Приложение А (справочное). Подходы к оценке неопределенности

Приложение А
(справочное)

Подходы к оценке неопределенности

А.1 Подход GUM

В руководстве по выражению неопределенности измерений (GUM) установлена методология оценки неопределенности измерений результата y в соответствии с моделью процесса измерений. Методология GUM основана на рекомендациях Международной палаты мер и весов (BIPM) [20], в соответствии с которыми составляющие неопределенности оценивают либо на основе статистического анализа серии наблюдений (оценка типа А), либо другими способами (оценка типа В), например используя данные публикаций о неопределенности стандартных образцов, эталонов, измерений или, при необходимости, о мнениях специалистов. Отдельные составляющие выражают в виде стандартных отклонений и, при необходимости, затем объединяют.

Выполнение рекомендаций BIPM в GUM начинают с построения модели измерений в виде функции у = f(x ₁, х ₂, ..., x _N), связывающей результат измерений y с входными величинами х _i. Тогда в случае независимых входных величин GUM дает неопределенность u(y) в виде

,

(А.1)

где с _i - коэффициент чувствительности с _i =  (частная производная у по х _i);

u(х _i) и u(y) - стандартные неопределенности (неопределенности измерений в виде стандартных отклонений) х _i и y соответственно.

Если входные величины не являются независимыми, выражение для неопределенности является более сложным:

,

(А.2)

где u(x _i, x _j) - ковариация между х _i и х _j;

с _i и c _j - коэффициенты чувствительности, соответствующие (А.1).

На практике часто ковариацию выражают через коэффициент корреляции r _ij

,

(А.3)

где - 1  r _ij  1.

В случаях, учитывающих нелинейность модели измерений, в (А.1) включают члены более высокого порядка. Эта ситуация более подробно описана в GUM.

После вычисления суммарной стандартной неопределенности с использованием (А.1)-(А.3) расширенную неопределенность определяют, умножая u(y) на коэффициент охвата k, который выбирают на основе числа степеней свободы для u(y). Более подробно это описано в разделе 13.

В подходе GUM существует неявное предположение, что входные данные измерены или назначены. Если существуют воздействия (например, воздействие оператора), которые могут быть не определены через измеримые величины, удобно сформировать дополнительную стандартную неопределенность u(y), которая учитывает такие воздействия, или ввести дополнительные переменные в f(x ₁, х ₂, ..., x _N).

Из-за ориентации на входные величины этот подход иногда называют восходящим подходом оценки неопределенности.

Физическая интерпретация u(y) не является однозначной. Поскольку при оценке неопределенности могут быть использованы экспертные оценки, то u(y) можно рассматривать как функцию, характеризующую "степень доверия". Можно получить более четкую физическую интерпретацию, заметив, что вычисления, выполненные для определения u(y), приводят к значению стандартного отклонения, которое было бы получено, если бы все входные переменные изменялись случайным образом в соответствии с принятыми для них распределениями.

А.2 Принцип совместных исследований

А.2.1 Основная модель

Планирование эксперимента при совместных исследованиях, их организация и статистическая обработка подробно описаны в ИСО 5725-1 - ИСО 5725-6. Самая простая модель, лежащая в основе статистической обработки данных совместных исследований, задана уравнением (обозначения по ИСО 5725)

,

(А.4)

где m - математическое ожидание y;

В - лабораторная составляющая смещения в условиях повторяемости и предположения о нормальном распределении со средним 0 и стандартным отклонением ;

е - случайная погрешность в условиях повторяемости и предположения о нормальном распределении со средним 0 и стандартным отклонением .

Кроме того, предполагается, что B и е некоррелированны.

Применение (А.1) к простой модели дает (А.5) для единственного результата y.

.

(А.5)

Поскольку и являются дисперсиями, соответствующими В и е, и их оценивают с помощью дисперсии между лабораториями и дисперсии повторяемости , полученными в процессе межлабораторных исследований, так, что u(В) = s _L и u(е) = s _r, возможно получить выражение (А.6) для суммарной стандартной неопределенности результата u(y):

.

(А.6)

По сравнению с ИСО 5725-2 уравнение (А.6) представляет собой лишь оценку стандартного отклонения воспроизводимости s _R.

Так как этот подход ориентируется на полное выполнение метода, его называют иногда нисходящим подходом.

Следует учитывать, что каждая лаборатория вычисляет свою оценку по уравнению у = f(x ₁, х ₂, ...), полагая ее наилучшей оценкой измеряемой величины y для лаборатории. Тогда, если y = f(x ₁, x ₂, ...) - общая модель, используемая для описания поведения измерительной системы, то, следовательно, при вычислении m предполагается, что дисперсии, характеризующиеся оценками s _L и s _r, являются результатом изменения величин х ₁, ..., х _n. Если предполагается, что условия воспроизводимости обеспечиваются для случайной величины при всех существенных воздействиях и применяется физическая интерпретация u(y), приведенная выше, то из этого следует, что u(y) в уравнении (А.6) является оценкой u(y), описанной (А.1) или (А.2).

Стандартное отклонение воспроизводимости, полученное в совместном исследовании, является основой для оценки неопределенности измерений (первый принцип, на котором основан настоящий стандарт).

А.2.2 Включение данных правильности

Правильность в общем случае характеризуют смещением относительно принятого опорного значения. В некоторых совместных исследованиях правильность метода в конкретной системе измерений (обычно СИ) исследуют путем анализа аттестованного стандартного образца (CRM ¹⁾) или эталона единицы физической величины с паспортным значением , выраженным в единицах этой системы (ИСО 5725-4). Итоговая статистическая модель имеет вид

------------------------------

¹⁾_{CRM - certified reference material.}

------------------------------

,

(А.7)

где - паспортное значение;

- смещение метода.

Совместное исследование может дать оценку смещения со стандартным отклонением , рассчитанным по формуле

,

(А.8)

где р - количество лабораторий;

n - количество повторений в каждой лаборатории.

Неопределенность u(), соответствующая этому смещению, задается уравнением

,

(А.9)

где u() - неопределенность, соответствующая паспортному значению , используемому для оценки правильности при совместном исследовании. Если смещение, оцененное в процессе испытаний, используют при вычислении результатов в лабораториях, соответствующую ему неопределенность (если она является значительной) следует включать в бюджет неопределенности.

А.2.3 Другие воздействия. Объединенная модель

На практике s _R и u() не обязательно включают все изменения, влияющие на результаты измерений. Отсутствие некоторых важных факторов вызвано характером совместных исследований; некоторые факторы могут отсутствовать или не оцениваться случайно или в соответствии с планом эксперимента. Второй принцип, на котором основан настоящий стандарт, состоит в том, что воздействия, не наблюдаемые в процессе совместного исследования, или являются незначительными, или должны быть учтены.

Проще всего учесть эти воздействия, рассматривая воздействия отклонений х' _i от номинальных значений х _i, необходимых для определения оценки у, предполагая приближенную линейность этих воздействий. Объединенная модель может быть описана уравнением

.

(А.10)

Суммирование ведется по всем воздействиям, кроме представленных B, и е.

Примеры таких воздействий могут включать воздействия отбора выборки, подготовки пробы и изменения состава или типа отдельных испытываемых образцов. В строгом смысле это линеаризованная форма самой общей модели. При необходимости можно включать в нее члены более высокого порядка или члены, учитывающие корреляцию, как описано в GUM.

Очевидно, что центрирование х' _i не оказывает влияния на u(х _i), так как u(х' _i) = u(х _i), из чего следует, что для оценки неопределенности, соответствующей у, можно использовать уравнение (А.10) и следующее уравнение:

.

(А.11)

Суммирование ведется по воздействиям, не учтенным в других членах уравнения.

Следует отметить, что при оценке выполнения метода условия промежуточной прецизионности также могут быть описаны уравнением (А.10), хотя число членов суммы соответственно будет больше, поскольку по сравнению с условиями воспроизводимости в промежуточных условиях меньшее количество переменных меняется случайным образом. В общем случае уравнение (А.10) можно применять к любым условиям прецизионности, учитывая, что воздействия суммируются. В случае, когда s _r и s _L равны нулю, а неопределенность общего смещения не определена, уравнение (А.11) становится идентичным уравнению (А.1).

Из этого следуют два вывода:

- во-первых, необходимо продемонстрировать, что количественные данные, полученные из совместного исследования, согласуются с рассматриваемыми результатами испытаний;

- во-вторых, даже при согласованности данных совместного исследования для определения реальной оценки неопределенности с учетом дополнительных воздействий (х' _i в уравнении (А.10)) могут быть необходимы дополнительные исследования и предположения. При учете дополнительных воздействий предполагается применение уравнения (А.1).

И, наконец, в настоящем стандарте для утверждения, что надежную оценку неопределенности измерений можно получить на основе анализа данных повторяемости, воспроизводимости и правильности, полученных в соответствии с ИСО 5725-1 - ИСО 5725-6, использованы те же предположения, что и в перечисленных стандартах.

a) Если используются данные воспроизводимости, предполагается, что все лаборатории подобны по выполнению работ. В частности, их прецизионность повторяемости для данного объекта испытаний одинакова, а лабораторная составляющая смещения В в уравнении (А.10) соответствует тому же распределению, что и при совместных исследованиях.

b) Испытуемые материалы, используемые в исследовании, являются гомогенными и стабильными.

А.3 Сопоставление подходов

Приведенные рассуждения описывают два различных подхода к оценке неопределенности. Подход GUM описывает неопределенность в виде дисперсии, полученной на основе дисперсий входных данных, соответствующих математической модели. Другой подход использует тот факт, что, если одни и те же воздействия заметно изменяются в процессе исследования воспроизводимости, наблюдаемая дисперсия является оценкой исследуемой неопределенности. На практике значения неопределенности, полученные на основе различных подходов, различны для разных условий, включая:

a) неполные математические модели (т.е. при наличии неизвестных воздействий);

b) неполное или несущественное изменение всех воздействующих факторов в процессе оценки воспроизводимости.

Сравнение двух различных оценок поэтому полезно для оценки полноты модели измерений. Однако следует обратить внимание, что наблюдаемую повторяемость или другую оценку прецизионности очень часто рассматривают как отдельную составляющую неопределенности даже в подходе GUM. Точно так же индивидуальные воздействия обычно проверяют на их значимость или оценивают количественно до оценки воспроизводимости. На практике для оценки неопределенности часто используют некоторые элементы обоих подходов.

Когда оценка неопределенности для интерпретации сопровождается результатами, важно, чтобы пробелы в каждом подходе были заполнены. Возможности неполных моделей на практике обычно дополняют гарантированными оценками, расширяющими неопределенность модели. В настоящих рекомендациях для устранения неадекватных изменений входных воздействий рекомендуется определять оценки дополнительных воздействий. Это является гибридным подходом, объединяющим элементы и нисходящего и восходящего подходов.