Приложение К (справочное). Построение функциональной зависимости между двумя величинами

Приложение К
(справочное)

Построение функциональной зависимости между двумя величинами

К.1 В настоящем приложении рассматриваются способы построения функциональной зависимости

,

(К.1)

между двумя величинами Y и X по нескольким парам их случайных реализаций - (Х _j, Y _j).

Здесь а = (а ₁, а ₂, ..., а _m) - параметры функциональной зависимости (далее - модельной функции), m - количество параметров.

Предполагают, что функциональная зависимость (К.1) строится при следующих допущениях:

- количество пар случайных величин - n > m;

- случайные величины X _j и Y _j подчиняются нормальному закону распределения, при этом известны или могут быть определены дисперсии этих величин , ;

- случайные величины Х _j не коррелированы друг с другом;

- целью построения является нахождение наилучших значений параметров а функциональной зависимости (К.1).

К.2 Описанные в настоящем приложении алгоритмы могут быть применены:

- для построения градуировочной характеристики, описываемой функциональной зависимостью вида (К.1), и оценки ее погрешности,

- для аппроксимации характеристик погрешности функциональной зависимостью вида (К.1).

В первом случае входными случайными величинами Х _j являются значения, воспроизводимые эталонами, стандартными образцами, аттестованными объектами [3], а выходными Y _j - соответствующие значения выходного сигнала измерительного преобразователя.

Во втором случае входными случайными величинами X _j являются средние значения параметра, измеряемого по МВИ в разных точках диапазона, выходные Y _j - соответствующие оценки погрешности измерений.

К.3 В наиболее общем случае функциональную зависимость строят методом конфлюентного анализа, то есть параметры а находят из условия (при n > m)

,

(К.2)

где статистические веса W _j и сдвиги задаются формулами:

;

(К.3)

.

(К.4)

К.4 В случае малых значений погрешности аргумента, то есть при выполнении для всех Х _j (во всем диапазоне) неравенства

,

(К.5)

градуировочную характеристику строят методом наименьших квадратов, то есть параметры а находят из условия (при n > m)

,

(К.6)

то есть статистические веса W _j = 1/, а сдвиги  = 0.

К.5 В случае линейной зависимости Y = kХ + b и равноточных измерений (все равны) метод наименьших квадратов дает следующие оценки параметров k, b:

,

(К.7)

,

(К.8)

К.6 В случае зависимости Y = kХ и равноточных измерений (все равны), оценка параметра k равна (при n > m):

.

(К.9)

К.7 Выбранная функция (К.1) правильно описывает функциональную зависимость, если выполняется условие

,

(К.10)

где - минимальное значение суммы квадратов (К.2);

- 95 %-ный квантиль -распределения с (n - m) степенями свободы.

Если условие (К.10) не выполняется, то выбранная функция (К.1) неправильно описывает функциональную зависимость, и необходимо выбрать иную функцию.

К.8 Оценки погрешностей параметров а и ширину доверительного интервала для зависимости (К.1) находят через элементы ковариационной матрицы Z ^-1, пропорциональные корреляционным членам

.

(К.11)

Здесь Z ^-1 - матрица, обратная матрице Z, элементы которой равны

.

(К.12)

Погрешности оценок параметров и ширина доверительного интервала в точке X, выраженная в единицах величины выходного сигнала I _Y(Х), для доверительной вероятности 0,95 задаются формулами:

,

(К.13)

,

(К.14)

где - квантиль распределения Стьюдента с (n-m) степенями свободы для доверительной вероятности 0,95.

Ширина доверительного интервала в точке X, выраженная в единицах величины входного сигнала I _X(X), то есть в единицах измеряемой величины, для доверительной вероятности 0,95 задается формулой:

,

(К.15)

где частная производная берется в точке X.

Примечания

1 Погрешности оценок параметров могут быть использованы для оценки значимости параметров а _i. Например, при построении градуировочной зависимости свободный член в (К.1) - а ₁ часто представляет собой величину фонового сигнала. Критерием незначимости фона является условие

.

(К.16)

2 Ширина доверительного интервала в точке X, выраженная в единицах величины входного сигнала, I _X(Х) характеризует погрешность градуировочной характеристики (см. также 6.4 настоящего стандарта).