Приложение В (справочное). Обоснование приведенных формул

Приложение В
(справочное)

Обоснование приведенных формул

В.1 Метод 1. Постоянное стандартное отклонение

Согласно предположениям 5.1 и в случае постоянного стандартного отклонения оценки коэффициентов регрессии и подчиняются нормальному распределению с математическими ожиданиями:

;

и дисперсиями:

; ,

где - дисперсия остатков средних L повторных измерений для каждой подготовки.

Если отклик измерен KL раз в базовом состоянии (z = , х = 0), то разность между средним KL значений и оценкой подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием

и дисперсией

.

Так как подчиняется нормальному распределению, случайная величина

подчиняется стандартному нормальному распределению. Следовательно с вероятностью 0,95 справедливо неравенство

.

Так как неизвестно, его можно оценить следующим образом:

,

где - оценка дисперсии остатка в соответствии с регрессионным анализом, которую следует использовать вместо . Случайная величина подчиняется t-распределению c степенями свободы, а приведенное ниже неравенство выполняется с вероятностью 0,95

.

Таким образом

,

- квантиль t-распределения уровня 95% с степенями свободы.

Правая сторона этого неравенства является критическим значением отклика

,

а критическое значение приведенной переменной состояния

.

В приведенном выражении можно использовать и другие квантили t-распределения при необходимости.

Чтобы определить минимальное обнаруживаемое значение приведенной переменной состояния, необходимо исследовать распределение величины в случае, когда истинное значение х приведенной переменной состояния совпадает с минимальным обнаруживаемым значением приведенной переменной состояния . Для обнаружения данного состояния с вероятностью необходимо, чтобы выполнялось условие:

или

.

Если , математическое ожидание имеет вид

.

Таким образом

, ,

а для х = 0.

.

Так как описывается стандартным нормальным распределением, отношение зависит от U и описывается распределением , случайная величина описывается нецентральным t-распределением с v степенями свободы и параметром нецентральности для или другого соответствующего значения. Для можно записать

.

Поскольку

,

для минимального обнаруживаемого значения приведенной переменной состояния справедливо выражение

.

При определении оценки b и подставляют в формулу так, что минимальное обнаруживаемое значение принимает вид

.

Критическое значение отклика равно сумме и произведения коэффициента М на , а критическое значение приведенной переменной состояния - произведению коэффициента М на . Если, согласно рекомендациям, значения приведенной переменной состояния стандартных состояний расположены равноудаленно для близкого к нулю значения , а также K = 1 (одна подготовка измерений действительного состояния) или K = J (количество подготовок измерений действительного состояния и стандартных состояний совпадают), то сомножитель

,

в выражениях для критических значений является функцией только количества стандартных состояний l и количества подготовок каждого стандартного состояния J. Для некоторых случаев значения М приведены в таблице В.1.

Таблица В.1 - Значения коэффициента М

Если K = 1
I	J	IJ	_2 1 x кв.корень(1 + -- + --) IJ s xx	t (ню) 0,95	M
3	1	3	1,35	6,31	8,52
3	2	6	1,19	2,13	2,54
5	1	5	1,26	2,35	2,97
5	2	10	1,14	1,86	2,12
5	4	20	1,07	1,73	1,86
Если K = J
I	J	IJ	_2 1 x кв.корень(1 + -- + --) IJ s xx	t (ню) 0,95	M
3	1	3	1,35	6,31	8,54
3	2	6	0,96	2,13	2,04
5	1	5	1,26	2,35	2,97
5	2	10	0,89	1,86	1,66
5	4	20	0,63	1,73	1,09

B.2 Метод 2. Стандартное отклонение линейно зависит от приведенной переменной состояния

Согласно предположениям 5.1 и в случае, если стандартное отклонение является линейной функцией приведенной переменной состояния, то оценки коэффициентов линии регрессии и подчиняются нормальному распределению с математическими ожиданиями:

;

и дисперсиями:

;

,

где - такое значение, что () является дисперсией остатков средних при L повторных измерениях и i подготовках.

Если отклик измерен KL раз в базовом состоянии (, X = 0), то разность между средним KL значений и оценкой подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием

и дисперсией

.

Значение является неизвестным, но его можно оценить по формуле

,

где - то же, что и в уравнении (20), а - оценка дисперсии остатка регрессионного анализа, которую следует использовать вместо .

По аналогии с В.1 критическое значение отклика и критическое значение приведенной переменной состояния определяют по формулам:

;

.

Подобные выражения справедливы и в тех случаях, когда необходимы другие квантили t-распределения.

Эти формулы включают случай постоянного стандартного отклонения, для которого все веса являются равными единице ( для i = 1, ..., I) и , , и .

Минимальное обнаруживаемое значение приведенной переменной состояния

,

где для

.

При прогнозировании оценки b и ( и ),

где

подставляют в формулу. Таким образом, минимальное обнаруживаемое значение приведенной переменной состояния определяется по формуле

.

Так как зависит от значения , для оценки следует использовать итеративную процедуру в соответствии с 5.3.5.