Приложение F (справочное). Числовые примеры и кривые

Приложение F
(справочное)

Числовые примеры и кривые

F.1 Общие положения

В данном приложении приведены некоторые численные примеры типовой RBD и установлены соответствующие коэффициент готовности (см. 3.21), вероятность безотказной работы (см. 3.26), условный параметр потока отказов (интенсивность отказов Весела) (см. 3.30) и безусловный параметр потока отказов (частота отказов) (см. 3.31). Приведены кривые, показывающие как эти параметры изменяются во времени.

Аналитические расчеты выполнены с использованием подхода BDD для получения результатов без аппроксимаций.

В пункте F.5 для вычисления коэффициента готовности динамических RBD, включающих несколько функциональных зависимостей, использован подход моделирования Монте-Карло.

F.2 Типовая последовательная структура RBD

F.2.1 Невосстанавливаемые блоки

На рисунке F.1 представлена типовая последовательная RBD, состоящая из трех невосстанавливаемых блоков. В этом случае вероятность безотказной работы и коэффициент готовности блоков равны, то же для системы в целом.

Рисунок F.1 - Коэффициент готовности вероятности безотказной работы типовой невосстанавливаемой последовательной структуры

На левой стороне рисунка представлены вероятность безотказной работы и коэффициент готовности блоков с постоянной интенсивностью отказов (экспоненциальный закон):

- блок B ₁:  = 1,0 х 10 ^-3 ч ^-1;

- блок В ₂:  = 5,0 х 10 ^-4 ч ^-1;

- блок В ₃:  = 2,0 х 10 ^-3 ч ^-1.

На правой стороне рисунка представлены вероятность безотказной работы и коэффициент готовности системы в целом.

На рисунке F.2 показаны интенсивность отказов (t) и частота отказов w(t) невосстанавливаемого объекта с последовательной структурой.

В этом случае интенсивность отказов (Веселя) (t) (условный параметр потока отказов) и интенсивность отказов (t) равны и постоянны. Как и ожидалось (t) = (t) =  +  +  = константа.

Рисунок F.2 - Интенсивность отказов и частота отказов, соответствующие рисунку F.1

Таким образом, система, состоящая из трех блоков, эквивалентна одному блоку С с интенсивностью отказов .

Рисунок F.3 - Эквивалентность невосстанавливаемой последовательной структуры одному блоку

Частота отказов (безусловный параметр потока отказов) уменьшается с увеличением времени t и стремится к 0, когда t стремится в бесконечность. Это связано с тем, что являясь невосстанавливаемой, система может отказать только один раз.

F.2.2 Восстанавливаемые блоки

На рисунке F.4 представлена типовая последовательная RBD, состоящая из трех восстанавливаемых блоков. В этом случае коэффициент готовности и вероятность безотказной работы блоков различны и для блоков, и для системы в целом.

Рисунок F.4 - Коэффициент готовности/вероятность безотказной работы типовой восстанавливаемой последовательной структуры

На левой стороне рисунка показан коэффициент готовности блоков с постоянными интенсивностями отказов и восстановлений:

- блок В ₁:  = 1,0 х 10 ^-3 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1;

- блок В ₂:  = 5,0 х 10 ^-4 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1;

- блок В ₃:  = 2,0 x 10 ^-3 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1.

Коэффициент готовности системы представлен в середине рисунка, а вероятность безотказной работы - на правой стороне рисунка.

Изменение показателей сильно отличается по сравнению с невосстанавливаемым случаем: как показанные на рисунке F.4 коэффициенты готовности блоков (левая сторона), а также коэффициенты готовности системы в целом (середина рисунка) быстро достигают асимптотических значений.

Рисунок F.5 - Интенсивность отказов и частота отказов, соответствующие рисунку F.4

На рисунке F.5 показаны интенсивность отказов (t) и частота отказов w(t) восстанавливаемого объекта с последовательной структурой. График (t) такой же, как и в случае без восстановления, потому что каждый отказ блока вызывает отказ системы в целом и который, с точки зрения вероятности безотказной работы не может быть отремонтирован (см. 10.3.3).

F.3 Типовая параллельная RBD

F.3.1 Невосстанавливаемые блоки

На рисунке F.6 представлена типовая RBD с параллельной структурой, состоящая из трех невосстанавливаемых блоков. В этом случае вероятность безотказной работы и коэффициент готовности блоков равны, то же справедливо для системы в целом.

Рисунок F.6 - Коэффициент готовности и вероятность безотказной работы типовой невосстанавливаемой параллельной структуры

На левой стороне рисунка показаны коэффициент готовности и вероятность безотказной работы блоков с постоянной интенсивностью отказов (экспоненциальный закон).

- блок B ₁:  = 1,0 х 10 ^-2 ч ^-1;

- блок В ₂:  = 5,0 х 10 ^-3 ч ^-1;

- блок В ₃:  = 2,0 х 10 ^-2 ч ^-1.

На правой стороне рисунка показаны коэффициент готовности и вероятность безотказной работы системы в целом.

На рисунке F.7 показаны интенсивность отказов (t) и частота отказов w(t) невосстанавливаемой параллельной структуры. Поскольку коэффициент готовности и вероятность безотказной работы системы совпадают, интенсивность отказов и интенсивность отказов Веселя тоже совпадают: (t) = (t).

Рисунок F.7 - Интенсивность отказов и частота отказов, соответствующие рисунку F.6

Графики сильно отличаются по сравнению с графиками для невосстанавливаемой последовательной структуры:

- для (t) требуется очень продолжительное время, чтобы достичь асимптотического значения, равного значению более низкой интенсивности отказов трех блоков. Это асимптотическое значение достигается, когда блоки с более высокой интенсивностью отказов уже успели отказать. Асимптотическое значение достигается очень медленно и не может быть использовано в качестве аппроксимации интенсивности отказов;

- параметр потока отказов w(t) проходит через максимальное значение, прежде чем уменьшается до нуля.

F.3.2 Восстанавливаемые блоки

На рисунке F.8 представлена типовая RBD с параллельной структурой, состоящей из трех восстанавливаемых блоков. В этом случае вероятность безотказной работы и коэффициент готовности блоков различны, то же справедливо для системы в целом.

Рисунок F.8 - Коэффициент готовности и вероятность безотказной работы типовой восстанавливаемой параллельной структуры

На левой стороне рисунка приведены коэффициенты готовности блоков с постоянными интенсивностями отказов и восстановлений:

- блок В ₁:  = 1,0 х 10 ^-2 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1;

- блок В ₂:  = 5,0 х 10 ^-3 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1;

- блок В ₃:  = 2,0 х 10 ^-2 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1.

Коэффициент готовности системы приведен в середине рисунка, а вероятность безотказной работы - на правой стороне рисунка.

Графики сильно отличаются по сравнению с графиками для невосстанавливаемых блоков, как показано на рисунке F.8, коэффициент готовности блоков (левая сторона), а также коэффициент готовности системы в целом (середина рисунка) быстро достигают асимптотических значений.

На рисунке F.9 приведены интенсивность отказов Веселя (условный параметр потока отказов) (t) и частота отказов w(t) восстанавливаемой параллельной структуры.

Рисунок F.9 - Интенсивность отказов Веселя и частота отказов, соответствующие рисунку F.8

Графики восстанавливаемого и невосстанавливаемого случаев параллельной структуры сильно отличаются:

- (t) очень быстро достигает асимптотического значения. В этом случае она становится постоянной после трех или четырех MTTR (от 30 ч до 40 ч), это асимптотическое значение может быть использовано в качестве постоянной частоты отказов при расчете вероятности безотказной работы системы;

- параметр потока отказов w(t) также очень быстро достигает асимптотического значения, которое может быть использовано для расчета средней частоты отказов системы.

F.4 RBD сложной структуры

F.4.1 RBD с непоследовательно-параллельной структурой

На рисунке F.10 приведена RBD с общим блоком, введенным в 7.5.2. Это структура не может быть сведена к простым последовательным или параллельным структурам.

Рисунок F.10 - Пример 1 из 7.5.2

На левой стороне рисунка и в середине рисунка приведены коэффициент готовности блоков с постоянными интенсивностями отказов и восстановлений

- блоки В ₁ и В ₂:  = 1,0 x 10 ^-4 ч ^-1,  = 0,014 ч ^-1;

- блоки С ₁ и С ₂:  = 5,0 x 10 ^-5 ч ^-1,  = 0,014 ч ^-1;

- блок А:  = 1,0 х 10 ^-5 ч ^-1,  = 3,0 x 10 ^-3 ч ^-1, = 0,5.

Блоки являются обычными восстанавливаемыми блоками, но интенсивность восстановления блока А меньше, чем у других и этот блок также имеет вероятность работоспособного состояния в момент времени t = 0, равную 0,5. В результате, как показано на рисунке F.10, график коэффициента готовности этого блока отличается от графиков коэффициентов готовности других блоков.

Графики коэффициента готовности и вероятности безотказной работы системы приведены на правой стороне рисунка. Под влиянием блока А коэффициент готовности снижается до минимума, прежде чем достичь асимптотического значения. Этот минимум соответствует MTTR блока А.

График вероятности безотказной работы обычный.

Рисунок F.11 - Интенсивность отказов и частота отказов, соответствующие рисунку F.10

На рисунке 11 показана интенсивность отказов Веселя (условный параметр потока отказов) (t) и частота отказов w(t) системы, представленной на рисунке F.10. Форма графиков этих параметров связана с блоком A: (t), также как w(t) достигают максимального значения до того, как достигают асимптотического значения.

F.4.2 Сходимость к асимптотическим значениям в зависимости от MTTR

Коэффициент готовности и эквивалентная интенсивность отказов для RBD, показанной на рисунке F.12, рассчитаны с четырьмя различными постоянными интенсивностями восстановления для того, чтобы показать влияние MTTR на скорость сходимости к асимптотическим значениям.

Блоки с RBD, представленной на рисунке F.12, имеют постоянные интенсивности отказов и восстановлений. Следовательно, к ним применим марковский подход, и поэтому коэффициент готовности системы и условный показатель потока отказов (интенсивность отказов Веселя) сходятся к асимптотическому значению.

Рисунок F.12 - Влияние MTTR на скорость сходимости

На рисунке F.12 четко видно, что скорость сходимости увеличивается при уменьшении MTTR. Затем, если систему быстро восстанавливают, она ведет себя так, как если бы она имела:

- постоянные вероятности успеха или отказа при вычислении коэффициентов готовности и неготовности;

- постоянную интенсивность отказов при вычислении вероятности безотказной работы.

F.4.3 Система с периодически проверяемыми компонентами

На рисунке F.13 показана та же RBD, что и выше, но с периодически проверяемыми компонентами.

Рисунок F.13 - Система с периодически проверяемыми блоками

На левой стороне и в середине рисунка приведены коэффициенты готовности периодически проверяемых блоков, они смоделированы для следующих интервалов между проверками и постоянных интенсивностей отказов и восстановлений:

- блоки В ₁ и В ²:  = 1,0 х 10 ^-4 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1,  = 2 160 ч;

- блоки С ₁ и С ₂:  = 5,0 x 10 ^-5 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1,  = 2 160 ч;

- блок А:  = 8,0 х 10 ^-5 ч ^-1,  = 0,1 ч ^-1,  = 2 160 ч.

Коэффициент готовности блоков - это кривые в форме зубьев пилы, и то же самое для коэффициента готовности системы в правой стороне рисунка.

Интервалы между проверками формируют особый вид кривой вероятности безотказной работы системы, приведенной в правой стороне рисунка F.13. Это все еще не возрастающая функция.

Такие RBD обычно встречаются при работе с функциональной безопасностью инструментальных систем безопасности, в которых некоторые опасные отказы обнаруживают при периодических проверках. Средний коэффициент неготовности этих систем обозначают PFD _avg (см. 3.24 и МЭК 61508 [5]).

На рисунке F.14 показаны интенсивности отказов Веселя и частота отказов системы с периодическими проверками компонентов.

Рисунок F.14 - Интенсивность отказов и частота отказов, соответствующие рисунку F.13

F.5 Пример динамической RBD

F.5.1 Сопоставление аналитических результатов и результатов моделирования Монте-Карло

На рисунке F.15 показана небольшая параллельно-последовательная RBD, состоящая из четырех аналогичных блоков с одинаковыми интенсивностями отказов и восстановлений:  = 1,0 x 10 ^-3 ч ^-1,  = 0,01 ч ^-1.

Рисунок F.15 - Аналитические результаты и результаты моделирования Монте-Карло

Результаты, полученные с помощью классических аналитических расчетов на основе подхода BDD показаны в левой части рисунка F.15, а результаты, полученные с помощью моделирования методом Монте-Карло, показаны в правой стороне рисунка.

Результаты Монте-Карло были получены приблизительно за 10 с на обычном портативном компьютере, было смоделировано 50000 вариантов. Конечно, аналитическая кривая более гладкая, чем кривая, полученная методом Монте-Карло, но форма кривых одна и та же, и обе кривые обеспечивают одинаковое значение среднего коэффициента готовности 0,973 9 за 1000 ч и сходимость к одному и тому же асимптотическому значению 0,97.

F.5.2 Пример динамической RBD

Несколько динамических зависимостей добавлено к предыдущей RBD, представленной в F.5.1, чтобы показать, какое влияние они могут оказать на результаты:

- отказы по общей причине на В1 и В3, и отказы по общей причине на В2 и В4

;

- единственная ремонтная бригада;

- единственная ремонтная бригада, и отказы по общей причине.

Рисунок F.16 - Влияние CCF и ограниченного количества ремонтных бригад

На рисунке F.16 четко показано, что воздействие не является незначительным и более подробно проанализировано в таблице F.1.

Таблица F.1 - Влияние функциональных зависимостей

Структура	Коэффициент готовности системы		Коэффициент неготовности системы
	A avg(1000)	A as	U avg(1000)	U as
Отсутствие функциональных зависимостей	9,74 х 10 -1	9,71 х 10 -1	2,6 х 10 -2	2,9 х 10 -2
Наличие CCF	9,63 х 10 -1	9,59 х 10 -1	3,7 х 10 -2	4,1 х 10 -2
Единственная ремонтная бригада	9,47 х 10 -1	9,32 х 10 -1	5,4 х 10 -2	6,8 х 10 -2
Наличие CCF и единственной ремонтной бригады	9,26 х 10 -1	9,06 х 10 -1	7,4 х 10 -2	9,4 х 10 -2

Эффект более заметен, когда речь идет не о коэффициенте готовности, а о коэффициенте неготовности. Например, для асимптотических коэффициентов неготовности интенсивности равны:

- для отказа по общей причине: 140 %;

- для единственной ремонтной бригады: 234 %;

- для обеих: 323 %.

Таким образом, предположение о наличии такого количества ремонтных бригад, сколько блоков в системе оказывает влияние и не обеспечивает получение заниженных (гарантированных) оценок. Воздействие возрастает:

а) при увеличении интенсивностей отказов блоков (вероятность наличия нескольких отказов одновременно увеличивается);

b) при увеличении MTTR (вероятность отказа одного блока при ремонте другого блока возрастает);

c) при повышении порядка преобладающих минимальных наборов обрывов.

Если вероятность безотказной работы блоков очень высока, a MTTR мала, ситуации а) и b) имеют очень ограниченное влияние. Основная проблема связана с ситуацией с).

Рисунок F.17 - Графы Маркова, моделирующие влияние количества ремонтных бригад

Пусть RBD состоит из двух одинаковых блоков В1 и В2 с одинаковыми интенсивностями отказов и восстановлений (, ). На рисунке F.17 показаны графы Маркова, построенные при наличии двух ремонтных бригад (верхний) и одной ремонтной бригады (нижний). Эти графы Маркова имеют три состояния:

- 2В: 2 блока находятся в работоспособном состоянии;

- 1В: 1 блок находится в работоспособном состоянии и 1 блок - в неработоспособном состоянии;

- 0В: 2 блока находятся в неработоспособном состоянии (0 блоков в работоспособном состоянии).

Система отказывает при отказе В1 и В2 (состояние 0В). Продолжительность пребывания системы в этом состоянии:

- 1  = MTTR при наличии только одной ремонтной бригады;

- 1/2 = 2 х MTTR при наличии нескольких ремонтных бригад.

При наличии единственной ремонтной бригады, среднее время восстановления системы в два раза больше среднего времени восстановления системы, при наличии нескольких ремонтных бригад. Поэтому наличие единственной ремонтной бригады, подход обеспечивающий гарантированные оценки, должен заключаться в использовании MTTR вдвое большего, чем при наличии нескольких ремонтных бригад. Это показано на рисунке F.18, где граф Маркова справа (две ремонтные бригады с интенсивностью восстановления u = /2) является аппроксимацией графа Маркова слева (единственная ремонтная бригада с интенсивностью ремонта ). Таким образом, MTTR каждого блока с правой стороны умножена на два.

Рисунок F.18 - Аппроксимация для двух резервированных блоков

Такой подход является гарантированным (дает заниженные оценки коэффициента готовности), поскольку среднее время пребывания в состоянии 1В умножено на два. Тем не менее, даже в этом простом случае подход дает слишком заниженные оценки. Кроме того данный подход трудно применять для более крупных и более сложных RBD, для них лучше использовать, например RBD-управляемую PN (см. приложение Е) и моделирование Монте-Карло, которые теперь могут быть выполнены на простых портативных компьютерах.