Приложение Д (справочное). Критерий Колмогорова

Приложение Д
(справочное)

Критерий Колмогорова

Д.1 Для применения критерия Колмогорова экспериментальные данные (ЭД) требуется представить в виде вариационного ряда (ЭД недопустимо объединять в разряды). В качестве меры расхождения между теоретической F(x) и эмпирической F _n(x) функциями распределения непрерывной случайной величины X используют модуль максимальной разности

.

(Д.1)

А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) величины X при неограниченном увеличении количества наблюдений n функция распределения случайной величины d _n асимптотически приближается к функции распределения

.

(Д.2)

Иначе говоря, критерий Колмогорова характеризует вероятность того, что величина d _n не будет превосходить параметр для любой теоретической функции распределения. Уровень значимости выбирается из условия

,

(Д.3)

в силу предположения, что почти невозможно получить это равенство, когда существует соответствие между функциями F(x) и F _n(x). Критерий Колмогорова позволяет проверить согласованность распределений по малым выборкам, он проще критерия -квадрат, поэтому его часто применяют на практике.

Д.2 В соответствии с условиями применения критерия, выстроив результаты измерения в порядке возрастания и присвоив каждому индекс "i": i = 1...n, необходимо пользоваться следующим соотношением

,

(Д.4)

где ; .

(Д.5)

Д.3 Условия применения критерия предусматривают, что теоретическая функция распределения известна полностью - известны вид функции и значения ее параметров. На практике параметры обычно неизвестны и оцениваются по ЭД. Но критерий не учитывает уменьшение числа степеней свободы при оценке параметров распределения по исходной выборке. Это приводит к завышению значения вероятности соблюдения нулевой гипотезы, то есть повышается риск принять в качестве правдоподобной гипотезу, которая плохо согласуется с ЭД (повышается вероятность совершить ошибку второго рода). В качестве меры противодействия такому выводу следует увеличить уровень значимости , приняв его равным 0,1-0,2, что приведет к уменьшению зоны допустимых отклонений.

Критические значения критерия Колмогорова для 10 % и 5 % границ и малых и средних объемов выборок приведены в таблице Д.1.

Таблица Д.1

n			n			n			n
3	0,636	0,708	13	0,325	0,361	23	0,247	0,275	33	0,208	0,231
4	0,565	0,624	14	0,314	0,349	24	0,242	0,269	34	0,205	0,227
5	0,509	0,563	15	0,304	0,338	25	0,238	0,264	35	0,202	0,224
6	0,468	0,519	16	0,295	0,327	26	0,233	0,259	36	0,199	0,221
7	0,436	0,483	17	0,286	0,318	27	0,229	0,254	37	0,196	0,218
8	0,410	0,454	18	0,278	0,309	28	0,225	0,250	38	0,194	0,215
9	0,387	0,430	19	0,271	0,301	29	0,221	0,246	39	0,191	0,213
10	0,369	0,409	20	0,265	0,294	30	0,218	0,242	40	0,189	0,210
11	0,352	0,391	21	0,259	0,287	31	0,214	0,238	50	0,170	0,177
12	0,338	0,375	22	0,253	0,281	32	0,211	0,234	100	0,121	0,134

Д.4 Проверяют с использованием критерия Колмогорова гипотезу о том, что ЭД, представленные в таблице Д.2, подчиняются нормальному распределению при уровне значимости  = 0,1.

Необходимые вычисления можно провести с использованием табличного процессора: значение эмпирической функции распределения F _n(x _i) = i/44; значения теоретической функции F(x _i) - это значение функции нормального распределения в точке х _i.

Значения теоретической функции нормального распределения в точке х _i вычисляют по формуле

,

(Д.6)

где - табулированный интеграл Лапласа;

- среднее значение в выборке;

- СКО выборки.

В учебниках по метрологии величина может быть обозначена буквой z.

Таблица Д.2 - Исходные данные и результаты вычислений

ГАРАНТ:

Начало таблицы. См. продолжение 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
x i	25,79	25,98	25,98	26,12	26,13	26,49	26,52	26,60	26,66	26,69	26,74
Fn(x i)	0,023	0,046	0,068	0,091	0,114	0,136	0,159	0,182	0,204	0,227	0,250
F(x i)	0,036	0,055	0,055	0,073	0,075	0,144	0,151	0,170	0,188	0,196	0,211
	0,014	0,009	0,013	0,018	0,038	0,008	0,008	0,012	0,016	0,032	0,039
	0,036	0,032	0,010	0,005	0,016	0,031	0,014	0,011	0,006	0,009	0,016

ГАРАНТ:

Продолжение 1 таблицы. См. продолжение 2

i	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
x i	26,85	26,90	26,91	26,96	27,02	27,11	27,19	27,21	27,28	27,30	27,38
Fn(x i)	0,273	0,296	0,318	0,341	0,364	0,386	0,409	0,432	0,455	0,477	0,500
F(x i)	0,246	0,263	0,267	0,284	0,305	0,337	0,371	0,378	0,406	0,412	0,447
	0,027	0,032	0,051	0,057	0,059	0,050	0,038	0,054	0,049	0,065	0,053
	0,004	0,010	0,028	0,034	0,036	0,027	0,015	0,031	0,026	0,042	0,031

ГАРАНТ:

Продолжение 2 таблицы. См. окончание

i	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
x i	27,40	27,49	27,64	27,66	27,71	27,78	27,89	27,89	28,01	28,10	28,11
Fn(x i)	0,523	0,546	0,568	0,591	0,614	0,636	0,659	0,682	0,705	0,727	0,750
F(x i)	0,456	0,492	0,555	0,561	0,583	0,610	0,656	0,656	0,701	0,731	0,735
	0,067	0,053	0,013	0,030	0,031	0,026	0,003	0,026	0,003	0,004	0,015
	0,044	0,031	0,010	0,007	0,008	0,003	0,019	0,003	0,020	0,027	0,008

ГАРАНТ:

Окончание таблицы. См. начало

i	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
x i	28,37	28,38	28,50	28,63	28,67	28,90	28,99	28,99	29,03	29,12	29,28
Fn(x i)	0,773	0,795	0,818	0,841	0,864	0,886	0,909	0,932	0,955	0,977	1,000
F(x i)	0,817	0,819	0,851	0,879	0,888	0,928	0,939	0,940	0,944	0,954	0,968
	0,044	0,024	0,032	0,038	0,024	0,042	0,030	0,008	0,010	0,024	0,032
	0,067	0,046	0,055	0,061	0,047	0,064	0,053	0,031	0,013	0,001	0,009

В данном примере максимальные значения и одинаковы и равны 0,067. Из таблицы Д.1 при  = 0,1 и n = 44 находят d = 0,180 (аппроксимация между 0,189 и 0,170).

Поскольку величина max d _n = 0,067 меньше критического значения, гипотеза о принадлежности выборки нормальному закону не отвергается.