Приложение. Методика расчета объема выборки при проведении выборочных измерений ядерных материалов

Приложение

Методика
расчета объема выборки при проведении выборочных измерений ядерных материалов

При проведении физической инвентаризации возможны два варианта использования выборочных методов для определения количества ядерных материалов в ЗБМ:

- проведение выборочных подтверждающих измерений;

- проведение выборочных измерений для определения количества ЯМ в учетных единицах и для определения фактически наличного количества ядерных материалов в ЗБМ.

Выборочные подтверждающие измерения выполняются для определения отсутствия или наличия аномалии в учете и контроле ядерных материалов. Данный вид измерений может быть выбран из соображений сокращения времени или дозовых нагрузок, т.е. в тех случаях, когда не представляется возможным подвергнуть измерениям все учетные единицы данного ЯМ. При этом необходимыми условиями назначения для физической инвентаризации выборочных подтверждающих измерений являются:

- установление наличия и целостности на всех учетных единицах устройств индикации вмешательства;

- установление наличия в учетной документации данных о количестве и составе ЯМ в каждой учетной единице, полученных в результате проведенных ранее учетных измерений;

- наличие конструктивных особенностей, обеспечивающих невозможность изъятия из учетной единицы части ЯМ без нарушения ее целостности.

Отсутствие аномалии по результатам таких измерений позволяет принять результаты ранее проведенных измерений учетных единиц за фактически наличное количество ядерных материалов в ЗБМ по результатам данной физической инвентаризации. Планировать такие измерения следует с использованием модели гипергеометрического распределения для количества ЯМ в учетных единицах.

Если вышеперечисленные условия не выполняются, или если в ЗБМ ядерный материал находится в балк-форме, объем испытаний должен планироваться в соответствии с нормальным законом распределения количества ЯМ в учетных единицах.

1. Планирование выборочных подтверждающих измерений

Объем выборки определяется уравнением:

                       m

                      ---

                       F

     n = N [1 - (1 - P)  ],                                           (1)

где  n - расчетный объем выборки;

     N - общее  количество учетных единиц ЯМ  в проверяемой  совокупности

         (страте);

     P - вероятность   обнаружения   недостачи    (излишка)    порогового

         количества учетного ядерного материала в проверяемой страте;

     m - средняя  масса  ядерного  материала (Pu, 233U или 235U) в  одной

         учетной единице ЯМ;

     F - пороговое количество для Pu, 233U или 235U.

Уравнение (1) применимо при выполнении условия: F/m << N, в ином случае для расчета объема выборки необходимо использовать уравнение:

                             1

                       -----------

                       кв.корень N

     n = N [1 - (1 - P)            ].                                 (2)

Значения величин Р и F определены Основными правилами учета и контроля ядерных материалов и указаны в табл. 1.

Таблица 1

Объем применения средств контроля доступа к ядерному материалу	Вероятность обнаружения аномалии, Р %, не менее
	для категорий 1, 2, 3	для категории 4
Только одно устройство индикации вмешательства	50	30
Только одна система наблюдения	50	30
Одновременно два вида разнообразных средств контроля доступа	25	9
Одновременно ню видов разнообразных средств контроля доступа*	100 (0,5)(n)	100 (0,3)(n)

_____________________________

* Если вместо средств контроля доступа к ЯМ применялись оттисковые свинцовые, алюминиевые, пластмассовые пломбы или пластилиновые печати, в уравнении расчета величины выборки значение вероятности обнаружения недостатка (излишка) в количестве ядерного материала принимается не менее 95%.

Пороговое количество ядерного материала F составляет:

3 кг для Pu и 233U;

8 кг по 235U для урана 1, 2 и 3 категорий;

70 кг по 235U для урана 4 категории.

Перед проведением расчетов объема выборки ядерные материалы, подлежащие измерениям, стратифицируются с учетом их деления по видам, категориям, а также по партиям. Таким образом, получают количество страт для всего ядерного материала, находящегося в ЗБМ. Председатель комиссии совместно с руководителем подразделения и материально ответственным лицом определяют стратегию выборочных подтверждающих измерений и разрабатывают план-график проведения этих измерений.

Поскольку пороговые количества ядерного материала являются критериями обнаружения аномалии для определенного вида ЯМ, зарегистрированного в проверяемой ЗБМ, то для каждой страты ядерного материала данного вида находят долю g_i порогового количества, которая определяет аномалию для данной страты g_i F:

              M

               i

     g = ---------,                                                   (3)

      i    k

         Сумма M

          i=1   i

где  М  - масса 235U во всех учетных единицах i-той страты;

      i

     k  - количество страт данного вида ядерного материала.

Необходимый объем выборки n_i для каждой i-той страты учетных единиц ЯМ определяется по уравнению:

                        m

                         i

                       ----

                       g F

                        i i

     n = N [1 - (1 - P)    ].                                         (4)

      i   i

Для каждой из этих страт оценивается время t_i, необходимое для измерения одной учетной единицы, включая время ее доставки к месту измерения, после чего оценивается время T_i, необходимое на проведение выборочных измерений для всей i-той страты:

     Т  = n t .                                                       (5)

      i    i i

Общее время, необходимое для выборочной проверки всех страт данного вида ядерного материала T_k, будет составлять:

           k

     T = Сумма T .                                                    (6)

      k   i=1   i

Аналогичным образом определяются объемы выборки и оценивается необходимое время для проведения выборочных подтверждающих измерений по другим видам ядерных материалов в ЗБМ.

Если стратегия обнаружения аномалии предполагает возможную недостачу (излишек) ядерного материала в учетных единицах в виде доли Дельта от массы ЯМ m в каждой учетной единице и при этом 0 < Дельта < 1, то уравнение для расчета объема выборки каждой страты примет вид:

                         Дельта m

                               i i

                       -----------

                          g F

                           i i

     n = N [1 - (1 - P)            ].                                 (7)

      i   i

В том случае если время, необходимое для проведения выборочных подтверждающих измерений ядерного материала в ЗБМ превышает общее время, выделенное на физическую инвентаризацию, или ограничено предельными дозовыми нагрузками для персонала измерительной группы, комиссия принимает решение о проведении проверок некоторых страт, которые предпочтительны исходя из категории и вида ядерного материала, а также с учетом вероятности его возможного не целевого использования.

В акте комиссии должно быть приведено обоснование объема выборочных подтверждающих измерений по видам, стратам или партиям ядерных материалов, находящихся в ЗБМ.

Выемка учетных единиц ЯМ из страты для измерений должна осуществляться случайным образом и без возврата этой учетной единицы после измерения обратно в страту до завершения проверки всего объема выборки.

Для исключения действия человеческого фактора и статистической корректности выборочных измерений номера отбираемых для измерений учетных единиц должны определяться случайным образом с использованием специальной программы генерации случайных чисел.

Если в результате проверки страты не обнаружена ни одна учетная единица, имеющая несоответствие проверяемого параметра ядерного материала данным учетной документации, комиссия делает заключение об отсутствии в данной страте недостатка (излишка) ядерного материала в количестве, равном или более принятой для этой страты доли порогового количества. При этом указывается, для какой вероятности обнаружения аномалии был сделан этот вывод.

Аналогичные заключения делаются по всем проверенным стратам, что должно быть отражено в акте комиссии.

Результаты выборочных подтверждающих измерений оформляются протоколами измерений, а также приводятся материалы расчетов объемов выборки и обоснований выбранных для проверки страт (партий) ядерных материалов.

В случае если в результате выборочных подтверждающих измерений обнаружена одна или более "дефектных" учетных единиц, председатель инвентаризационной комиссии по ЗБМ ставит об этом в известность председателя центральной инвентаризационной комиссии или руководителя предприятия, если центральная комиссия не была назначена.

Страта ядерных материалов, в которой обнаружена "дефектная" учетная единица ЯМ, подвергается в полном объеме подтверждающим измерениям, по результатам которых делается вывод о фактическом количестве учетных единиц ЯМ в данной страте, имеющих недостачу (излишек) ядерного материала в отступление от данных учетной документации.

По результатам этой проверки руководитель предприятия назначает специальное расследование.

2. Расчет объема выборки для определения фактически наличного количества ядерных материалов в страте

Если при проведении физической инвентаризации измерение физических параметров всех учетных единиц во всех стратах ЯМ в зонах баланса материалов не представляется возможным, то применяется методика выборочного контроля.

Данная методика основана на предположении о нормальном законе распределения количества ЯМ в учетных единицах. Она позволяет рассчитать объем выборки, необходимый для определения параметров распределения (Mx и сигма) в страте ЯМ, с заданной степенью точности.

Объем выборки с использованием данной методики рассчитывается по тем стратам ЯМ, для которых известны учетные значения количества ядерного материала в учетной единице Мх и значения относительных ошибок определения среднего значения Mx и среднего квадратического отклонения, полученные во время проведения предыдущей физической инвентаризации (генеральные значения).

В этом случае критерием аномалии при проведении физической инвентаризации является превышение модулем инвентаризационной разницы ее допустимого значения (утроенной среднеквадратической погрешности).

Объем выборки должен обеспечить в пределах принятой точности достаточно малую вероятность альфа отрицательной оценки верных результатов (ошибка 1-го рода) и достаточно малую вероятность бета положительной оценки неверных результатов (ошибка 2-го рода). За вероятности ошибок 1-го и 2-го рода принимают обычно следующие: альфа = 0, 05 - 0,1 и бета = 0,05 - 0,1.

     Степень  точности   определения   объема   выборки   характеризуется

значениями квантилей нормального распределения Z          и      Z_1-бета

                                                    альфа

                                                1 - -----  (находятся  по

                                                      2

табл. 3).

Необходимое число учетных единиц определяют методом подбора на основании уравнений (8) - (12), выбирая допустимые значения переменных из интервала значений (Дельта_Mx = 0,01 - 0,05; Дельта_сигма = 0,1 - 0,5; альфа = 0,05 - 0,1; бета = 0,05 - 0,1) и используя известные значения Мх_ген и сигма_ген (данные предшествующей инвентаризации). Для выбранных таким образом учетных единиц определяются значения Мх_выб и сигма_выб.

Если для вычисленных значений Мх_выб и сигма_выб не выполняются неравенства (8) и (9), то значения переменных из заданных интервалов (Дельта_Мх = 0,01 - 0,05; Дельта_сигма = 0,1 - 0,5; альфа = 0,05 - 0,1; бета = 0,05 - 0,1) выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия выражений (8) и (9). При этом значение объема выборки будет увеличиваться:

             t       сигма                  t       сигма

              альфа,k                        альфа,k

     Mx  - ---------------- < Mx   < Mx   + --------------,           (8)

       выб  кв.корень n         ген    выб  кв.корень n

где  n      - число учетных единиц в страте ЯМ;

     Мх     - математическое ожидание х для всех учетных единиц в страте;

       ген

     t       - коэффициент Стьюдента, для уровня значимости альфа и числа

      альфа,k  степеней свободы k.

     сигма   k < сигма   < сигма   k .                                (9)

          выб 1       ген       выб 2

Коэффициенты k_1 и k_2 находятся по табл. 2, где k = n - 1 - число степеней свободы, n - объем выбранных учетных единиц.

                2

              ро

     n   = ---------- (Z          - Z      ),                        (10)

      Mx         2          альфа    1-бета

           Дельта       1 - ------

                  Мх          2

где ро - коэффициент вариации, показывающий, насколько велико рассеивание

         по  сравнению со средним  значением  Мх количества ЯМ  в учетных

         единицах:

           сигма

                выб

     ро = --------- 100%,                                            (11)

             Мх

где сигма    - среднее  квадратическое отклонение количества ЯМ в учетных

         выб   единицах   для   выборочного  количества  учетных  единиц,

               определяемое согласно выражению:

          2     1     n          2

     сигма   = ---- Сумма (x - Mx) ,                                  (А)

          выб  n-1   i=1    i

где  x  - количество ЯМ в i-ой учетной единице;

      i

     Мх - математическое ожидание количества ЯМ в учетной единице;

             n

           Сумма x

            i=1   i

     Mx = ----------,                                                 (B)

              n

     n - количество учетных единиц.

Тогда

                                  n

                                Сумма x

          2     1     n          i=1   i 2

     сигма   = ---- Сумма (x - ---------) ,                         (А.1)

          выб  n-1   i=1    i      n

     Дельта   - предельная    относительная    ошибка         определения

           Мх   математического   ожидания  количества   ЯМ  в  выбранных

                учетных единицах;

     альфа    - вероятность ошибки 1-го рода;

     бета     - вероятность ошибки 2-го рода;

     Z          и Z         - квантили     нормального     распределения,

          альфа    1-бета     определяются согласно табл. 3.

      1 - -----

            2

                        Z      (1 + Дельта     ) + Z    альфа

                         1-бета           сигма     1 - -----

                                                          2    2

     n     = 1,5 + 0,5 [--------------------------------------] ,    (12)

      сигма                       Дельта

                                        сигма

где Дельта      - оценка  предельной допустимой относительной  ошибки при

          сигма   определении  среднего  квадратического  отклонения  для

                  выбранных учетных единиц.

Из двух значений объема выборки, полученных по формулам (10) и (12), выбирают большее значение n.

Для измеренных таким образом учетных единиц рассчитываются, согласно (А) и (В), параметры нормального распределения. Полученные значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения распространяют на страту ЯМ, для которой осуществлялась выборка. Затем определяется, согласно (С), количество ядерного материала в страте:

                    t       сигма

                     альфа,k

     q   = n Mx +- ---------------,                                   (С)

      сум            кв.корень n

где  q         -  суммарное количество ЯМ в страте учетных единиц;

      сум

     k = n - 1 - число степеней свободы;

     n         - число учетных единиц в страте;

     t         - коэффициент Стьюдента, для  уровня  значимости  альфа  и

      альфа,k    числа степеней свободы k.

Для определения объема выборки в рассматриваемом случае вместо формул (10) и (12) можно также воспользоваться табл. 4 и 5.

Таблица 2

Таблица коэффициентов k_1 и k_2 для выражения (9)

k	гамма=0,95		гамма=0,99
	k_1	k_2	k_1	k_2
2	0,578	4,42	0,466	9,97
3	0,620	2,92	0,514	5,11
4	0,649	2,37	0,549	3,67
5	0,672	2,09	0,576	3,00
6	0,690	1,92	0,597	2,62
7	0,705	1,80	0,616	2,38
8	0,718	1,71	0,631	2,20
9	0,729	1,65	0,645	2,08
10	0,739	1,59	0,656	1,98
11	0,748	1,55	0,667	1,90
12	0,755	1,52	0,677	1,83
13	0,762	1,49	0,685	1,78
14	0,769	1,46	0,693	1,73
15	0,775	1,44	0,700	1,69
16	0,780	1,42	0,707	1,66
17	0,785	1,40	0,713	1,63
18	0,790	1,38	0,719	1,60
19	0,794	1,37	0,725	1,58
20	0,798	1,36	0,730	1,56
22	0,805	1,34	0,739	1,52
24	0,812	1,32	0,747	1,49
26	0,818	1,30	0,755	1,46
28	0,823	1,29	0,762	1,44
30	0,828	1,27	0,768	1,42
40	0,847	1,23	0,792	1,34
50	0,861	1,20	0,810	1,30
60	0,871	1,18	0,824	1,27
70	0,879	1,16	0,835	1,24
80	0,886	1,15	0,844	1,22
90	0,892	1,14	0,852	1,21
100	0,897	1,13	0,858	1,19

Таблица 3

Таблица квантилей нормального распределения

Вероятность, Р	Квантиль, Zр
0,0001	-3,72
0,001	-3,09
0,005	-2,58
0,01	-2,33
0,025	-1,96
0,05	-1,64
0,1	-1,28
0,2	-0,84
0,3	-0,52
0,4	-0,25
0,5	0
0,6	0,25
0,7	0,52
0,8	0,84
0,9	1,28
0,95	1,64
0,975	1,96
0,99	2,33
0,995	2,58
0,999	3,09
0,9999	3,72

Таблица 4

Объем выборки n_Mх, рассчитанный по формуле (10)

бета	ро	Значения n_Mx при Дельта_Mx
		0,01		0,02		0,03		0,04		0,05
		альфа
		0,05	0,10	0,05	0,10	0,05	0,10	0,05	0,10	0,05	0,10
	0,01	13	11	4	3	2	2	1	1	1	1
	0,02	52	43	13	11	6	5	4	3	2	2
	0,03	115	97	30	25	13	11	8	7	5	4
	0,04	210	175	52	44	24	20	13	11	9	7
0,05	0,05	325	270	81	68	36	30	21	17	13	11
	0,06	470	385	115	97	52	44	30	25	19	16
	0,07	635	530	160	130	71	59	40	33	26	22
	0,08	830	690	210	175	93	77	52	44	34	28
	0,09	1050	870	265	220	115	97	66	55	42	35
	0,10	1300	1080	325	270	145	120	81	68	52	43
	0,01	11	9	3	3	2	1	1	1	1	1
	0,02	42	35	11	9	5	4	3	3	2	2
	0,03	95	77	24	20	11	9	6	5	4	4
	0,04	190	135	43	35	21	16	12	9	8	6
	0,05	265	215	66	54	30	24	17	14	11	9
0,10	0,06	380	305	95	77	43	35	24	20	16	13
	0,07	515	415	130	105	58	47	33	27	21	17
	0,08	670	545	170	135	75	61	42	35	27	22
	0,09	850	690	215	175	95	77	54	44	34	28
	0,10	1050	855	265	215	115	95	66	54	42	35

Таблица 5

Объем выборки n_сигма, рассчитанный по формуле (12)

бета	альфа	Значение n_сигма при Дельта_сигма
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0,05	710	195	94	58	41
	0,06	680	185	91	56	39
0,05	0,07	655	180	88	55	38
	0,08	635	175	86	53	37
	0,09	615	170	84	52	36
	0,10	600	165	82	50	35
	0,05 0,06	570 545	155 145	75 71	46 44	32 31
0,01	0,07	520	140	69	42	30
	0,08	500	135	67	41	29
	0,09	485	135	64	40	28
	0,10	470	130	62	39	27