Приложение Г (обязательное). Алгоритмы расчета напряжений и смещений в многослойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при спаянном контакте слоев и гладком контакте на двух границах слоев

Приложение Г
(обязательное)

Алгоритмы расчета напряжений и смещений в многослойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при спаянном контакте слоев и гладком контакте на двух границах слоев

Г.1 Общие сведения

В работе [6] предложено искать бигармонические функции , i = 1, 2, ..., 7 в виде несобственных интегралов (рисунок Г.1), подынтегральные функции которых содержат неизвестные функции , , , , i = 1, 2, ..., 6 от переменной интегрирования . Упомянутые функции подлежат определению из условий (27) - (34), (37) - (39):

В формулах, представленных на рисунке (Г.1), и далее используются обозначения постоянных , i = 1, 2, ..., 6 и обозначения , для функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, зависящих от аргумента - .

Несобственные интегралы (Г.1) допускают дифференцирование под знаком интеграла по переменным r, z, и после подстановки в соотношения (27) - (32) приводят в каждом слое к следующим представлениям для напряжений и смещений, участвующих в граничных условиях (33), (34), (37) - (39).

Г.2 Общая схема решения задачи

Общая схема решения задачи (26), (33) - (34), (37) - (39). Подынтегральные выражения в формулах, представленных на рисунке (В.1), образованы из решений бигармонического уравнения (26) таким образом, что представления (Г.2) для нормальных напряжений , i = 1, 2, ..., 7 и выражения (Г.3) для касательных напряжений , i = 1, 2, ..., 7 при любом выборе функций , , , , i = 1, 2, ..., 6 (корректном с точки зрения сходимости интегралов) обеспечивают выполнение условий непрерывности (37) на границах слоев. Четырнадцать искомых функций , , , ,, i = 1, 2, ..., 6 подлежат определению из двух граничных условий (33) и двенадцати условий (36), (либо (37), в зависимости от установленного типа контакта на границах с номерами i = 2, 3). Выполнение каждого из перечисленных условий приводит к линейному алгебраическому уравнению относительно неизвестных функций , , , , i = 1, 2, ..., 6. Задание типа контакта осуществляется посредством присваивания значения 1 при спаянном контакте или значения 0 при гладком контакте специальным переменным pk2 и pk3 в уравнениях, соответствующим условиям на границах с номерами i = 2, 3. Непосредственное решение системы четырнадцати линейных алгебраических уравнений для функций , , , , i = 1, 2, ..., 6 в символьном виде методом Гаусса практически невозможно из-за больших размеров получающихся при этом формул. Поэтому решение упомянутой выше системы разбивается на несколько этапов.

Вначале, используя двенадцать условий (36), (37), основную матрицу в системе уравнений приводим к ступенчатому виду, который позволяет функции , , , i = 1, 2, ..., 6 и , i = 1, 4, 5, 6 выразить через две другие функции , .

Далее каждое из двенадцати представлений для перечисленных выше функций подвергается специальному преобразованию, целью которого является минимизация вычислительной сложности полученных соотношений. В результате система граничных условий (36), (37) равносильным образом представляется в виде системы уравнений (Г6):

Нижние индексы функций , , i = 1, 2, ..., 6 , стоящих в обеих частях уравнений (рисунок Г.6), совпадают со значением номера i плоскости на которой ставятся рассматриваемые в уравнениях граничные условия. В формулах, представленных на рисунке Г.6, фигурируют функции , , ...., , представления которых задаются выражениями (рисунок Г.7) и функции , , ..., (рисунок Г.8).

В представлениях для функций (рисунок Г.7), (рисунок Г.8) содержатся также постоянные величины , k = 1, ..., 34; , k = 1, ..., 784 и , k = 1, ..., 281 которые элементарным, но часто весьма громоздким образом выражаются через исходные физические постоянные задачи , , i = 1, 2, ..., 7. Большое количество упомянутых величин не позволяет представить их в данном документе.

Из граничных условий (33), (34) на поверхности полупространства z = 0 к системе (рисунок Г.6) добавляются еще два уравнения для искомых функций , , , , i = 1, 2, ..., 6 . При этом для ступенчатой правой части равенства (33) используется интегральное разложение по функциям Бесселя (формула Г.1):

(Г.1)

В результате уравнения, дополняющие систему (рисунок Г.6), принимают вид (рисунок Г.9):

Коэффициентами при неизвестных , в системе (рисунок Г.9) являются функции (рисунок Г.10).

После подстановки в уравнения (рисунок Г.9) представлений (рисунок Г.10) и решения полученной системы двух уравнений относительно функций , , получим формулы (рисунок Г.11):

Подстановка выражений (рисунок Г.11) в формулы (рисунок Г.6) позволяет получить представления для других искомых функций , , , i = 1, 2, _, 6 и , i = 1, 4, 5, 6, а затем из формул (рисунок Г.1) - (рисунок Г.5) - пригодные для численных расчетов интегральные представления для напряжений и смещений в заданной точке упругой среды.