Вы можете открыть актуальную версию документа прямо сейчас.
Если вы являетесь пользователем интернет-версии системы ГАРАНТ, вы можете открыть этот документ прямо сейчас или запросить по Горячей линии в системе.
Приложение Д
(справочное)
Критерий Колмогорова
Д.1 Для применения критерия Колмогорова экспериментальные данные (ЭД) требуется представить в виде вариационного ряда (ЭД недопустимо объединять в разряды). В качестве меры расхождения между теоретической F(x) и эмпирической F n(x) функциями распределения непрерывной случайной величины X используют модуль максимальной разности
.
(Д.1)
А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) величины X при неограниченном увеличении количества наблюдений n функция распределения случайной величины d n асимптотически приближается к функции распределения
.
(Д.2)
Иначе говоря, критерий Колмогорова характеризует вероятность того, что величина d n не будет превосходить параметр
для любой теоретической функции распределения. Уровень значимости
выбирается из условия
,
(Д.3)
в силу предположения, что почти невозможно получить это равенство, когда существует соответствие между функциями F(x) и F n(x). Критерий Колмогорова позволяет проверить согласованность распределений по малым выборкам, он проще критерия -квадрат, поэтому его часто применяют на практике.
Д.2 В соответствии с условиями применения критерия, выстроив результаты измерения в порядке возрастания и присвоив каждому индекс "i": i = 1...n, необходимо пользоваться следующим соотношением
,
(Д.4)
где ;
.
(Д.5)
Д.3 Условия применения критерия предусматривают, что теоретическая функция распределения известна полностью - известны вид функции и значения ее параметров. На практике параметры обычно неизвестны и оцениваются по ЭД. Но критерий не учитывает уменьшение числа степеней свободы при оценке параметров распределения по исходной выборке. Это приводит к завышению значения вероятности соблюдения нулевой гипотезы, то есть повышается риск принять в качестве правдоподобной гипотезу, которая плохо согласуется с ЭД (повышается вероятность совершить ошибку второго рода). В качестве меры противодействия такому выводу следует увеличить уровень значимости , приняв его равным 0,1-0,2, что приведет к уменьшению зоны допустимых отклонений.
Критические значения критерия Колмогорова для 10 % и 5 % границ и малых и средних объемов выборок приведены в таблице Д.1.
Таблица Д.1
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
3 |
0,636 |
0,708 |
13 |
0,325 |
0,361 |
23 |
0,247 |
0,275 |
33 |
0,208 |
0,231 |
4 |
0,565 |
0,624 |
14 |
0,314 |
0,349 |
24 |
0,242 |
0,269 |
34 |
0,205 |
0,227 |
5 |
0,509 |
0,563 |
15 |
0,304 |
0,338 |
25 |
0,238 |
0,264 |
35 |
0,202 |
0,224 |
6 |
0,468 |
0,519 |
16 |
0,295 |
0,327 |
26 |
0,233 |
0,259 |
36 |
0,199 |
0,221 |
7 |
0,436 |
0,483 |
17 |
0,286 |
0,318 |
27 |
0,229 |
0,254 |
37 |
0,196 |
0,218 |
8 |
0,410 |
0,454 |
18 |
0,278 |
0,309 |
28 |
0,225 |
0,250 |
38 |
0,194 |
0,215 |
9 |
0,387 |
0,430 |
19 |
0,271 |
0,301 |
29 |
0,221 |
0,246 |
39 |
0,191 |
0,213 |
10 |
0,369 |
0,409 |
20 |
0,265 |
0,294 |
30 |
0,218 |
0,242 |
40 |
0,189 |
0,210 |
11 |
0,352 |
0,391 |
21 |
0,259 |
0,287 |
31 |
0,214 |
0,238 |
50 |
0,170 |
0,177 |
12 |
0,338 |
0,375 |
22 |
0,253 |
0,281 |
32 |
0,211 |
0,234 |
100 |
0,121 |
0,134 |
Д.4 Проверяют с использованием критерия Колмогорова гипотезу о том, что ЭД, представленные в таблице Д.2, подчиняются нормальному распределению при уровне значимости = 0,1.
Необходимые вычисления можно провести с использованием табличного процессора: значение эмпирической функции распределения F n(x i) = i/44; значения теоретической функции F(x i) - это значение функции нормального распределения в точке х i.
Значения теоретической функции нормального распределения в точке х i вычисляют по формуле
,
(Д.6)
где - табулированный интеграл Лапласа;
- среднее значение в выборке;
- СКО выборки.
В учебниках по метрологии величина может быть обозначена буквой z.
Таблица Д.2 - Исходные данные и результаты вычислений
Начало таблицы. См. продолжение 1
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
x i |
25,79 |
25,98 |
25,98 |
26,12 |
26,13 |
26,49 |
26,52 |
26,60 |
26,66 |
26,69 |
26,74 |
Fn(x i) |
0,023 |
0,046 |
0,068 |
0,091 |
0,114 |
0,136 |
0,159 |
0,182 |
0,204 |
0,227 |
0,250 |
F(x i) |
0,036 |
0,055 |
0,055 |
0,073 |
0,075 |
0,144 |
0,151 |
0,170 |
0,188 |
0,196 |
0,211 |
|
0,014 |
0,009 |
0,013 |
0,018 |
0,038 |
0,008 |
0,008 |
0,012 |
0,016 |
0,032 |
0,039 |
|
0,036 |
0,032 |
0,010 |
0,005 |
0,016 |
0,031 |
0,014 |
0,011 |
0,006 |
0,009 |
0,016 |
Продолжение 1 таблицы. См. продолжение 2
i |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Если вы являетесь пользователем интернет-версии системы ГАРАНТ, вы можете открыть этот документ прямо сейчас или запросить по Горячей линии в системе.