

2,0730

2,0645

2,0566
2,0241

2,0139

2,0045

1,9959

1,9878
1,9714

1,9610

1,9515

1,9427

1,9345
1,9292

1,9188

1,9091

1,9001

1,8918
1,8947

1,8841

1,8743

1,8652

1,8568
 
30

40

60

120

бесконе-
чность
2,8807

2,8354

2,7914

2,7478

2,7055
2,4887

2,4404

2,3933

2,3473

2,3026
2,2761

2,2261

2,1774

2,1300

2,0838
2,1422

2,0909

2,0410

1,9923

1,9449
2,0492

1,9968

1,9457

1,8959

1,8473
1,9803

1,9269

1,8747

1,8238

1,7741
1,9269

1,8725

1,8194

1,7675

1,7167
1,8841

1,8289

1,7748

1,7220

1,6702
1,8490

1,7929

1,7380

1,6843

1,6315
 

Продолжение таблицы


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,9 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
60,195

9,3916

5,2304

3,9199
60,705

9,4081

5,2156

3,8955
61,220

9,4247

5,2003

3,8703
61,740

9,4413

5,1845

3,8443
62,002

9,4496

5,1764

3,8310
62,265

9,4579

5,1681

3,8174
62,529

9,4663

5,1597

3,8036
62,794

9,4746

5,1512

3,7896
63,061

9,4829

5,1425

3,7753
63,328

9,4913

5,1337

3,7607
5

6

7

8

9
3,2974

2,9369

2,7025

2,5380

2,4163
3,2682

2,9047

2,6681

2,5020

2,3789
3,2380

2,8712

2,6322

2,4642

2,3396
3,2067

2,8363

2,5947

2,4246

2,2983
3,1905

2,8183

2,5753

2,4041

2,2768
3,1741

2,8000

2,5555

2,3830

2,2547
3,1573

2,7812

2,5351

2,3614

2,2320
3,1402

2,7620

2,5142

2,3391

2,2085
3,1228

2,7423

2,4928

2,3162

2,1843
3,1050

2,7222

2,4708

2,2926

2,1592
10

11

12

13

14
2,3226

2,2482

2,1878

2,1376

2,0954
2,2841

2,2087

2,1474

2,0966

2,0537
2,2435

2,1671

2,1049

2,0532

2,0095
2,2007

2,1230

2,0597

2,0070

1,9625
2,1784

2,1000

2,0360

1,9827

1,9377
2,1554

2,0762

2,0115

1,9576

1,9119
2,1317

2,0516

1,9861

1,9315

1,8852
2,1072

2,0261

1,9597

1,9043

1,8572
2,0818

1,9997

1,9323

1,8759

1,8280
2,0554

1,9721

1,9036

1,8462

1,7973
15

16

17

18

19
2,0593

2,0281

2,0009

1,9770

1,9557
2,0171

1,9854

1,9577

1,9333

1,9117
1,9722

1,9399

1,9117

1,8868

1,8647
1,9243

1,8913

1,8624

1,8368

1,8142
1,8990

1,8656

1,8362

1,8103

1,7873
1,8728

1,8388

1,8090

1,7827

1,7592
1,8454

1,8108

1,7805

1,7537

1,7298
1,8168

1,7816

1,7506

1,7232

1,6988
1,7867

1,7507

1,7191

1,6910

1,6659
1,7551

1,7182

1,6856

1,6567

1,6308
20

21

22

23

24
1,9367

1,9197

1,9043

1,8903

1,8775
1,8924

1,8750

1,8593

1,8450

1,8319
1,8449

1,8272

1,8111

1,7964

1,7831
1,7938

1,7756

1,7590

1,7439

1,7302
1,7667

1,7481

1,7312

1,7159

1,7019
1,7382

1,7193

1,7021

1,6864

1,6721
1,7083

1,6890

1,6714

1,6554

1,6407
1,6768

1,6569

1,6389

1,6224

1,6073
1,6433

1,6228

1,6042

1,5871

1,5715
1,6074

1,5862

1,5668

1,5490

1,5327
25

26

27

28

29
1,8658

1,8550

1,8451

1,8359

1,8274
1,8200

1,8090

1,7989

1,7895

1,7808
1,7708

1,7596

1,7492

1,7395

1,7306
1,7175

1,7059

1,6951

1,6852

1,6759
1,6890

1,6771

1,6662

1,6560

1,6465
1,6589

1,6468

1,6356

1,6252

1,6155
1,6272

1,6147

1,6032

1,5925

1,5825
1,5934

1,5805

1,5686

1,5575

1,5472
1,5570

1,5437

1,5313

1,5198

1,5090
1,5176

1,5036

1,4906

1,4784

1,4670
30

40

60

120

бесконе-
чность
1,8195

1,7627

1,7070

1,6524

1,5987
1,7727

1,7146

1,6574

1,6012

1,5458
1,7223

1,6624

1,6034

1,5450

1,4871
1,6673

1,6052

1,5435

1,4821

1,4206
1,6377

1,5741

1,5107

1,4472

1,3832
1,6065

1,5411

1,4755

1,4094

1,3419
1,5732

1,5056

1,4373

1,3676

1,2951
1,5376

1,4672

1,3952

1,3203

1,2400
1,4989

1,4248

1,3476

1,2646

1,1686
1,4564

1,3769

1,2915

1,1926

1,0000

Таблица Г.7 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,95


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,95 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9  
1

2

3

4
161,45

18,513

10,128

7,7086
199,50

19,000

9,5521

6,9443
215,71

19,164

9,2766

6,5914
224,58

19,247

9,1172

6,3883
230,16

19,296

9,0135

6,2560
233,99

19,330

8,9406

6,1631
236,77

19,353

8,8868

6,0942
238,88

19,371

8,8452

6,0410
240,54

19,385

8,8123

5,9988
 
5

6

7

8

9
6,6079

5,9874

5,5914

5,3177

5,1174
5,7861

5,1433

4,7374

4,4590

4,2565
5,4095

4,7571

4,3468

4,0662

3,8626
5,1922

4,5337

4,1203

3,8378

3,6331
5,0503

4,3874

3,9715

3,6875

3,4817
4,9503

4,2839

3,8660

3,5806

3,3738
4,8759

4,2066

3,7870

3,5005

3,2927
4,8183

4,1468

3,7257

3,4381

3,2296
4,7725

4,0990

3,6767

3,3881

3,1789
 
10

11

12

13

14
4,9646

4,8443

4,7472

4,6672

4,6001
4,1028

3,9823

3,8853

3,8056

3,7389
3,7083

3,5874

3,4903

3,4105

3,3439
3,4780

3,3567

3,2592

3,1791

3,1122
3,3258

3,2039

3,1059

3,0254

2,9582
3,2172

3,0946

2,9961

2,9153

2,8477
3,1355

3,0123

2,9134

2,8321

2,7642
3,0717

2,9480

2,8486

2,7669

2,6987
3,0204

2,8962

2,7964

2,7144

2,6458
 
15

16

17

18

19
4,5431

4,4940

4,4513

4,4139

4,3808
3,6823

3,6337

3,5915

3,5546

3,5219
3,2874

3,2389

3,1968

3,1599

3,1274
3,0556

3,0069

2,9647

2,9277

2,8951
2,9013

2,8524

2,8100

2,7729

2,7401
2,7905

2,7413

2,6987

2,6613

2,6283
2,7066

2,6572

2,6143

2,5767

2,5435
2,6408

2,5911

2,5480

2,5102

2,4768
2,5876

2,5377

2,4943

2,4563

2,4227
 
20

21

22

23

24
4,3513

4,3248

4,3009

4,2793

4,2597
3,4928

3,4668

3,4434

3,4221

3,4028
3,0984

3,0725

3,0491

3,0280

3,0088
2,8661

2,8401

2,8167

2,7955

2,7763
2,7109

2,6848

2,6613

2,6400

2,6207
2,5990

2,5727

2,5491

2,5277

2,5082
2,5140

2,4876

2,4638

2,4422

2,4226
2,4471

2,4205

2,3965

2,3748

2,3551
2,3928

2,3661

3,3419

2,3201

2,3002
 
25

26

27

28

29
4,2417

4,2252

4,2100

4,1960

4,1830
3,3852

3,3690

3,3541

3,3404

3,3277
2,9912

2,9751

2,9604

2,9467

2,9340
2,7587

2,7426

2,7278

2,7141

2,7014
2,6030

2,5868

2,5719

2,5581

2,5454
2,4904

2,4741

2,4591

2,4453

2,4324
2,4047

2,3883

2,3732

2,3593

2,3463
2,3371

2,3205

2,3053

2,2913

2,2782
2,2821

2,2655

2,2501

2,2360

2,2229
 
30

40

60

120

бесконе-
чность
4,1709

4,0848

4,0012

3,9201

3,8415
3,3158

3,2317

3,1504

3,0718

2,9957
2,9223

2,8387

2,7581

2,6802

2,6049
2,6896

2,6060

2,5252

2,4472

2,3719
2,5336

2,4459

2,3683

2,2900

2,2141
2,4205

2,3359

2,2540

2,1750

2,0986
2,3343

2,2400

2,1665

2,0867

2,0096
2,2662

2,1802

2,0970

2,0164

1,9384
2,2107

2,1240

2,0401

1,9588

1,8799
 

Продолжение таблицы


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,95 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
241,88

19,396

8,7855

5,9644
243,91

19,413

8,7446

5,9117
245,95

19,429

8,7029

5,8578
248,01

19,446

8,6602

5,8025
249,05

19,454

8,6385

5,7744
250,09

19,462

8,6166

5,7459
251,14

19,471

8,5944

5,7170
252,20

19,479

8,5720

5,6878
253,25

19,487

8,5494

5,6581
254,32

19,496

8,5265

5,6281
5

6

7

8

9
4,7351

4,0600

3,6365

3,3472

3,1373
4,6777

3,9999

3,5747

3,2840

3,0729
4,6188

3,9381

3,5108

3,2184

3,0061
4,5581

3,8742

3,4445

3,1503

2,9365
4,5272

3,8415

3,4105

3,1152

2,9005
4,4957

3,8082

3,3758

3,0794

2,8637
4,4638

3,7743

3,3404

3,0428

2,8259
4,4314

3,7398

3,3043

3,0053

2,7872
4,3984

3,7047

3,2674

2,9669

2,7475
4,3650

3,6688

3,2298

2,9276

2,7067
10

11

12

13

14
2,9782

2,8536

2,7534

2,6710

2,6021
2,9130

2,7876

2,6866

2,6037

2,5342
2,8450

2,7186

2,6169

2,5331

2,4630
2,7740

2,6464

2,5436

2,4589

2,3879
2,7372

2,6090

2,5055

2,4202

2,3487
2,6996

2,5705

2,4663

2,3803

2,3082
2,6609

2,5309

2,4259

2,3392

2,2664
2,6211

2,4901

2,3842

2,2966

2,2230
2,5801

2,4480

2,3410

2,2524

2,1778
2,5379

2,4045

2,2962

2,2064

2,1307
15

16

17

18

19
2,5437

2,4935

2,4499

2,4117

2,3779
2,4753

2,4247

2,3807

2,3421

2,3080
2,4035

2,3522

2,3077

2,2686

2,2341
2,3275

2,2756

2,2304

2,1906

2,1555
2,2878

2,2354

2,1898

2,1497

2,1141
2,2468

2,1938

2,1477

2,1071

2,0712
2,2043

2,1507

2,1040

2,0629

2,0264
2,1601

2,1058

2,0584

2,0166

1,9796
2,1141

2,0589

2,0107

1,9681

1,9302
2,0658

2,0096

1,9604

1,9168

1,8780
20

21

22

23

24
2,3479

2,3210

2,2967

2,2747

2,2547
2,2776

2,2504

2,2258

2,2036

2,1834
2,2033

2,1757

2,1508

2,1282

2,1077
2,1242

2,0960

2,0707

2,0476

2,0267
2,0825

2,0540

2,0283

2,0050

1,9838
2,0391

2,0102

1,9842

1,9605

1,9390
1,9938

1,9645

1,9380

1,9139

1,8920
1,9464

1,9165

1,8895

1,8649

1,8424
1,8963

1,8657

1,8380

1,8128

1,7897
1,8432

1,8117

1,7831

1,7570

1,7331
25

26

27

28

29
2,2365

2,2197

2,2043

2,1900

2,1768
2,1649

2,1479

2,1323

2,1179

2,1045
2,0889

2,0716

2,0558

2,0411

2,0275
2,0075

1,9898

1,9736

1,9586

1,9446
1,9643

1,9464

1,9299

1,9147

1,9005
1,9192

1,9010

1,8842

1,8687

1,8543
1,8718

1,8533

1,8361

1,8203

1,8055
1,8217

1,8027

1,7851

1,7689

1,7537
1,7684

1,7488

1,7307

1,7138

1,6981
1,7110

1,6906

1,6717

1,6541

1,6377
30

40

60

120

бесконе-
чность
2,1646

2,0772

1,9926

1,9105

1,8307
2,0921

2,0035

1,9174

1,8337

1,7522
2,0148

1,9245

1,8364

1,7505

1,6664
1,9317

1,8389

1,7480

1,6587

1,5705
1,8874

1,7929

1,7001

1,6084

1,5173
1,8409

1,7444

1,6491

1,5543

1,4591
1,7918

1,6928

1,5943

1,4952

1,3940
1,7396

1,6373

1,5343

1,4290

1,3180
1,6835

1,5766

1,4673

1,3519

1,2214
1,6223

1,5089

1,3893

1,2539

1,0000

Таблица Г.8 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,975


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,975 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9  
1

2

3

4
647,79

38,506

17,443

12,218
799,50

39,000

16,044

10,649
864,16

39,165

15,439

9,9792
899,58

39,248

15,101

9,6045
921,85

39,298

14,885

9,3645
937,11

39,331

14,735

9,1973
948,22

39,355

14,624

9,0741
956,66

39,373

14,540

8,9796
963,28

39,387

14,473

8,9047
 
5

6

7

8

9
10,007

8,8131

8,0727

7,5709

7,2093
8,4336

7,2598

6,5415

6,0595

5,7147
7,7636

6,5988

5,8898

5,4160

5,0781
7,3879

6,2272

5,5226

5,0526

4,7181
7,1464

5,9876

5,2852

4,8173

4,4844
6,9777

5,8197

5,1186

4,6517

4,3197
6,8531

5,6955

4,9949

4,5286

4,1971
6,7572

5,5996

4,8994

4,4332

4,1020
6,6810

5,5234

4,8232

4,3572

4,0260
 
10

11

12

13

14
6,9367

6,7241

6,5538

6,4143

6,2979
5,4564

5,2559

5,0959

4,9653

4,8567
4,8256

4,6300

4,4742

4,3472

4,2417
4,4683

4,2751

4,1212

3,9959

3,8919
4,2361

4,0440

3,8911

3,7667

3,6634
4,0721

3,8807

3,7283

3,6043

3,5014
3,9498

3,7586

3,6065

3,4827

3,3799
3,8549

3,6638

3,5118

3,3880

3,2853
3,7790

3,5879

3,4358

3,3120

3,2093
 
15

16

17

18

19
6,1995

6,1151

6,0420

5,9781

5,9216
4,7650

4,6867

4,6189

4,5597

4,5075
4,1528

4,0768

4,0112

3,9539

3,9034
3,8043

3,7294

3,6648

3,6083

3,5587
3,5764

3,5021

3,4379

3,3820

3,3327
3,4147

3,3406

3,2767

3,2209

3,1718
3,2934

3,2194

3,1556

3,0999

3,0509
3,1987

3,1248

3,0610

3,0053

2,9563
3,1227

3,0488

2,9849

2,9291

2,8800
 
20

21

22

23

24
5,8715

5,8266

5,7863

5,7498

5,7167
4,4613

4,4199

4,3828

4,3492

4,3187
5,8587

3,8188

3,7829

3,7505

3,7211
3,5147

3,4754

3,4401

3,4083

3,3794
3,2891

3,2501

3,2151

3,1835

3,1548
3,1283

3,0895

3,0546

3,0232

3,9946
3,0074

2,9686

2,9338

2,9024

2,8738
2,9128

2,8740

2,8392

2,8077

2,7791
2,8365

2,7977

2,7628

2,7313

2,7027
 
25

26

27

28

29
5,6864

5,6586

5,6331

5,6096

5,5878
4,2909

4,2655

4,2421

4,2205

4,2006
3,6943

3,6697

3,6472

3,6264

3,6072
3,3530

3,3289

3,3067

3,2863

3,2674
3,1287

3,1048

3,0828

3,0625

3,0438
2,9685

2,9447

2,9228

2,9027

2,8840
2,8478

2,8240

2,8021

2,7820

2,7633
2,7531

2,7293

2,7074

2,6872

2,6686
2,6766

2,6528

2,6309

2,6106

2,5919
 
30

40

60

120

бесконе-
чность
5,5675

5,4239

5,2857

5,1524

5,0239
4,1821

4,0510

3,9253

3,8046

3,6889
3,5894

3,4633

3,3425

3,2270

3,1161
3,2499

3,1261

3,0077

2,8943

2,7858
3,0265

2,9037

2,7863

2,6740

2,5665
2,8667

2,7444

2,6274

2,5154

2,4082
2,7460

2,6238

2,5068

2,3948

2,2875
2,6513

2,5289

2,4117

2,2994

2,1918
2,5746

2,4519

2,3344

2,2217

2,1136
 

Продолжение таблицы


ню_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,975 для степеней свободы ню_1
10 12 15 20 24 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
968,63

39,398

14,419

8,8439
976,71

39,415

14,337

8,7512
984,87

39,431

14,253

8,6565
993,10

39,448

14,167

8,5599
997,25

39,456

14,124

8,5109
1001,4

39,465

14,081

8,4613
1005,6

39,473

14,037

8,4111
1009,8

39,481

13,992

8,3604
1014,0

39,490

13,947

8,3092
1018,3

39,498

13,902

8,2573
5

6

7

8

9
6,6192

5,4613

4,7611

4,2951

3,9639
6,5246

5,3662

4,6658

4,1997

3,8682
6,4227

5,2687

4,5678

4,1012

3,7694
6,3285

5,1684

4,4667

3,9995

3,6669
6,2780

5,1172

4,4150

3,9472

3,6142
6,2269

5,0652

4,3624

3,8940

3,5604
6,1752

5,0125

4,3089

3,8398

3,5055
6,1225

4,9587

4,2544

3,7844

3,4493
6,0693

4,9045

4,1989

3,7279

3,3918
6,0153

4,8491

4,1423

3,6702

3,3329
10

11

12

13

14
3,7168

3,5257

3,3736

3,2497

3,1469
3,6209

3,4296

3,2773

3,1532

3,0501
3,5217

3,3299

3,1772

3,0527

2,9493
3,4186

3,2261

3,0728

2,9477

2,8437
3,3654

3,1725

3,0187

2,8932

2,7888
3,3110

3,1176

2,9633

2,8373

2,7324
3,2554

3,0613

2,9063

2,7797

2,6742
3,1984

3,0035

2,8478

2,7204

2,6142
3,1399

2,9441

2,7874

2,6590

2,5519
3,0798

2,8828

2,7249

2,5955

2,4872
15

16

17

18

19
3,0602

2,9862

2,9222

2,8664

2,8173
2,9633

2,8890

2,8249

2,7689

2,7196
2,8621

2,7875

2,7230

2,6667

2,6171
2,7559

2,6808

2,6158

2,5590

2,5089
2,7006

2,6252

2,5598

2,5027

2,4523
2,6437

2,5678

2,5021

2,4445

2,3937
2,5850

2,5085

2,4422

2,3842

2,3329
2,5242

2,4471

2,3801

2,3214

2,2695
2,4611

2,3831

2,3154

2,2558

2,2032
2,3953

2,3163

2,2474

2,1869

2,1333
20

21

22

23

24
2,7737

2,7348

2,6998

2,6682

2,6396
2,6758

2,6368

2,6017

2,5699

2,5412
2,5731

2,5338

2,4984

2,4665

2,4374
2,4645

2,4247

2,3890

2,3567

2,3273
2,4076

2,3675

2,3315

2,2989

2,2693
2,3486

2,3082

2,2718

2,2389

2,2090
2,2873

2,2465

2,2097

2,1767

2,1460
2,2234

2,1819

2,1446

2,1107

2,0799
2,1562

2,1141

2,0760

2,0415

2,0099
2,0853

2,0422

2,0032

1,9677

1,9353
25

26

27

28

29
2,6135

2,5895

2,5676

2,5473

2,5286
2,5149

2,4909

2,4688

2,4484

2,4295
2,4110

2,3867

2,3644

2,3438

2,3248
2,3005

2,2759

2,2533

2,2324

2,2131
2,2422

2,2174

2,1946

2,1735

2,1540
2,1816

2,1565

2,1334

2,1121

2,0923
2,1183

2,0928

2,0693

2,0477

2,0276
2,0517

2,0257

2,0018

1,9796

1,9591
1,9811

1,9545

1,9299

1,9072

1,8861
1,9055

1,8781

1,8527

1,8291

1,8072
30

40

60

120

бесконе-
чность
2,5112

2,3882

2,2702

2,1570

2,0483
2,4120

2,2882

2,1692

2,0548

1,9447
2,3072

2,1819

2,0613

1,9450

1,8326
2,1952

2,0677

1,9445

1,8249

1,7085
2,1359

2,0069

1,8817

1,7597

1,6402
2,0739

1,9429

1,8152

1,6899

1,5660
2,0089

1,8752

1,7440

1,6141

1,4835
1,9400

1,8028

1,6668

1,5299

1,3883
1,8664

1,7242

1,5810

1,4327

1,2684
1,7867

1,6371

1,4822

1,3104

1,0000

Таблица Г.9 - Значения квантилей F-распределения уровня альфа=0,099


мю_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,099 для степеней свободы ню_1
1 2 3 4 5 6 7 8 9  
1

2

3

4
4052,2

98,503

34,116

21,198
4999,5

99,000

30,817

18,000
5403,3

99,166

29,457

16,694
5624,6

99,249

28,710

15,977
5763,7

99,299

28,237

15,522
5859,0

99,332

27,911

15,207
5928,3

99,356

27,672

14,976
5981,1

99,374

27,489

14,799
6022,5

99,388

27,345

14,659
 
5

6

7

8

9
16,258

13,745

12,246

11,259

10,561
13,274

10,925

9,5466

8,6491

8,0215
12,060

9,7795

8,4513

7,5910

6,9919
11,392

9,1483

7,8467

7,0060

6,4221
10,967

8,7459

7,4604

6,6318

6,0569
10,672

8,4661

7,1914

6,3707

5,8018
10,672

8,2600

6,9928

6,1776

5,6129
10,289

8,1016

6,8401

6,0289

5,4671
10,158

7,9761

6,7188

5,9106

5,3511
 
10

11

12

13

14
10,044

9,6460

9,3302

9,0738

8,8616
7,5594

7,2057

6,9266

6,7010

6,5149
6,5523

6,2167

5,9526

5,7394

5,5639
5,9943

5,6683

5,4119

5,2053

5,0354
5,6363

5,3160

5,0643

4,8616

4,6950
5,3858

5,0692

4,8206

4,6204

4,4558
5,2001

4,8861

4,6395

4,4410

4,2779
5,0567

4,7445

4,4994

4,3021

4,1399
4,9424

4,6315

4,3875

4,1911

4,0297
 
15

16

17

18

19
8,6831

8,5310

8,3997

8,2854

8,1850
6,3589

6,2262

6,1121

6,0129

5,9259
5,4170

5,2922

5,1850

5,0919

5,0103
4,8932

4,7726

4,6690

4,5790

4,5003
4,5556

4,4374

4,3359

4,2479

4,1708
4,3183

4,2016

4,1015

4,0146

3,9386
4,1415

4,0259

3,9267

3,8406

3,7653
4,0045

3,8896

3,7910

3,7054

3,6305
3,8948

3,7804

3,6822

3,5971

3,5225
 
20

21

22

23

24
8,0960

8,0166

7,9454

7,8811

7,8229
5,8489

5,7804

5,7190

5,6637

5,6136
4,9382

4,8740

4,8166

4,7649

4,7181
4,4307

4,3688

4,3134

4,2635

4,2184
4,1027

4,0421

3,9880

3,9392

3,8951
3,8714

3,8117

3,7583

3,7102

3,6667
3,6987

3,6396

3,5867

3,5390

3,4959
3,5644

3,5056

3,4530

3,4057

3,3629
3,4567

3,3981

3,3458

3,2986

3,2560
 
25

26

27

28

29
7,7698

7,7213

7,6767

7,6356

7,5976
5,5680

5,5263

5,4881

5,4529

5,4205
4,6755

4,6366

4,6009

4,5681

4,5378
4,1774

4,1400

4,1056

4,0740

4,0449
3,8550

3,8183

3,7848

3,7539

3,7254
3,6272

3,5911

3,5580

3,5276

3,4995
3,4568

3,4210

3,3882

3,3581

3,3302
3,3239

3,2884

3,2558

3,2259

3,1982
3,2172

3,1818

3,1494

3,1195

3,0920
 
30

40

60

120

бесконе-
чность
7,5625

7,3141

7,0771

6,8510

6,6349
5,3903

5,1785

4,9774

4,7865

4,6052
4,5097

4,3126

4,1259

3,9491

3,7816
4,0179

3,8283

3,6491

3,4796

3,3192
3,6990

3,5138

3,3387

3,1735

3,0173
3,4735

4,2910

3,1187

2,9559

2,8020
3,3045

3,1238

2,9530

2,7918

2,6393
3,1726

2,9930

2,8233

2,6629

2,5113
3,0665

2,8876

2,7185

2,5586

2,4073
 

Продолжение таблицы


мю_2 Квантили F-распределения уровня альфа=0,099 для степеней свободы ню_1
10 11 12 15 20 30 40 60 120 бесконеч-
ность
1

2

3

4
6055,8

99,399

27,229

14,546
6106,3

99,416

27,052

14,374
6157,3

99,432

26,872

14,198
6208,7

99,449

26,690

14,020
6234,6

99,458

26,598

13,929
6260,7

99,466

26,505

13,838
6286,8

99,474

26,411

13,745
6313,0

99,483

26,316

13,652
6339,4

99,491

26,221

13,558
6366,0

99,499

26,125

13,463
5

6

7

8

9
10,051

7,8741

6,6201

5,8143

5,2565
9,8883

7,7183

6,4691

5,6668

5,1114
9,7222

7,5590

6,3143

5,5151

4,9621
9,5527

7,3958

6,1554

5,3591

4,8080
9,4665

7,3127

6,0743

5,2793

4,7290
9,3793

7,2285

5,9921

5,1981

4,6486
9,2912

7,1432

5,9084

5,1156

4,5667
9,2020

7,0568

5,8236

5,0316

4,4831
9,1118

6,9690

5,7372

4,9460

4,3978
9,0204

6,8861

5,6495

4,8588

4,3105
10

11

12

13

14
4,8492

4,5393

4,2961

4,1003

3,9394
4,7059

4,3974

4,1553

3,9603

3,8001
4,5582

4,2509

4,0096

3,8154

3,6557
4,4054

4,0990

3,8584

3,6646

3,5052
4,3269

4,0209

3,7805

3,5868

3,4274
4,2469

3,9411

3,7008

3,5070

3,3476
4,1653

3,8596

3,6192

3,4253

3,2656
4,0819

3,7761

3,5355

3,3413

3,1813
3,9965

3,6904

3,4494

3,2548

3,0942
3,9090

3,6025

3,3608

3,1654

3,0040
15

16

17

18

19
3,8049

3,6909

3,5931

3,5082

3,4338
3,6662

3,5527

3,4552

3,3706

3,2965
3,5222

3,4089

3,3117

3,2273

3,1533
3,3719

3,2588

3,1615

3,0771

3,0031
3,2940

3,1808

3,0835

2,9990

2,9249
3,2141

3,1007

3,0032

2,9185

2,8442
3,1319

3,0182

2,9205

2,8354

2,7608
3,0471

2,9330

2,8348

2,7493

2,6742
3,2995

3,8447

2,7459

2,6597

2,5839
2,8684

2,7528

2,6530

2,5660

2,4893
20

21

22

23

24
3,3682

3,3098

3,2576

3,2106

3,1681
3,2311

3,1729

3,1209

3,0740

3,0316
3,0880

3,0299

2,9780

2,9311

2,8887
2,9377

2,8796

2,8274

2,7805

2,7380
2,8594

2,8011

2,7488

2,7017

2,6591
2,7785

2,7200

2,6675

2,6202

2,5773
2,6947

2,6359

2,5831

2,5355

2,4923
2,6077

2,5484

2,4951

2,4471

2,4035
2,5168

2,4568

2,4029

2,3542

2,3099
2,4212

2,3603

2,3055

2,2559

2,2107
25

26

27

28

29
3,1294

3,0941

3,0618

3,0320

3,0045
2,9931

2,9579

2,9256

2,8959

2,8685
2,8502

2,8150

2,7827

2,7530

2,7256
2,6993

2,6640

2,6316

2,6017

2,5742
2,6203

2,5848

2,5522

2,5223

2,4946
2,5383

2,5026

2,4699

2,4397

2,4118
2,4530

2,4170

2,3840

2,3535

2,3253
2,3637

2,3273

2,2938

2,2629

2,2344
2,2695

2,2325

2,1984

2,1670

2,1378
2,1694

2,1315

2,0965

2,0642

2,0342
30

40

60

120

бесконе-
чность
2,9791

2,8005

2,6318

2,4721

2,3209
2,8431

2,6648

2,4961

2,3363

2,1848
2,7002

2,5216

2,3523

2,1915

2,0385
2,5487

2,3689

2,1978

2,0346

1,8783
2,4689

2,2880

2,1154

1,9500

1,7908
2,3860

2,2034

2,0285

1,8600

1,6964
2,2992

2,1142

1,9360

1,7628

1,5923
2,2079

2,0194

1,8363

1,6557

1,4730
2,1107

1,9172

1,7263

1,5330

1,3246
2,0062

1,8047

1,6006

1,3805

1,0000

Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 50779.21-2004 "Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение" (утв. постановлением Госстандарта РФ от 12 января 2004 г. N 3-ст)


Текст документа приводится по официальному изданию Госстандарта России, ИПК Издательство стандартов, 2004 г.


1. Разработан Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции"


2. Внесен Научно-техническим управлением Госстандарта России


3. Утвержден и введен в действие постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. N 3-ст


4. Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 "Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях" (ISO 2854:76 "Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to means and variance", NEQ)


5. Взамен ГОСТ Р 50779.21-96


Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе "Национальные стандарты", а текст этих изменений - в информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе "Национальные стандарты"


Дата введения - 1 июня 2004 г.


Откройте актуальную версию документа прямо сейчас или получите полный доступ к системе ГАРАНТ на 3 дня бесплатно!

Получить доступ к системе ГАРАНТ

Если вы являетесь пользователем интернет-версии системы ГАРАНТ, вы можете открыть этот документ прямо сейчас или запросить по Горячей линии в системе.