Приложение Ж (справочное). Критерии проверки однородности дисперсий

Приложение Ж
(справочное)

Критерии проверки однородности дисперсий

Ж.1 Критерий Фишера

Проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

Имеются X ₁, X ₂, ..., Х _n - результаты независимых, проводимых в одинаковых условиях наблюдений величины X и Y ₁, Y ₂, ..., Y _n - величины Y, с соответствующими дисперсиями и , причем  > .

Необходимо проверить гипотезу: Н ₀:  = .

Из независимости рядов Х ₁, Х ₂, ..., Х _n и Y ₁, Y ₂, ..., Y _n - следует независимость величин и (принимаемых в качестве приближенных значений , ), а значит и величин (I = n _X - 1) и (k = n _Y - 1), определяемых как

.

(Ж.1)

Тогда в соответствии с определением F-распределения отношение , будет иметь F-распределение с I = n _Х-1 и k = n _Y-1 степенями свободы, то есть

.

(Ж.2)

Отсюда, если гипотеза верна, получаем, что для  = / справедливо соотношение

.

(Ж.3)

Эту величину используют в качестве критерия при проверке гипотезы.

Ж.2 Критерий Кохрена

Если есть более двух выборок и все выборки имеют одинаковый объем, то используют критерий Кохрена - отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

.

(Ж.4)

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k = n - 1 и количества выборок I.

Ж.3 Критерий Бартлетта

Если выборки нормальных генеральных совокупностей имеют разный объем, то сравнение дисперсий проводят по критерию Бартлетта.

Пусть генеральные совокупности X ₁, Х ₂, ..., X _I распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки различных объемов n ₁, n ₂, ..., n _I. По выборкам найдены выборочные дисперсии  +  + , ..., + .

Требуется по выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

(Ж.5)

Требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные дисперсии - гипотеза об однородности дисперсий.

Среднее арифметическое значение дисперсий, взвешенное по числам степеней свободы

,

(Ж.6)

где - число степеней свободы, k = .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта - случайную величину

,

(Ж.7)

где , .

(Ж.8)

Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как с I - 1 степенями свободы, если все k _i > 2. Учитывая, что k _i = n _i - 1, заключаем, что n _i - 1 > 2 или n _i > 3, то есть объем каждой из выборок должен быть не менее 4.

Критическую область строят правостороннюю исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

.

(Ж.9)

Критическую точку (; I - 1) находят по уровню значимости и по числу степеней свободы k = I - 1, и тогда правостороннюю критическую область определяют неравенством В > , а область принятия гипотезы - неравенством В  .

Правило: для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта и по таблице критических точек распределения найти критическую точку (, I - 1).

Если В _набл   - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если В _набл >  - нулевую гипотезу отвергают.

Ж.4 Критерии для абсолютных и относительных дисперсий

Ж.4.1 Критерий Фишера

Гипотеза:  =  (абсолютные дисперсии)  / = / - относительные дисперсии.

Ж.4.2 Критерий Кохрена

Гипотеза: /( +  + ... + ) (абсолютные дисперсии) 

- относительные дисперсии.

Ж.4.3 Критерий Бартлетта

Гипотеза: D(X ₁) = D(X ₂) = ... = D(X _I) (абсолютные дисперсии) 

D(X ₁)/ = D(X ₂)/ = ... = D(X _I)/ - относительные дисперсии.