Приложение В (справочное). Пример построения обобщенной кривой для модуля накопления

Приложение В
(справочное)

Пример
построения обобщенной кривой для модуля накопления

В настоящем приложении рассмотрен пример применения методологии сдвигов сегментов экспериментальных данных модуля накопления для построения обобщенной кривой. В примере использованы три сегмента, полученные в ходе испытаний при температурах Т ₁ = 0 °С; Т ₂ = 10 °С; Т ₃ = 20 °С. Сегменты составлены из 18 экспериментальных точек каждый (см. рисунок В.1), координаты которых даны в таблице В.1. Номер точки в пределах сегмента обозначен n, n = 1, ..., 18; N ₁ = N ₂ = N ₃ = 18. Для всех сегментов использовано одно и то же окно эксперимента, т.е. lg f _n(Т ₁) = lg f _n(Т ₂) = lg f _n(Т ₃).

1 - сегмент модуля накопления для температуры Т ₁ = 0 °С; 2 - сегмент модуля накопления для температуры Т ₂ = 10 °С; 3 - сегмент модуля накопления для температуры Т ₃ = 20 °С

Рисунок В.1 - Три сегмента модуля накопления

Таблица В.1 - Экспериментальные данные для сегментов модуля накопления

n	lg f, Гц	T 1 = 0 °С	T 2 = 10 °С	T 3 = 20 °С
		lg M'(f, T 1)	lg М'(f, Т 2)	lg М'(f, T 3)
1	- 1,964 8	7,094 6	6,565 7	6,300 5
2	- 1,798 2	7,128	6,605 5	6,326 4
3	- 1,631 5	7,187 7	6,649 3	6,351 8
4	- 1,464 8	7,228 7	6,703 3	6,385
5	- 1,298 2	7,291 5	6,748 6	6,413 7
6	- 1,131 5	7,350 2	6,793 6	6,445 4
7	- 0,964 9	7,400 7	6,858 1	6,482 6
8	- 0,798 2	7,453 7	6,905 4	6,514 6
9	- 0,631 5	7,492 6	6,959 1	6,549 7
10	- 0,464 8	7,536	7,014 1	6,587 1
11	- 0,298 2	7,584 4	7,070 2	6,631 7
12	- 0,131 5	7,645 4	7,128 4	6,678 7
13	0,035 2	7,711 9	7,191 1	6,728 6
14	0,201 8	7,772 2	7,250 2	6,782 8
15	0,368 5	7,820 6	7,309	6,834 8
16	0,535 2	7,861 2	7,365 3	6,887 9
17	0,701 8	7,871 6	7,391 2	6,913 7
18	0,868 5	7,909	7,442 6	6,966 1

Из рисунка В.1 видно, что формы всех трех сегментов приблизительно одинаковые, что свидетельствует о выполнении критерия а) применимости метода температурно-временной суперпозиции (см. 4.1).

Построение обобщенной кривой выполнено в соответствии с процедурой по перечислениям а) - h), описанной в приложении А:

a) выбирают температуру приведения T _R в пределах диапазона испытаний.

В примере в качестве сегмента приведения выбран средний, т.е. T _R = T ₂;

b) каждый сегмент сдвигают в вертикальном направлении на фактор вертикального сдвига b(T _k), k = 1, ..., K, значение которого получено по формуле (А.1) или (А.2), преобразуя его тем самым в lg M'(f, T _k) - lg b(T _k).

Поскольку в рассматриваемом примере плотность материала при разных температурах неизвестна, вертикальный сдвиг выполнен с применением формулы (А.2), т.е. b (T) = T/T _R = T/T ₂ (температура в Кельвинах). Таким образом, факторы вертикального сдвига будут равны:

1) b(T ₁) = (T ₁ + 237,15)/(T ₂ + 237,15) = 0,9647 - для сегмента с температурой Т ₁;

2) b(T ₂) = (T ₂ + 237,15)/(T ₂ + 237,15) = 1 - для сегмента с температурой T ₂ (остается на своей позиции);

3) b(T ₃) = (T ₃ + 237,15)/(T ₂ + 237,15) = 1,0353 - для сегмента с температурой T ₃.

Вычитая фактор вертикального сдвига из значения модуля накопления (и та, и другая величины взяты как логарифмы по основанию 10) для каждой экспериментальной точки, получаем приведенные модули накопления (см. рисунок В.2 и таблицу В.2);

c) для каждой пары соседних сегментов:

1) определяют значения частоты и приведенного модуля накопления в точках Q и Р с использованием формул (А.6) и (А.7);

2) определяют значения частоты и приведенного модуля накопления в точках U и L с использованием формул (А.8) - (А.11);

3) вычисляют индивидуальный фактор сдвига Ig (T) по формулам (А.3) - (А.5).

Вначале рассматривают выполнение указанных действий для первой пары приведенных сегментов с температурами (T ₁, T ₂) = (0 °С, 10 °С), выделенных цветом на рисунке В.3.

1 - сегмент приведенного модуля накопления (Т ₁ = 0 °С); 2 - сегмент исходного модуля накопления (Т ₁ = 0 °С); 3 - сегмент исходного модуля накопления (T ₂ = 10 °С); 4 - сегмент исходного модуля накопления (Т ₃ = 20 °С); 5 - сегмент приведенного модуля накопления (Т ₃ = 20 °С)

Рисунок В.2 - Сегменты исходного и приведенного модулей накопления

Таблица В.2 - Данные для сегментов приведенного модуля накопления

n	lg f, Гц	Т 1 = 0 °C	Т 2 = 10 °С	Т 3 = 20 °С
		lg M'(f, T 1)	lg M'(f, T 2)	lg M'(f, T 3)
1	- 1,964 8	7,110 2	6,565 7	6,285 4
2	- 1,798 2	7,143 6	6,605 5	6,311 3
3	- 1,631 5	7,203 3	6,649 3	6,336 7
4	- 1,464 8	7,244 3	6,703 3	6,369 9
5	- 1,298 2	7,307 1	6,748 6	6,398 6
6	- 1,131 5	7,365 8	6,793 6	6,430 3
7	- 0,964 9	7,416 3	6,858 1	6,467 5
8	- 0,798 2	7,469 3	6,905 4	6,499 5
9	- 0,631 5	7,508 2	6,959 1	6,534 6
10	- 0,464 8	7,551 6	7,014 1	6,572
11	- 0,298 2	7,6	7,070 2	6,616 6
12	- 0,131 5	7,661	7,128 4	6,663 6
13	0,035 2	7,727 5	7,191 1	6,713 5
14	0,201 8	7,787 8	7,250 2	6,767 7
15	0,368 5	7,836 2	7,309	6,819 7
16	0,535 2	7,876 8	7,365 3	6,872 8
17	0,701 8	7,887 2	7,391 2	6,898 6
18	0,868 5	7,924 6	7,442 6	6,951

1 - сегмент приведенного модуля накопления (Т ₁ = 0 °С); 2 - область наложения сегментов А (Т ₁, Т ₂); 3 - сегмент исходного модуля накопления (Т ₂ = 10 °С)

Рисунок В.3 - Область наложения для сегментов модуля накопления при 0 °С и 10 °С

Точки Q и Р.

Значение модуля накопления в точке Q, определяемое по формуле (А.6), равно lg M'(f _Q, Т ₁) =  {lg M'(f _q, T ₁,), q = 1, 2, ..., 18} = lg М'(f ₁, T ₁) = 7,1102 Па.

Координата на логарифмической шкале частот: lg f _Q(Т ₁) = lg f ₁(Т ₁) = - 1,9648 Гц.

Значение модуля накопления в точке Р, определяемое по формуле (А.7), равно lg M'(f _p, Т ₂) =  {lg M'(f _p, T ₂), р = 1, 2, ..., 18} = lg M'(f ₁₈, T ₂) = 7,4426 Па.

Координата на логарифмической шкале частот: lg f _p(T ₂) = lg f ₁₈(T ₂) = 0,8685 Гц.

Точки U и L.

Исходя из рисунка В.3 и формулы (А.9) значение модуля накопления в точке U равно lg М'(f _U, Т ₁) = lg M'(f _p, Т ₂) = 7,4426 Па.

Координата точки на логарифмической шкале частот, вычисленная по формуле (А.8):

.

Значение модуля накопления в точке L, вычисленное по формуле (А.11), равно lg М'(f _L, Т ₂) = lg М'(f _Q, Т ₁) = 7,1102 Па.

Координата точки на логарифмической шкале частот, вычисленная по формуле (А.10):

.

Индивидуальный фактор горизонтального сдвига lg (Т ₂)

Суммы в числителе формулы (А.3) для данного примера могут быть записаны как , где , и , где .

Подставляя соответствующие табличные значения, получаем и .

Далее для нахождения индивидуального фактора горизонтального сдвига между двумя сегментами подставляют полученные значения сумм в числитель формулы (А.3), что дает

.

Теперь переходим к аналогичным вычислениям для второй пары приведенных сегментов с температурами (T ₂, Т ₃) = (10 °С, 20 °С), выделенных цветом на рисунке В.4.

1 - сегмент приведенного модуля накопления (T ₂ = 10 °С); 2 - область наложения сегментов А(Т ₂, Т ₃); 3 - сегмент исходного модуля накопления (T ₃ = 20 °С)

Рисунок В.4 - Область наложения для сегментов модуля накопления при 10 °С и 20 °С

Точка Q: значение модуля накопления, определяемое по формуле (А.6), равно lg M'( _fQ, T ₂) = lg M'(f ₁, T ₂) = 6,5657 Па, координата на логарифмической шкале частот: lg f _Q(T ₂) = lg f ₁(T ₂) = 1,9648 Гц.

Точка Р: значение модуля накопления, определяемое по формуле (А.7), равно lg M'(f _p, T ₃) = lg M'(f ₁₈, Т ₃) = 6,951 Па, координата на логарифмической шкале частот: lg f _p(T ₃) = lg f ₁₈(T ₃) = 0,8685 Гц.

Точка U: Значение модуля накопления равно lg М'(f _U, T ₂) = lg M'(f _p, Т ₃), координату точки на логарифмической шкале частот рассчитывают по формуле (А.8) как линейную интерполяцию между 8-й и 9-й точками сегмента для температуры T ₂, т.е. Гц.

Точка L: Значение модуля накопления равно lg M'(f _L, T ₃) = lg M'(f _Q, T ₂), координату точки на логарифмической шкале частот рассчитывают по формуле (А.10) как линейную интерполяцию между 9-й и 10-й точками сегмента для температуры T ₃, т.е. Гц.

Суммы для расчета индивидуальных факторов горизонтального сдвига в числителе формулы (А.3) могут быть записаны как

, где , и , где .

Расчет по формуле (А.3) дает значение индивидуального фактора горизонтального сдвига

;

d) для сегмента приведения, которому соответствует температура приведения T _R, значение lg (T) приводят к нулю, т.е. lg a(T _R) = 0. Это означает, что сегмент приведения останется в своем первоначальном положении;

e) соответствующим образом корректируют окончательные значения факторов горизонтального сдвига для сегментов с температурами выше температуры приведения, T _m > T _R, с использованием формулы (А.12).

В рассматриваемом примере есть только один сегмент с температурой, превышающей температуру приведения, Т ₃ > Т ₂. Для него окончательное значение фактора горизонтального сдвига равно

;

f) для сегментов с температурами ниже температуры приведения, T _n < T _R, окончательные значения факторов горизонтального сдвига получают по формуле (А.13).

В рассматриваемом примере есть только один сегмент с температурой ниже температуры приведения, Т ₁ <Т ₂. Для него окончательное значение фактора горизонтального сдвига равно ;

g) для каждого сегмента получают "приведенную" частоту ее преобразованием к lg f(T _k) + lg a(T _k), k = 1, ..., K.

Значения приведенных частот даны в таблице В.3.

Таблица В.3 - Значения приведенных частот

n	T 1 = 0 °C	Т 2 = 10 °С	Т 3 = 20 °С
1	- 0,269	- 1,964 8	- 3,426 5
2	- 0,102 4	- 1,798 2	- 3,259 9
3	0,064 3	- 1,631 5	- 3,093 2
4	0,231	- 1,464 8	- 2,926 5
5	0,397 6	- 1,298 2	- 2,759 9
6	0,564 3	- 1,131 5	- 2,593 2
7	0,730 9	- 0,964 9	- 2,426 6
8	0,897 6	- 0,798 2	- 2,259 9
9	1,064 3	- 0,631 5	- 2,093 2
10	1,231	- 0,464 8	- 1,926 5
11	1 397 6	- 0,298 2	- 1,759 9
12	1,564 3	- 0,131 5	- 1,593 2
13	1,731	0,035 2	- 1,426 5
14	1,897 6	0,201 8	- 1,259 9
15	2,064 3	0,368 5	- 1,093 2
16	2,231	0,535 2	- 0,926 5
17	2,397 6	0,701 8	- 0,759 9
18	2,564 3	0,868 5	- 0,593 2

h) откладывают на графике в логарифмическом масштабе (с основанием 10) по обеим осям сегменты приведенных модулей накопления относительно приведенных частот, которые в совокупности составляют сглаженную обобщенную кривую.

График обобщенной кривой, построенный для данного примера, показан на рисунке В.5.

1 - сегмент приведенного модуля накопления для температуры T ₁ = 0 °С, отображенный относительно приведенной частоты; 2 - исходный сегмент модуля накопления для температуры T ₂ = 10 °С; 3 - сегмент приведенного модуля накопления для температуры T ₃ = 20 °С, отображенный относительно приведенной частоты

Рисунок В.5 - Обобщенная кривая для температуры приведения 10 °С