Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 50779.21-2004 "Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение" (утв. постановлением Госстандарта РФ от 12 января 2004 г. N 3-ст)

1. Область применения

Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:

- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

- проверки гипотез относительно значений этих параметров;

- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание - Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие "доля распределения случайной величины в интервале", которое далее применено в настоящем стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;

- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2. Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

3. Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1 точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;

3.2 интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;

3.3 доверительный интервал: Интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее 1 - альфа (где 1 - альфа - доверительная вероятность).

Примечание - Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;

3.4 нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.

Примечание - В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.

4. Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

мю      - математическое   ожидание    нормального  закона  распределения

          (среднее значение генеральной   совокупности,   далее - среднее

          значение);

мю      - известное значение параметра мю;

мю , мю - математические  ожидания   для  двух    различных   генеральных

  1    2

          совокупностей;

^                                       ^  ^

мю      - точечная оценка параметра мю; мю=х;

мю , мю - верхняя и нижняя доверительные границы параметра мю;

  М    L

(мю - мю )^ - точечная оценка разности значений параметров мю  и мю ;

   1    2                                                    1     2

сигма   - стандартное   (среднеквадратичное)    отклонение      нормально

          распределенной случайной величины;

D       - дисперсия генеральной совокупности; D = сигма ;

D       - известное     значение   дисперсии    генеральной совокупности,

 0                 2

          D = сигма ;

           0       0

сигма   - известное численное значение параметра сигма;

сигма  , сигма  - известные значения параметров сигма  и сигма  для  двух

     01       02                                     1        2

         генеральных совокупностей;

  ^                                          ^

сигма   - точечная оценка параметра сигма, сигма=S;

сигма , сигма  - верхняя и нижняя доверительные границы параметра сигма;

     M       L

D       - точечная оценка дисперсии;

х       - выборочное значение наблюдаемой случайной величины;

х       - выборочное значение случайной величины из первой генеральной

          совокупности;

х       - то же, из второй генеральной совокупности;

n, n , n  - объемы выборок;

    1   2

_  _   _

х, х , х  - среднеарифметические значения (выборочные средние);

    1   2

_ 2

              (х-х)

S = кв.корень(------)  -  выборочное   стандартное   (среднеквадратичное)

              (n-1)

          отклонение;

S , S   - то же для двух выборок соответственно;

 1   2

альфа  - риск  первого  рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда  она

         верна);

(1-альфа) - уровень   значимости    при   проверке   гипотез,   а   также

            доверительная вероятность 0 < aльфа < 1;

ню      - число степеней свободы;

u       , u         - квантили   стандартного   нормального        закона

 1-альфа   1-альфа/2

         распределения уровней 1-альфа и 1 - альфа/2 соответственно;

t       (ню), t         (ню)  - квантили распределения Стьюдента    с  ню

 1-альфа       1-альфа/2

        степенями свободы уровней 1-альфа   и  1-альфа/2  соответственно;

F     (ню , ню ) - квантиль распределения Фишера с ню и ню      степенями

 1-альфа 1    2                                      1    2

         свободы уровня 1-альфа;

  2              2                2

хи       (ню), хи         (ню), хи       (ню) - квантили хи2 распределения

  1-альфа        1-альфа/2        альфа/2       с ню степенями   свободы

                                                уровней 1-альфа, 1-альфа/2

                                                и альфа/2 соответственно;

L, М    - нижняя и верхняя границы интервала соответственно;

р       - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в

          заданный интервал [L, М];

q       - доля распределения  (вероятность попадания) случайной  величины

          вне интервала [L, М ], причем q+р=1;

^  ^

p, q    - точечные оценки р и q;

p , q   - нижние односторонние доверительные границы для р и q;

 L   L

p , q   - верхние односторонние доверительные границы для р и q;

 M   M

С       - случайное событие: например, попадание случайной величины в

          заданный интервал;

Prob{C} - вероятность случайного события С;

Сумма(x) - сумма выборочных значений.

5. Общие требования

5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:

1) статистические и исходные данные;

2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.

5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).

Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.

Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения
(раздел 6)

Задача оценки среднего значения	Номер таблицы
Задача оценки среднего значения	D известна	D неизвестна
Оценка среднего Сравнение среднего значения с заданным значением Сравнение двух средних Оценка разности двух средних	6.1 6.3 6.5 6.7	6.2 6.4 6.6 6.8

Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии
(раздел 7)

Задача оценки дисперсии	Номер таблицы
Оценка дисперсии Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений	7.1 7.2 7.3

Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)

Номер таблицы
D известна	D неизвестна
8.2	8.3

Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)

Заданные границы интервала	Искомая величина	Номер таблицы
L М L, M L М L, M	p_L, q_M p_L, q_M p_L, q_M p_M, q_L p_M, q_L p_M, q_L	8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.

6. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин Сумма(х) = 3 Известное значение дис- персии: 2 сигма = 0 4 Выбранная доверительная вероятность: 1 - альфа =	1 Квантиль стандартного нормаль- ного закона распределения уровня (1 - альфа): u = 1-альфа 2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1-альфа/2): u = 1-альфа/2 3 Вычисляем: _ 1 х = - Сумма(х) = n 4 Вычисляем: U 1-альфа К = -------------- = 1 кв.корень(n) 5 Вычисляем: U 1-альфа/2 К = -------------- = 2 кв.корень(n)
Результаты 1 Точечная оценка параметра мю: ^ _ мю = x = 2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для мю: _ _ x - K сигма <= мю <= x + K сигма , 2 0 2 0 3 Односторонние доверительные интервалы для мю: _ мю <= х + K сигма или 1 0 _ мю >= x - K сигма , 1 0
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения A.

Примеры

1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки мю требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения мю(^) или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение мю. Интервал может быть:

- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать мю;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что мю не выше какого-то значения;

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что мю не ниже какого-то значения.

2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром сигма(2)_0), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки мю. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х) = 4 Степени свободы: ню = n-1 = 5 Выбранная доверительная вероятность 1 - альфа =	1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа) с ню степенями свободы: t (ню) = 1-альфа 2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа/2) с ню степенями свободы: t (ню)= 1-альфа/2 3 Вычисляем: _ 1 х = - Сумма(х) = n 4 Вычисляем: _ 2 2 2 Сумма(х-х) Сумма(х)-(Сумма х)/n ----------- = --------------------- = n-1 n-1 5 Вычисляем: _ 2 Сумма(х-х) S = кв.корень(-----------)= n-1 6 Вычисляем: t (ню) 1-альфа l = -------------- = 1 кв.корень(n) 7 Вычисляем: t (ню) 1-альфа/2 l = -------------- = 2 кв.корень(n)
Результаты 1 Точечная оценка параметра мю: ^ _ мю = x = 2 Точечная оценка параметра D: 2 D = S = 3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра мю: _ _ x - l S <= мю <= x + l S. 2 2 4 Односторонние доверительные интервалы для параметра мю: _ мю <= х + l S или (1) 1 _ мю >= x - l S. (2) 1
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.

Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при известной дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Заданное значение: мю = 0 4 Известное значение диспер- сии генеральной совокупности: 2 сигма = 0 или стандартного отклонения: сигма = 0 5 Выбранный уровень значимо- сти: альфа =	1 Квантиль стандартного нормаль- ного закона распределения уровня (1 - альфа): u = 1-альфа 2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1-альфа/2): u = 1-альфа/2 3 Вычисляем: _ 1 х = - Сумма(х) = n
Результаты Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением мю : 0 1 В двустороннем случае: Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ \|х - мю \| > [u /кв.корень (n)] сигма . 0 1-альфа/2 0 2 В одностороннем случае: а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем мю 0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ х < мю - [u /кв.корень (n)] сигма ; 0 1-альфа 0 б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем мю 0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ х > мю + [u /кв.корень (n)] сигма . 0 1-альфа 0
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение сигма(2)_0 известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.

6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.

Таблица 6.4 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х) = 4 Заданное значение: ню = 5 Степени свободы: ню = n-1= 6 Выбранный уровень значимо- сти: альфа =	1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа) с ню степенями свободы: t (ню) = 1-альфа 2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа/2) с ню степенями свободы: t (ню)= 1-альфа/2 3 Вычисляем: _ 1 х = - Сумма(х) = n 4 Вычисляем: _ 2 2 2 Сумма(х-х) Сумма(х)-((Сумма х)/n) ----------- = --------------------- = n-1 n-1 5 Вычисляем: _ 2 Сумма(х-х) S = кв.корень(-----------)= n-1
Результаты _ Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением мю : 0 1 В двустороннем случае: Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ \|х - мю \| > [t (ню)/кв.корень(n)] S. 0 1-альфа/2 2 В одностороннем случае: а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем мю 0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ х < мю - [t (ню)/кв.корень (n)] S; 0 1-альфа б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем мю 0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ х > мю + [t (ню) /кв.корень (n)] S. 0 1-альфа
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примеры

1 То же, что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.

2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.

Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т.п.

6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.

Таблица 6.5 - Сравнение двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
Первая Вторая выборка выборка 1 Объем n = n = выборки: 1 2 2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= значений 1 2 наблюдаемых величин 3 Известные 2 2 значения сигма = сигма = дисперсий 01 02 генеральных совокупно- стей: 4 Выбранный уровень альфа= значимости:	1 Квантиль стандартного нормаль- ного закона распределения уровня (1 - альфа): u = 1-альфа 2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1-альфа/2): u = 1-альфа/2 3 Вычисляем: Сумма(х ) Сумма(х ) _ 1 _ 2 х = --------- = ; x =--------- = 1 n 2 n 2 2 4 Вычисляем: 2 2 сигма сигма 01 02 сигма = кв.корень(------- + -------)= d n n 1 2
Результаты Сравнение средних значений двух совокупностей: 1 В двустороннем случае: Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняет- ся, если: _ _ \|х - х \| > u / сигма . 1 2 1-альфа/2 d 2 В одностороннем случае: а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ _ х < х - u сигма ; 1 2 1-альфа d б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ _ х > х + u сигма . 1 2 1-альфа d
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Примеры

1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры сигма_01 и сигма_02. Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.

2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.

6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.

Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
Первая Вторая выборка выборка 1 Объем n = n = выборки: 1 2 2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= значений 1 2 наблюдаемых величин: 2 2 3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= квадратов 1 2 значений наблюдаемых величин: 4 Степени ню = n + n - 2 = свободы: 1 2 5 Выбранный уровень альфа= значимости:	1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа) с ню степенями свободы: t (ню) = 1-альфа 2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа/2) с ню степенями свободы: t (ню)= 1-альфа/2 3 Вычисляем: Сумма(х ) Сумма(х ) _ 1 _ 2 х = --------- = ; x =--------- = 1 n 2 n 1 2 4 Вычисляем: _ 2 _ 2 Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) = 1 1 2 2 2 2 1 = Сумма(х ) + Сумма(х )- --- x 1 2 n 1 2 1 2 x (Сумма(х )) - ---(Сумма(х )) = 1 n 2 2 5 Вычисляем: (n + n ) 1 2 S = кв.корень(-------- x d n n 1 2 _ 2 _ 2 Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) 1 1 2 2 х --------------------------------) = n + n - 2 1 2
Результаты Сравнение средних значений двух совокупностей: 1 В двустороннем случае: а) предположение о том, что средние мю и мю совпадают (нулевая 1 2 гипотеза) отклоняется, если: _ _ \|х - х \| > t (ню) S . 1 2 1-альфа/2 d 2 В одностороннем случае: а) предположение о том, что мю >= мю (нулевая гипотеза) отклоняется, 1 2 если: _ _ х < х - t (ню) S ; 1 2 1-альфа d б) предположение о том, что мю <= мю (нулевая гипотеза) отклоняется, 1 2 если: _ _ х > х + t (ню) S . 1 2 1-альфа d
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.

Примеры:

1 Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

2 Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.

6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.

Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
Первая Вторая выборка выборка 1 Объем n = n = выборки: 1 2 2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= значений 1 2 наблюдаемых величин: 3 Известное 2 2 значение сигма = сигма = дисперсий 01 02 генеральной совокупно- сти: 4 Выбранный уровень альфа= , значимости тогда доверительная вероятность равна 1-альфа=	1 Квантиль стандартного нормаль- ного закона распределения уровня (1 - альфа): u = 1-альфа 2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1-альфа/2): u = 1-альфа/2 3 Вычисляем: Сумма(х ) Сумма(х ) _ 1 _ 2 х = --------- = ; x =--------- = 1 n 2 n 1 2 4 Вычисляем: 2 2 сигма сигма 01 02 сигма = кв.корень(------- + -------)= d n n 1 2
Результаты 1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров мю и 1 мю для двух совокупностей: 2 ^ _ _ (мю - мю ) = х - х . 1 2 1 2 2 Односторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): 1 2 _ _ (мю - мю ) < (x - x ) + u сигма или 1 2 1 2 1-альфа d _ _ (мю - мю ) > (x - x ) - u сигма . 1 2 1 2 1-альфа d 3 Двусторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): 1 2 _ _ _ _ (х - х ) - u сигма < (мю - мю ) < (x - x ) + u х 1 2 1-альфа/2 d 1 2 1 2 1-альфа/2 x сигма . d 4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ _ \|x - x \| > u сигма . 1 2 1-альфа/2 d
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.

Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.

6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.

Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
Первая Вторая выборка выборка 1 Объем n = n = выборки: 1 2 2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= значений 1 2 наблюдаемых величин: 2 2 3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= квадратов 1 2 значений наблюдаемых величин: 4 Степени ню = n + n - 2 = свободы: 1 2 5 Выбранная доверительная 1-альфа = вероятность:	1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа) с ню степенями свободы: t (ню) = 1-альфа 2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1-альфа/2) с ню степенями свободы: t (ню)= 1-альфа/2 3 Вычисляем: Сумма(х ) Сумма(х ) _ 1 _ 2 х = --------- = ; x =--------- = 1 n 2 n 1 2 4 Вычисляем: _ 2 _ 2 Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) = 1 1 2 2 2 2 1 = Сумма(х ) + Сумма(х )- --- x 1 2 n 1 2 1 2 x (Сумма(х )) - ---(Сумма(х )) = 1 n 2 2 5 Вычисляем: (n + n ) 1 2 S = кв.корень(-------- x d n n 1 2 _ 2 _ 2 Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) 1 1 2 2 х --------------------------------) = n + n - 2 1 2
Результаты 1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров мю и 1 мю для двух совокупностей: 2 ^ _ _ (мю - мю ) = х - х . 1 2 1 2 2 Двусторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): 1 2 _ _ _ _ (х - х ) - t (ню) S < (мю - мю ) < (x - x ) + t (ню) х 1 2 1-альфа/2 d 1 2 1 2 1-альфа/2 x S . d 3 Односторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): 1 2 _ _ (мю - мю ) < (x - x ) + t (ню) S или 1 2 1 2 1-альфа d _ _ (мю - мю ) > (x - x ) - t (ню) S . 1 2 1 2 1-альфа d
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Пример - Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны, Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.

* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.

7. Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности

7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.

Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х) = 4 Степени свободы: ню = n-1 = 5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - альфа =	2 1 Квантили Хи распределения с ню степенями свободы уровней альфа, (1 - альфа), альфа/2 и (1-альфа/2) соответственно: 2 Хи (ню) = альфа 2 Хи (ню) = 1-альфа 2 Хи (ню) = альфа/2 2 Хи (ню) = 1-альфа/2 3 Вычисляем: _ 2 2 Сумма(х-х) = Сумма(х) - 2 - (Сумма(х))/ n = 4 Вычисляем: _ 2 2 Сумма(х-х) S = ----------- = n - 1
Результаты 1 Точечные оценки дисперсии D и стандартного отклонения сигма генера- льной совокупности: 2 ^ 2 D = S ; сигма = кв.корень(S) . 2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D: _ 2 _ 2 Сумма(х-х) Сумма(х-х) --------------- < D < ----------- . 2 2 Хи (ню) Хи (ню) 1-альфа/2 альфа/2 3 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D: _ 2 Сумма(х-х) 2 D > ------------- = сигма или (3) 2 L Хи (ню) 1-альфа _ 2 Сумма(х-х) 2 D < ------------- = сигма . (4) 2 M Хи (ню) альфа
* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения сигма являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии D. 2 Примечание - Квантили Хи распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

Примеры

1 Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.

2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).

Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка сигма(2) или сигма, a если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку сигма(2) или сигма с верхней доверительной границей.

7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.

Таблица 7.2 - Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х) = 4 Заданное значение: 2 сигма = D = 0 0 5 Степени свободы: ню = n - 1 = 6 Выбранная доверительная вероятность: альфа =	2 1 Квантили Хи распределения с ню степенями свободы уровней альфа, (1 - альфа), альфа/2 и (1-альфа/2) соответственно: 2 Хи (ню) = альфа 2 Хи (ню) = 1-альфа 2 Хи (ню) = альфа/2 2 Хи (ню) = 1-альфа/2 2 Вычисляем: _ 2 2 2 Сумма (х-х) = Сумма х - (Сумма х)/n = 3 Вычисляем: _ 2 Сумма (х-х) ------------ = 2 сигма 0
Результаты 2 Сравнение дисперсии D с заданным значением сигма или сравнение 0 стандартного отклонения сигма с заданным значением сигма : 0 1 Двусторонний случай: Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ 2 _ 2 Сумма(х-х) 2 Сумма(х-х) 2 ------------ < Хи (ню) или ----------- > Хи (ню). 2 альфа/2 2 1-альфа/2 сигма сигма 0 0 2 Односторонний случай: а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ 2 Сумма(х-х) 2 ------------ > Хи (ню); 2 1-альфа сигма 0 б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: _ 2 Сумма(х-х) 2 ------------ < Хи (ню). 2 альфа сигма 0
2 Примечание - Квантили Хи распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

Примеры

1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром сигма_0) другого оборудования или технологического процесса.

2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т.е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением сигма_0.

7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.

Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
Первая Вторая выборка выборка 1 Объем n = n = выборки: 1 2 2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= значений 1 2 наблюдаемых величин: 2 2 3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )= квадратов 1 2 значений наблюдаемых величин: 4 Степени свободы: ню = n - 1= ; ню = n - 1= 1 1 2 2 5 Выбранный уровень значимости: альфа=	1. Вычисляем: _ 2 2 1 Сумма(х - х ) = Сумма(х - -- x 1 2 1 n 1 2 x Сумма(x ) = 1 _ 2 2 1 Сумма(х - х ) = Сумма(х )- --- x 2 2 2 n 2 2 x(cумма(х )) = 2 2 Вычисляем: _ 2 Сумма(х - х ) 2 1 1 S = -------------- = 1 n - 1 1 _ 2 Сумма(х - х ) 2 2 2 S = -------------- = 2 n - 1 2 3 Квантили распределения Фишера: F (ню , ню ) = 1-альфа/2 1 2 F (ню , ню ) = 1-альфа 1 2
Результаты Сравнение дисперсий двух совокупностей: 1 Двустороонний случай: Предположение равенства дисперсий или равенства двух стандартных откло- нений (нулевая гипотеза) отвергается, если: 2 2 S S 1 1 1 ---- < -------------------- или ----- > F (ню , ню ). 2 F (ню , ню ) 2 1-альфа/2 1 2 S 1-альфа/2 2 1 S 2 2 2 Односторонний случай: а) предположение о том, что D <= D (сигма <= сигма ) (нулевая гипоте- 1 2 1 2 за) отклоняется, если: 2 S 1 1 ---- > --------------------; 2 F (ню , ню ) S 1-альфа/2 2 1 2 б) предположение о том, что D >= D (сигма >= сигма ) (нулевая гипоте- 1 2 1 2 за) отклоняется, если: 2 S 1 1 ---- < --------------------; 2 F (ню , ню ) S 1-альфа/2 2 1 2
Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1 - Г.9 приложения Г.

Примеры

1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.

2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.

8. Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале*

8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Среднее значение (математи- ческое ожидание): мю = 0 2 Стандартное отклонение: сигма = 0 или дисперсия: 2 D = сигма = 0 0 3 Границы интервала: нижняя L = верхняя M =	1 Пересчитанная для стандартного нор- мального закона эквивалентная нижняя граница интервала: мю - L L 0 u = -------- = сигма 0 2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала: M - мю M 0 u = -------- = сигма 0 3 Доля распределения случайной вели- чины, лежащая ниже границы L: L q = 1 - Ф(u ) = L Если значение L не задано, то q =0 L 4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы М: М q = 1 - Ф(u ) = М Если значение M не задано, то q =0 М
Результаты 1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L, M]: q = q + q . L M 2 Доля распределения случайной величины в интервале [L, M]: p = 1 - q .
L M Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (-u ) представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде- ляют по таблице А.1 приложения А.

Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров мю и сигма(2) считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2-8.9.

Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность сигма(2)_0.

* Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте, имеет понятие - "доля распределения случайной величины в интервале", хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия "вероятность попадания случайной величины в интервал".

8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Таблица 8.2 - Точечное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Стандартное отклонение: сигма = 0 или дисперсия 2 D = сигма = 0 0 3 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Границы интервала: нижняя L = верхняя M =	1 Точечная оценка среднего значения: ^ 1 мю = --- Сумма(х) = n 2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала: ^ L мю - L нижняя u = ------ = сигма 0 ^ M M - мю верхняя u = ------ = сигма 0 3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1): ^ L q = 1 - Ф (u ) = L Если значение L не задано, то q =0 L 4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше гра- ницы М (см. таблицу 8.1): ^ М q = 1 - Ф(u ) = М ^ Если значение M не задано, то q =0 М
Результаты 1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L, M] : ^ ^ ^ q = q + q . L M 2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, M]: ^ ^ p = 1 - q .
L M Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (u ) представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде- ляют по таблице А.1 приложения А.

Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.

8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.

Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х ) = 4 Границы интервала: нижняя L = верхняя M =	1 Точечная оценка среднего значения: ^ _ 1 мю = x - --- Сумма(х) = n 2 Вычисляем: _ 2 2 2 Сумма(х-х ) Сумма(х )-(Сумма(х ))/n ------------=----------------------- = n - 1 n - 1 3 Точечная оценка стандартного отклонения: _ 2 Сумма(х-х) S = кв.корень(-----------) = n - 1 4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные гра- ницы интервала: ^ L мю - L нижняя u = ------- = S ^ M M - мю верхняя u = ------ = S 5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1): ^ L q = 1 - Ф (u ) = L Если значение L не задано, то q =0 L 6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше гра- ницы М (см. таблиwe 8.1): ^ М q = 1 - Ф(u ) = М ^ Если значение M не задано, то q =0 М
Результаты 1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L, M] : ^ ^ ^ q = q + q . L M 2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, M]: ^ ^ p = 1 - q .
L M Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (u ) представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде- ляют по таблице А.1 приложения А.

Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.

8.4 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.4.

Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины X и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и М для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т.п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.

Примеры

1 Определение уровня несоответствий для показателя "толщина гальванопокрытия". Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества "твердость после термической обработки". Требование (допуск) одностороннее: L=45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы q_M на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница p_L на долю продукции, соответствующей требованию, т.е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки p_L и q_M в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 - альфа):

истинная доля годной продукции - не менее p_L;

истинная доля несоответствующей продукции - не более q_M.

Таблица 8.4 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >= M L >= 1 - альфа
Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х ) = 4 Степени свободы: ню = n - 1 = 5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - альфа = 6 Нижняя граница односторон- него интервала: L =	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: j (1 - альфа ) = для мю и мю j (1 - альфа ) = для сигма, причем сигма j j (1 - альфа )(1 - альфа ) = мю сигма = 1 - альфа, где j = 1, 2, 3, тогда 1 альфа = 1/4 альфа; мю 2 альфа = 1/2 альфа; мю 3 альфа = 3/4 альфа; мю j j альфа = (альфа - альфа )/ сигма мю j /(1 - альфа ). мю 2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного от- клонения: 2.1 Интервальная оценка параметра мю с доверительной вероятностью 1 - альфа : мю мю = х - l S L 1 (см. формулу (2) таблицы 6.2). 2.2 Интервальная оценка параметра сигма с доверительной вероятностью (1 - альфа ): сигма 2 сигма = кв.корень(сигма ) М М (см. формулу (4) таблицы 7.1). Примечание - Указанную процедуру пов- торяют три раза. 3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров мю и сигма - (см. таблицу 8.1): j q = M 4 После повторения процедуры по пунк- там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: 1 2 3 q , q , q . M M M
Результаты 1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности 1 - альфа: 1 2 3 q = min {q , q , q }. M M M M 2 Нижняя доверительная граница для p: p = 1 - q . L M

8.5 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.5.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >= M L >= 1 - альфа
Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х ) = 4 Степени свободы: ню = n - 1 = 5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - альфа = 6 Нижняя граница односторон- него интервала: M =	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: j (1 - альфа ) = для мю; мю j (1 - альфа ) = для сигма, причем сигма j j (1 - альфа )(1 - альфа ) = мю сигма = 1 - альфа, где j = 1, 2, 3, тогда 1 альфа = 1/4 альфа; мю 2 альфа = 1/2 альфа; мю 3 альфа = 3/4 альфа; мю j j альфа = (альфа - альфа )/ сигма мю j /(1 - альфа ). мю 2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного от- клонения: 2.1 Интервальная оценка параметра мю с доверительной вероятностью 1 - альфа : мю _ мю = х + l S L 1 (см. формулу (1) таблицы 6.2). 2.2 Интервальная оценка параметра сигма с доверительной вероятностью (1 - альфа ): сигма 2 сигма = кв.корень(сигма ) М М (см. формулу (4) таблицы 7.1). Примечание - Данную процедуру повторяют три раза. 3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров мю и сигма - (см. таблицу 8.1): j q = M 4 После повторения процедуры по пунк- там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: 1 2 3 q , q , q . M M M
Результаты 1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности 1 - альфа: 1 2 3 q = min {q , q , q }. M M M M 2 Нижняя доверительная граница для p: p = 1 - q . L M

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя "процент примесей" в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.6.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне интервала [L, М], а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.6 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)

/-----------------------------------------------------------------------\

|Необходимые условия: Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >=    |

|                                 M                            L        |

|                                                                       |

|>= 1 - альфа                                                           |

|-----------------------------------------------------------------------|

|Статистические и исходные данные|  Табличные данные и вычисления       |

|--------------------------------+--------------------------------------|

|  1 Объем выборки:              | 1 Устанавливаем   соответственно  три|

|                                |пары доверительных вероятностей:      |

|    n  =                        |                                      |

|                                |            j                         |

|  2 Сумма  значений  наблюдаемых|  (1 - альфа  ) = для мю и            |

|величин:                        |            мю                        |

|                                |                                      |

|   Сумма(х) =                   |            j                         |

|                                |  (1 - альфа     ) = для сигма, причем|

|                                |            сигма                     |

|  3 Сумма    квадратов  значений|                                      |

|наблюдаемых величин:            |            j            j            |

|          2                     |  (1 - альфа  )(1 - альфа     ) =     |

|   Сумма(х ) =                  |            мю           сигма        |

|                                |                                      |

|  4 Степени свободы:            | = 1 - альфа,                         |

|                                |                                      |

|  ню = n - 1 =                  | где j = 1, 2, 3, тогда:              |

|                                |                                      |

|  5 Выбранная      доверительная|        1                             |

|вероятность:                    |   альфа  = 1/4 альфа;                |

|                                |        мю                            |

|   1 - альфа =                  |                                      |

|                                |        2                             |

|  6 Границы интервала:          |   альфа  = 1/2 альфа;                |

|                                |        мю                            |

|       L =                      |                                      |

|       M =                      |        3                             |

|                                |   альфа  = 3/4 альфа;                |

|                                |        мю                            |

|                                |                                      |

|                                |        j                    j        |

|                                |   альфа     = (альфа - альфа  )/     |

|                                |        сигма                мю       |

|                                |                                      |

|                                |            j                         |

|                                | /(1 - альфа  ).                      |

|                                |            мю                        |

|                                |                                      |

|                                | 2 Процедура доверительного оценивания|

|                                |среднего значения и  стандартного  от-|

|                                |клонения:                             |

|                                | 2.1 Интервальная оценка параметра  мю|

|                                |с доверительной вероятностью          |

|                                |1 - альфа  :                          |

|                                |         мю                           |

|                                |        _             _               |

|                                |   мю = х - l S; мю = х +l S.         |

|                                |     L       1     М      2           |

|                                |                                      |

|                                |(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).   |

|                                | 2.2 Наихудшая точка мю':             |

|                                |                                      |

|                                |мю'= мю , если мю - А <=B - мю ;      |

|                                |       L         L            М       |

|                                |                                      |

|                                |мю'= мю , если мю - А > B - мю .      |

|                                |       М         L            M       |

|                                |                                      |

|                                | 2.3 Интервальная   оценка   параметра|

|                                |сигма с доверительной вероятностью    |

|                                |(1 - альфа     ):                     |

|                                |          сигма                       |

|                                |                        2             |

|                                | сигма = кв.корень(сигма )            |

|                                |      М                 М             |

|                                |(см. формулу (4) таблицы 7.1).        |

|                                |Примечание -   Данную        процедуру|

|                                |повторяют три раза.                   |

|                                |                                      |

|                                |3 Интервальная оценка величины  q  при|

|                                |полученных значениях параметров  мю  и|

|                                |сигма - (см. таблицу 8.1):            |

|                                |    j                                 |

|                                |   q  =                               |

|                                |    M                                 |

|                                |                                      |

|                                | 4 После повторения процедуры по пунк-|

|                                |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:      |

|                                |                                      |

|                                |  1   2   3                           |

|                                | q , q , q .                          |

|                                |  M   M   M                           |

|-----------------------------------------------------------------------|

|Результаты                                                             |

|1 Верхняя доверительная граница для q,  соответствующая   доверительной|

|вероятности 1 - альфа:                                                 |

|                                                                       |

|                     1   2   3                                         |

|           q = min {q , q , q }.                                       |

|            M        M   M   M                                         |

|                                                                       |

|2 Нижняя доверительная граница для p:                                  |

|                                                                       |

|           p  = 1 - q .                                                |

|            L        M                                                 |

\-----------------------------------------------------------------------/

Пример - тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

8.7 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.7.

Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7 - Определение нижней q_L и верхней р_M доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >= L M >= 1 - альфа
Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки = n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х ) = 4 Степени свободы: ню = n - 1 = 5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - альфа = 6 Нижняя граница односторон- него интервала: L =	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: j (1 - альфа ) = для мю и мю j (1 - альфа ) = для сигма, причем сигма j j (1 - альфа )(1 - альфа ) = мю сигма = 1 - альфа, где j = 1, 2, 3, тогда: 1 альфа = 1/4 альфа; мю 2 альфа = 1/2 альфа; мю 3 альфа = 3/4 альфа; мю j j альфа = (альфа - альфа )/ сигма мю j /(1 - альфа ). мю 2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного от- клонения: 2.1 Интервальная оценка параметра мю с доверительной вероятностью 1 - альфа : мю _ мю = х + l S М 1 (см. формулу (2) таблицы 6.2). 2.2 Интервальная оценка параметра сигма с доверительной вероятностью (1 - альфа ): сигма 2 сигма = кв.корень(сигма ) L L (см. формулу (3) таблицы 7.1). Примечание - Данную процедуру повторяют три раза. 3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров мю и сигма - (см. таблицу 8.1): j q = L 4 После повторения процедуры по пунк- там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: 1 2 3 q , q , q . L L L
Результаты 1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности 1 - альфа: 1 2 3 q = max {q , q , q }. L L L L 2 Нижняя доверительная граница для p: p = 1 - q . M L

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

8.8 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.8.

Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 - Определение нижней q_L и верхней р_M доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >= L M >= 1 - альфа
Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n = 2 Сумма значений наблюдаемых величин: Сумма(х) = 3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 2 Сумма(х ) = 4 Степени свободы: ню = n - 1 = 5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - альфа = 6 Нижняя граница односторон- него интервала: M =	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: j (1 - альфа ) = для мю и мю j (1 - альфа ) = для сигма, причем сигма j j (1 - альфа )(1 - альфа ) = мю сигма = 1 - альфа, где j = 1, 2, 3, тогда: 1 альфа = 1/4 альфа; мю 2 альфа = 1/2 альфа; мю 3 альфа = 3/4 альфа; мю j j альфа = (альфа - альфа )/ сигма мю j /(1 - альфа ). мю 2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного от- клонения: 2.1 Интервальная оценка параметра мю с доверительной вероятностью 1 - альфа : мю _ мю = х - l S L 1 (см. формулу (2) таблицы 6.2). 2.2 Интервальная оценка параметра сигма с доверительной вероятностью (1 - альфа ): сигма 2 сигма = кв.корень(сигма ) L L (см. формулу (3) таблицы 7.1). Примечание - Данную процедуру повторяют три раза. 3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров мю и сигма - (см. таблицу 8.1): j q = L 4 После повторения процедуры по пунк- там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: 1 2 3 q , q , q . L L L
Результаты 1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности 1 - альфа: 1 2 3 q = max {q , q , q }. L L L L 2 Нижняя доверительная граница для p: p = 1 - q . M L

8.9 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.9.

Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне интервала [L, M], а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в заданном интервале.

Таблица 8.9 - Определение нижней q_L и верхней р_м доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)

/-----------------------------------------------------------------------\

|Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >=    |

|                                 L                            M        |

|                                                                       |

|>= 1 - альфа                                                           |

|-----------------------------------------------------------------------|

|Статистические и исходные данные|  Табличные данные и вычисления       |

|--------------------------------+--------------------------------------|

|  1 Объем выборки:              | 1 Устанавливаем   соответственно  три|

|                                |пары доверительных вероятностей:      |

|    n  =                        |                                      |

|                                |            j                         |

|  2 Сумма   значений наблюдаемых|  (1 - альфа  ) = для мю и            |

|величин:                        |            мю                        |

|                                |                                      |

|   Сумма(х) =                   |            j                         |

|                                |  (1 - альфа     ) = для сигма, причем|

|                                |            сигма                     |

|  3 Сумма   квадратов   значений|                                      |

|наблюдаемых величин:            |            j            j            |

|          2                     |  (1 - альфа  )(1 - альфа     ) =     |

|   Сумма(х ) =                  |            мю           сигма        |

|                                |                                      |

|  4 Степени свободы:            | = 1 - альфа,                         |

|                                |                                      |

|  ню = n - 1 =                  | где j = 1, 2, 3, тогда:              |

|                                |                                      |

|  5 Выбранная      доверительная|        1                             |

|вероятность:                    |   альфа  = 1/4 альфа;                |

|                                |        мю                            |

|   1 - альфа =                  |                                      |

|                                |        2                             |

|  6 Границы интервала:          |   альфа  = 1/2 альфа;                |

|                                |        мю                            |

|       L =                      |                                      |

|       M =                      |        3                             |

|                                |   альфа  = 3/4 альфа;                |

|                                |        мю                            |

|                                |                                      |

|                                |        j                    j        |

|                                |   альфа     = (альфа - альфа  )/     |

|                                |        сигма                мю       |

|                                |                                      |

|                                |            j                         |

|                                | /(1 - альфа  ).                      |

|                                |            мю                        |

|                                |                                      |

|                                | 2 Процедура доверительного оценивания|

|                                |среднего значения и  стандартного  от-|

|                                |клонения:                             |

|                                | 2.1 Интервальная оценка параметра  мю|

|                                |с доверительной вероятностью          |

|                                |1 - альфа  :                          |

|                                |         мю                           |

|                                |        _             _               |

|                                |   мю = х - l S; мю = х +l S.         |

|                                |     L       1     М      2           |

|                                |                                      |

|                                |(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).   |

|                                |2.2 Наихудшая точка мю':              |

|                                |                     А+В              |

|                                |мю'= мю , если мю > -----;    (2.2.1) |

|                                |       M         M    2               |

|                                |                                      |

|                                |                      А+В             |

|                                |мю'= мю , если мю  < -----;   (2.2.2) |

|                                |       L         L    2               |

|                                |                                      |

|                                |      А+В                             |

|                                |мю'= -----, если формулы (2.2.1) и    |

|                                |       2                              |

|                                |(2.2.2) не выполняются.               |

|                                |                                      |

|                                |                                      |

|                                | 2.3 Интервальная   оценка   параметра|

|                                |сигма с   доверительной   вероятностью|

|                                |(1 - альфа     ):                     |

|                                |          сигма                       |

|                                |                        2             |

|                                | сигма = кв.корень(сигма )            |

|                                |      L                 L             |

|                                |(см. формулу (3) таблицы 7.1).        |

|                                |Примечание -       Данную    процедуру|

|                                |повторяют три раза.                   |

|                                |3 Интервальная оценка величины  q  при|

|                                |полученных значениях параметров  мю  и|

|                                |сигма - (см. таблицу 8.1):            |

|                                |    j                                 |

|                                |   q  =                               |

|                                |    L                                 |

|                                | 4 После повторения процедуры по пунк-|

|                                |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:      |

|                                |                                      |

|                                |  1   2   3                           |

|                                | q , q , q .                          |

|                                |  M   M   M                           |

|-----------------------------------------------------------------------|

|Результаты                                                             |

|1 Нижняя  доверительная граница для q,  соответствующая   доверительной|

|вероятности 1 - альфа:                                                 |

|                                                                       |

|                     1   2   3                                         |

|           q = max {q , q , q }.                                       |

|            L        L   L   L                                         |

|                                                                       |

|2 Верхняя доверительная граница для p:                                 |

|                                                                       |

|           p  = 1 - q .                                                |

|            M        L                                                 |

\-----------------------------------------------------------------------/

Откройте актуальную версию документа прямо сейчас

Получить бесплатный доступ

Если вы являетесь пользователем интернет-версии системы ГАРАНТ, вы можете открыть этот документ прямо сейчас или запросить по Горячей линии в системе.

Приложение А. Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения

Приложение Б. Таблица значений квантилей распределения Стьюдента

Приложение В. Таблица значений квантилей хи(2)_альфа распределения

Приложение Г. Таблицы значений квантилей распределения Фишера

Откройте актуальную версию документа прямо сейчас