Приложение В (обязательное). Алгоритмы расчета напряжений и смещений в многослойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при спаянном контакте слоев

Приложение В
(обязательное)

Алгоритмы расчета напряжений и смещений в многослойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при спаянном контакте слоев

В.1 Общие сведения

В работе [6] предложено искать бигармонические функции , i = 1, 2, ..., 7 в виде несобственных интегралов (рисунок В.1), подынтегральные функции которых содержат неизвестные функции , , , , i = 1, 2, ..., 6 от переменной интегрирования . Упомянутые функции подлежат определению из условий (27) - (36):

В формулах, представленных на рисунке (В.1), и далее используются обозначения постоянных , i = 1, 2, ..., 6 и обозначения , для функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, зависящих от аргумента - .

Несобственные интегралы (В.1) допускают дифференцирование под знаком интеграла по переменным r, z, и после подстановки в соотношения (23) - (28) приводят в каждом слое к следующим представлениям для напряжений и смещений, участвующих в граничных условиях (33) - (36).

В.2 Общая схема решения задачи

Общая схема решения задачи (26), (33) - (36). Подынтегральные выражения в формулах, представленных на рисунке (В.1) образованы из решений бигармонического уравнения (26) таким образом, что представления (В.2) для нормальных напряжений , i = 1, 2, ...,7 и выражения (В.3) для касательных напряжений , i = 1, 2,..., 7 при любом выборе функций , , , , i = 1, 2, ..., 6 (корректном с точки зрения сходимости интегралов) обеспечивают выполнение условий непрерывности (35) на границах слоев. Четырнадцать искомых функций , , , , i = 1, 2, ...,6 подлежат определению из четырнадцати оставшихся граничных условий (33), (34), (36), каждое из которых приводит к линейному алгебраическому уравнению относительно неизвестных функций.

Непосредственное решение системы четырнадцати линейных алгебраических уравнений для функций , , , , i = 1, 2, ..., 6 в символьном виде методом Гаусса практически невозможно из-за больших размеров получающихся при этом формул. Поэтому решение упомянутой выше системы разбивается на несколько этапов.

Вначале, используя двенадцать условий непрерывности горизонтальных и вертикальных смещений (36) и ступенчатый вид основной матрицы системы уравнений, функции , , i = 1, 2,..., 6 выражаются через две другие функции , .

Далее каждое из двенадцати представлений для функций , , i = 1, 2, ..., 6 подвергается специальному преобразованию, целью которого является минимизация вычислительной сложности полученных соотношений. В результате система граничных условий (36) равносильным образом представляется в виде системы уравнений (рисунок В.6):

Нижние индексы функций , , i = 1, 2, ..., 6, стоящих в левых частях уравнений (рисунок В.6), совпадают со значением номера i плоскости , на которой ставятся рассматриваемые в уравнениях граничные условия. В формулах, представленных на рисунке В.6 фигурируют функции , i = 1, 2, ..., 20, представления которых задаются выражениями (рисунок В.7). Вычислительная сложность зависимостей (рисунок В.6) уменьшается с увеличением номера границы.

В правых частях уравнений (рисунок В.6) и в представлениях для функций (рисунок В.7) содержатся также постоянные величины , k = 1, ..., 34 и , k = 1, ..., 784, которые элементарным, но часто весьма громоздким образом выражаются через исходные физические постоянные задачи , , i = 1, 2, ..., 7. Большое количество упомянутых величин не позволяет представить их в данном документе.

Из граничных условий (33), (34) на поверхности полупространства z = 0 к системе (рисунок В.6) добавляются еще два уравнения для искомых функций , , , , i = 1, 2, ..., 6 . При этом для ступенчатой правой части равенства (33) используется интегральное разложение по функциям Бесселя (формула В.1):

(В.1)

В результате уравнения, дополняющие систему (рисунок В.6), принимают вид (рисунки В.8, В.9):

После подстановки в уравнения (рисунок В.8), (рисунок В.9) представлений (рисунок В.6) и решения полученной системы двух уравнений относительно функций , , получим формулы (рисунок В.10):

В правых частях равенств (рисунок В.10) использованы вспомогательные функции (рисунок В.11):

Подстановка выражений (рисунок В.10), (рисунок В.11) в формулы (рисунок В.6) позволяет получить представления для других искомых функций , , i = 1, 2, _, 6, а затем из формул (рисунки В.2-В.5) пригодные для численных расчетов интегральные представления для напряжений и смещений в заданной точке упругой среды.