Приложение А (справочное). Проверка монотонности полинома

Приложение А
(справочное)

Проверка монотонности полинома

Рассмотрим полином p _n(х)  P _n(t), пригодность которого в качестве калибровочной функции рассмотрена в 7.6. Первая производная Q _n-1(t, b)  P' _n(t, а) от P _n(t, а) может быть представлена в виде ряда Чебышева:

.

(А.1)

b _r получены из а _r использованием рекуррентного соотношения (см. [6], с. 11)

.

(А.2)

Для р _n(х, а) монотонного в [x _min, x _max] или, что эквивалентно, для P _n(t, а), монотонного в [-1,1], Q _n-1(t, b) не должна иметь нулевые значения в этом интервале. Нули полинома Q _n-1(t, b) являются собственными значениями коллегиальной матрицы (см. [31], с. 134) размерности (n - 1) x (n - 1), в которой все остальные члены равны нулю:

.

(А.3)

Эта матрица может быть составлена непосредственно, для получения ее собственных значений, которые затем могут быть проверены на принадлежность интервалу [-1,1], и (в этом случае соответствующий полином является подходящим) может быть использовано стандартное программное обеспечение. До применения статистического критерия в соответствии с 7.7 полином-кандидат, который не является монотонным на интервале [-1,1], как правило, должен быть признан неподходящим и не должен далее рассматриваться. Исключением является ситуация, когда полученный полином является полиномом коррекции для увеличения опорной функции и получения монотонной калибровочной функции (7.6).