Приложение С (справочное). Обоснование формул (14) - (16)

Приложение С
(справочное)

Обоснование формул (14) - (16)

Основное предположение при выводе формул (14) - (16) состоит в том, что случайные величины белого шума являются статистически независимыми:

,

(С.1)

,

(С.2)

,

(С.3)

,

(С.4)

,

(С.5)

где формула (С.5) справедлива при любом условии. Все расчеты в данном приложении сделаны для наклонной базовой линии, для горизонтальной базовой линии они также справедливы.

Угловой коэффициент наклонной базовой линии, связывающий нулевую точку (Y ₀ = 0) и точку k _e, равен Y _k/k _e. Поэтому значения на краях области объединения сигналов можно записать в виде:

,

(С.6)

,

(С.7)

где значения Y _i определяют по формуле (9). Площадь трапеции, образованной наклонной базовой линией, горизонтальной и вертикальными линиями (см. рисунок 4), равна

,

(С.8)

где определяют по формуле (16). Формула (11) для шума принимает вид

,

(С.9)

где из формулы (11) предполагается равным единице. Дисперсия формулы (С.9) является искомым уравнением [формула (15)].

Сумма процесса авторегрессии выбрана в качестве простого примера измеряемой площади. Если М ₀ = 0, то процесс авторегрессии, определенный формулой (4), также принимает вид:

.

(С.10)

.

(С.11)

.

(С.12)

Сумму процесса авторегрессии можно записать в виде

.

(С.13)

По определению E[m _i] = 0, среднее формулы (С.13) равно нулю, но ее дисперсия является конечной величиной

.

(С.14)

Эту формулу можно записать в более простом виде

.

(С.15)

Замена k на k _f - k _c в формуле (С.15) дает второй член формулы (15). Первый член формулы (15) представляет собой сумму белого шума в точке k _f - k _c. Другие члены формулы (15) могут быть получены на основе рассмотрения формул (С.1)-(С.5) и (С.9)-(С.15) (см. [7]). Кроме того, E[A _F] = 0 в предположении, что E[w _i] = 0 и Е[m _i] = 0.

Неопределенность, связанная с установкой нуля, может быть получена аналогичным способом (см. [8]). Нулевой уровень L ₀ определен здесь как среднее арифметическое b последовательных данных

,

(С.16)

где Y _i определяют по формуле (9). Установка нуля означает, что коррекция фонового шума сделана по всей области объединения сигнала и шума, создавая следующую область в области объединения

.

(С.17)

Поэтому неопределенность, связанная с установкой нуля, имеет вид

,

(С.18)

где E[L ₀] = 0 по определению. Если формулу (С.13) использовать вместо в формуле (С.16), полученное выражение будет соответствовать второму члену формулы (14) (см. [8]). Первый член формулы (14) характеризует влияние белого шума.