Приложение С (справочное). Идентификация распределения

Приложение С
(справочное)

Идентификация распределения

С.1 Общие положения

Иногда вид распределения известен или может быть обоснованно выбран и проверен с помощью критериев согласия. В этом случае на основе выбранного распределения определяют оценки его параметров и используют их для определения соответствующих квантилей, на основе которых оценивают воспроизводимость процесса. Доли единиц продукции, соответствующих и не соответствующих требованиям, могут быть оценены непосредственно.

Метод иллюстрирован на основе некоторых часто применяемых распределений.

С.2 Нормальное распределение

Если Х ₁, ..., X _N - выборка из нормального распределения со средним и дисперсией , оценки и получают по формулам

,

.

Оценки индексов воспроизводимости процесса определяют по следующим формулам настоящего стандарта:

,

,

.

Таким образом,

.

Оценки доли единиц продукции, значения контролируемой характеристики которых менее L и более U, определяют по формулам

,

.

Здесь - функция распределения стандартного нормального распределения.

Фактические вычисления и могут быть выполнены в соответствии с 4.8.

C.3 Логарифмически нормальное распределение

С.3.1 Общие положения

Логарифмически нормальное распределение с параметрами и имеет функцию плотности вероятностей:

,

где X > 0, и ln - знак натурального логарифма, т.е. логарифма по основанию е. Если X имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами и , то lnX подчиняется нормальному распределению со средним и дисперсией .

Если Х ₁, ..., X _N - выборка из логнормального распределения, то данные могут быть преобразованы к нормальному распределению, т.е. к выборке lnX ₁, ..., lnX _N, которая подчиняется нормальному распределению. Тогда могут быть использованы методы в соответствии с С.2. Альтернативно вычисления могут быть сделаны непосредственно на исходных величинах. Эти два метода приведены в С.3.2 и С.3.3. В обоих случаях оценки параметров являются функциями логарифма исходных данных и имеют вид

,

.

С.3.2 Логнормальное распределение. Преобразование к нормальному распределению

Верхнюю и нижнюю границы поля допуска преобразуют в lnU и lnL. Применяют формулы в соответствии с С.2. Оценки , и принимают вид

,

,

.

Для получения оценок доли единиц продукции, не соответствующих требованиям, необходимо оценки и подставить в соответствующие формулы раздела С.2.

С.3.3 Логнормальное распределение. Исходный масштаб

Квантили логнормального распределения имеют вид

,

где - функция, обратная к функции распределения стандартного нормального распределения. В частности,

,

,

,

,

,

.

Оценки, полученные данным методом оценки индексов, отличаются от оценок, полученных методом преобразования (см. С.3.2). Владелец процесса, характеристика единиц продукции которого подчиняется логнормальному распределению, обычно хорошо ориентируется в полученных оценках индексов, но при их интерпретации не следует использовать границы, полученные для данных, подчиняющихся нормальному распределению.

Оценки доли единиц продукции, не соответствующей требованиям, вычисляют, используя границы поля допуска и функцию логнормального распределения. Таким образом,

,

.

Эти оценки точно совпадают с оценками, полученными в соответствии с С.3.2.

С.4 Распределение Рэлея

Это распределение используют обычно для описания положения, эксцентриситета и других параметров в двумерных задачах. В этих ситуациях обычно имеется единственная граница поля допуска U.

Функция распределения Рэлея имеет вид

,

где Х > 0, а - положительный параметр. Если X ₁, ..., X _N - выборка из распределения Рэлея, оценка параметра имеет вид

.

Оценку доли единиц продукции, не соответствующих требованиям, определяют по формуле

.

С.5 Распределение Вейбулла

Это универсальное распределение. Его часто используют при анализе данных, собранных в процессе исследования надежности, когда исследуемые образцы являются неоднородными, а измерения не описываются нормальным распределением. Распределение Вейбулла имеет три параметра:

1) - параметр масштаба;

2) - параметр формы;

3) - параметр положения, который часто равен нулю.

В некоторых случаях при исследовании воспроизводимости процесса, когда данные не подчиняются нормальному распределению, для описания данных и вычисления воспроизводимости или пригодности процесса может быть использовано распределение Вейбулла.

Функция распределения Вейбулла

.

Таким образом, квантили распределения Вейбулла

.

В частности, могут быть вычислены процентили X _0,135%, X _50% и X _99,865%, а затем индексы воспроизводимости процесса. Доли единиц продукции, не удовлетворяющих требованиям:

,

.

Для определения оценок p _L и p _U в эти выражения подставляют оценки параметров распределения.

С.6 Полунормальное распределение

Полунормальное распределение часто используют для описания характеристики, на которую установлены геометрические допуски. Эта ситуация с односторонними требованиями. Их обычно применяют, когда установлены геометрические характеристики, форма и координаты.

Функция плотности вероятности полунормального распределения с параметрами и * имеет вид

,

где 0  Х < .

Полунормальное распределение пропорционально нормальному распределению. Оценки долей распределения могут быть найдены с помощью стандартных таблиц нормального распределения с умножением соответствующего табличного значения на 2.

С.7 Другие распределения

Выше были приведены наиболее часто применяемые распределения. Однако существует много других распределений, которые описаны в справочной литературе по статистике.