Приложение А (обязательное). Алгоритмы расчета напряжений и смещений в двухслойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при спаянном контакте слоев

Приложение А
(обязательное)

Алгоритмы расчета напряжений и смещений в двухслойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при спаянном контакте слоев

А.1 Общие сведения

Следуя методике, предложенной в работе [6], бигармонические функции , i = 1, 2 представляются несобственными интегралами, в которых фигурируют функции (формулы А.1 и А.2):

, (А.1)

, (А.2)

зависящие от переменной интегрирования и от параметров задачи p, , , , , h, (рисунок А.1):

, подлежат определению из условий (2) - (11). На рисунке (А.1) и далее используются обозначения , для функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, зависящих от аргумента .

Несобственные интегралы (рисунок А.1) допускают дифференцирование под знаком интеграла по переменным r, z и после подстановки в соотношения (2) - (7) приводят в каждом слое к представлениям для напряжений и смещений, участвующих в граничных условиях (8) - (11) и просто формирующих напряженно-деформированное состояние упругой среды (рисунки А.2-А.13):

А.2 Общая схема решения задачи

Общая схема решения задачи (1), (8) - (11). Подынтегральные выражения на рисунке (А.1) образованы из решений бигармонического уравнения (1) таким образом, что представления (А.2) для нормальных напряжений , i = 1, 2 и выражения (A.8) для касательных напряжений , i = 1, 2 при любом выборе функций , , , (корректном с точки зрения сходимости интегралов) обеспечивают выполнение условий непрерывности (10) на границе слоев. Четыре искомых функции , , , подлежат определению из четырёх оставшихся граничных условий (8), (9), (11), каждое из которых приводит к линейному алгебраическому уравнению относительно неизвестных функций.

Решение полученной таким образом системы из четырёх линейных алгебраических уравнений разбивается на два этапа. Вначале, используя два условия непрерывности горизонтальных и вертикальных смещений (11) и ступенчатый вид основной матрицы системы уравнений, функции , выражаются через две другие функции , (рисунок А.14):

Затем, используя соотношения (А.14) и условия (8), (9) на поверхности упругого полупространства, получим систему уравнений для двух оставшихся функций , . При этом для ступенчатой правой части равенства (8) используется интегральное разложение по функциям Бесселя (формула А.3):

(А.3)

Решение упомянутой системы двух линейных алгебраических уравнений в символьном виде приводит к следующим формулам для искомых функций (рисунки А.15, А.16):

Подстановка выражений, представленных на (А.15), (А.16) в (А.14) позволяет получить представления для функций , , а затем из формул, представленных на рисунках (А.2) - (А.13) пригодные для численных расчетов интегральные формулы для напряжений и смещений в заданной точке упругой среды.