Приложение А (справочное). Понятие теплопроводности

Приложение А
(справочное)

Понятие теплопроводности

А.1 Введение

В настоящем разделе представлено более строгое математическое обоснование понятия теплопроводности однородных твердых тел.

А.2 Температурный градиент grad Т в точке Р

Температурный градиент grad T в точке Р - это вектор, направленный по нормали n к изотермической поверхности, на которой расположена точка Р. Величина температурного градиента равна производной температуры Т по расстоянию от точки Р вдоль нормали n, единичным вектором которой является .

Из определения следует, что

.

(А.1)

А.3 Поверхностная плотность теплового потока q в точке Р (поверхность, через которую происходит передача теплоты)

Поверхностную плотность теплового потока q в точке Р определяют по формуле

.

(А.2)

При передаче теплоты в каждой точке поверхности величина q зависит от ориентации поверхности (т.е. от ориентации нормали к точке Р на поверхности площадью А). Это позволяет найти направление n, перпендикулярное к поверхности площадью А _n в точке Р, где величина q максимальна и вектор может быть определен по формуле

.

(A.3)

Для любой другой поверхности площадью A _S в точке Р поверхностная плотность теплового потока q представляет собой составную часть (проекцию) вектора в направлении S, перпендикулярном к этой поверхности в точке Р.

Вектор имеет название "плотность теплового потока" (thermal flux density). Не следует путать его с понятием "плотность потока тепла" (heat flux density). В стандартах ISO термины "flux density" и "heat flow rate" являются эквивалентными выражениями. Каждый раз, когда вектор не может быть определен (при конвекции и в большинстве случаев излучения), могут быть использованы только выражения "тепловой поток" (heat flow rate) и "поверхностная плотность теплового потока" (surface density of heat flow rate).

A.4 Удельное термическое сопротивление r в точке Р

Удельное термическое сопротивление r в точке Р - это величина, которая позволяет вычислить вектор grad Т в точке Р из вектора в точке Р с использованием закона Фурье. В простейшем случае (для термически изотропных материалов), когда векторы grad Т и параллельны и противоположны, удельное термическое сопротивление r в каждой точке определяют как коэффициент пропорциональности отношения векторов grad T и :

.

(A.4)

В этом случае r также представляет собой противоположное отношение между компонентами векторов grad T и в той же точке вдоль любого направления S и не зависит от выбранного направления.

В общем случае (для термически изотропных или анизотропных материалов) каждый из трех компонентов вектора grad Т представляет собой линейную комбинацию компонентов вектора . В результате этого удельное термическое сопротивление r может быть определено тензором , составленным из девяти указанных линейных комбинаций с применением формулы

.

(А.5)

Если r или является константой относительно координаты и времени, оно может рассматриваться как термическое свойство при заданной температуре.

А.5 Теплопроводность в точке Р

Теплопроводность в точке Р - это величина, которая позволяет вычислить вектор в точке Р из вектора grad T в точке Р, т.е. его произведение с удельным термическим сопротивлением представляет собой один или единичный тензор. Если векторы grad T и параллельны и противоположны, то

;

.

(А.6)

Подобно удельному термическому сопротивлению теплопроводность, в самом общем случае, представляет собой тензор девяти коэффициентов линейных комбинаций компонентов вектора grad T, который определяет каждый компонент вектора из следующего соотношения:

.

(А.7)

Это означает, что тензор может быть получен путем инверсии тензора и наоборот. Если теплопроводность ( или ) является константой относительно координаты и времени, она может рассматриваться как термическое свойство при заданной температуре.

Теплопроводность может зависеть от температуры и направления (для анизотропных тел), поэтому необходимо знать ее взаимосвязь с указанными параметрами.

Рассмотрим тело толщиной d, ограниченное двумя плоскопараллельными и изотермическими поверхностями с температурами T ₁ и T ₂, при этом площадь каждой поверхности равна А. Пусть боковые поверхности, ограничивающие лицевые поверхности этого тела, являются адиабатическими и расположены перпендикулярно к этим поверхностям. Предположим, что материал, из которого состоит рассматриваемое тело, твердый, однородный и изотропный (или анизотропный с осью симметрии, перпендикулярной к лицевым поверхностям). В случае, если теплопроводность или , или удельное термическое сопротивление r или не зависят от температуры, могут быть использованы соотношения, полученные из закона Фурье в стационарных условиях:

;

(А.8)

.

(А.9)

Если все указанные выше условия выполнены, за исключением того, что теплопроводность ( или ) линейно зависит от температуры, представленные выше соотношения по-прежнему справедливы, если теплопроводность рассчитывают при средней температуре Т _m = (T ₁ + T ₂)/2.

Аналогичным образом, если рассмотреть тело длиной l, ограниченное двумя коаксиальными изотермическими поверхностями с температурами T ₁ и T ₂ и диаметрами D _i и D _e, где края тела являются плоскими адиабатическими поверхностями, расположенными перпендикулярно к цилиндрам, то для твердых, однородных и изотропных материалов справедливы следующие соотношения, выведенные из закона Фурье в стационарных условиях, если теплопроводность или удельное термическое сопротивление r не зависят от температуры:

;

(А.10)

;

(А.11)

где D может быть наружным либо внутренним диаметром или другим точно определенным диаметром.

Если все представленные выше условия выполнены, за исключением того, что теплопроводность линейно зависит от температуры, представленные выше соотношения по-прежнему справедливы, если теплопроводность рассчитывают при средней температуре Т _m = (T ₁ + T ₂)/2.

С учетом указанных выше ограничений, уравнения (А.8) и (А.10), как правило, используются для получения измеряемых величин теплопроводности однородных непрозрачных веществ при средней температуре Т _m.

Уравнения (А.8) и (А.10) также часто используют для получения из измеряемых величин тепловых характеристик пористых веществ, для которых процессы теплопередачи являются более сложными и могут включать три типа теплопередачи: излучением, теплопроводностью и, иногда, конвекцией. Тепловую характеристику, при измерении которой учтены все виды теплопередачи, допускается называть теплопроводностью (иногда называемой явной, эквивалентной или эффективной теплопроводностью) в том случае, если для однородного пористого вещества она не зависит существенно от геометрических размеров испытываемого образца, а также от излучающей способности поверхностей, которые ограничивают этот образец, и разности температур (Т ₁ - Т ₂).

Если указанные выше условия не выполняются, то поверхностное термическое сопротивление может быть использовано только как характеристика образца с заданными геометрическими размерами, при заданной разности температур (Т ₁ - Т ₂) и заданной излучательной способности ограничивающих образец поверхностей.