Приложение Е (справочное). Подбор модели степенного закона по данным ближнего поля сердцевины ОВ категории А1

Приложение Е
(справочное)

Подбор модели степенного закона по данным ближнего поля сердцевины ОВ категории А1

Е.1 Вводные замечания

В приложении Е изложена методология подбора профиля степенного закона по исходным данным ближнего поля сердцевины ОВ категории А1. Данные, полученные при преломлении и распределении света в ближнем поле, могут быть обработаны при использовании данного метода. Диаметр сердцевины, центр сердцевины (с ограничениями) и -экспонента степенного закона могут быть определены с использованием данной методики аппроксимации. Для успешной аппроксимации обычно требуется выполнение этапов предварительной подготовки, которые приведены в разделе Е.2. В разделе Е.3 представлено подробное описание методологии аппроксимации.

Е.2 Данные, используемые при предварительной подготовке к аппроксимации

Е.2.1 Мотивация

Для процесса аппроксимации, описанного в разделе Е.3, требуются массивы данных, которые удовлетворяют двум условиям: массив данных должен быть односторонним (существовать только в положительном радиусе) и иметь базовый уровень при нулевой интенсивности (нулевая интенсивность за пределами области сердцевины). Двухмерные данные, приведенные в приложении А и полученные в результате применения метода растрового сканирования, а также данные в приложении В, полученные в результате применения метода шкалы серого цвета, могут быть подвергнуты предварительной обработке аналогично тому, как указано в Е.2.2. К одномерным данным, полученным в результате применения метода А или В, предъявляют требования по предварительной обработке, как указано в Е.2.3.

Е.2.2 Преобразование двухмерного изображения в одномерное радиальное ближнее поле

Е.2.2.1 Условия использования

Данный метод обработки применяют для преобразования двухмерного изображения сердцевины ОВ категории А1 в одномерный массив данных, по которому затем может быть подобран профиль степенного закона, как указано в разделе Е.3. Как правило, эти изображения являются видеоизображениями с градацией серого цвета, полученными с использованием метода распределения света в ближнем поле с градацией серого цвета, описанного в приложении В. Растровые изображения, полученные с использованием метода преломления в ближнем поле, приведенного в приложении А, также могут быть обработаны с помощью данного метода.

Е.2.2.2 Интересующая область (по выбору)

Часто исходное растровое сканирование или изображение содержит участки, лежащие за пределами сердцевины и включающие окружающую оболочку и освещенное поле для изображения с градацией серого цвета. При уменьшении изображения до одномерного профиля ближнего поля эти участки могут влиять на процесс аппроксимации, описанный в разделе Е.3. Следовательно, рекомендуется извлекать из исходного изображения квадратный участок, который окружает сердцевину и будет использован в оставшейся части алгоритма. Так как при вычитании базового уровня согласно разделу Е.3 применяют радиальный размер, в 1,2 раза превышающий номинальный радиальный размер сердцевины, рекомендуется извлечение и использование только этой области. Затем это извлеченное изображение подлежит обработке.

Если изображение определенной области извлекают из исходного изображения, то N _Row, N _col и I изменятся. В оставшейся части данного приложения эта тонкость проигнорирована для краткости изложения.

Е.2.2.3 Центроид (центр тяжести фигуры)

Используя изображение, центр ближнего поля рассчитывают путем независимого нахождения центра тяжести каждой оси прямоугольной системы координат. Для нахождения центроида сначала находят Р _max и P _min, соответствующие интенсивности наиболее яркого и наиболее тусклого пикселя в полном изображении центроида, и затем рассчитывают порог Т по формуле

.

(Е.1)

Затем проводят следующие три суммирования значений интенсивности всех пикселей, за исключением пикселей и интенсивностей меньше Т по ряду и столбцу с индексами r и с:

.

(Е.2)

Рассчитывают центроид Х ₀, Y ₀:

.

(Е.3)

Примечание - Если в сравнении с Р _max величина P _min значительна (т.е. когда оболочка освещается), то центроид может быть смещен, если изображение сердцевины не центрировано на общем изображении. В этих случаях оценочное значение центроида будет более точным, если P _min (или иное оценочное значение базового уровня или основания, на котором располагается изображение сердцевины) вычитают из изображения перед расчетом центроида.

Е.2.2.4 Расчет функций радиальных данных

На этапе расчета происходит сокращение двухмерных данных пикселей до одномерной радиальной функции путем усреднения пикселей в группах, вложенных и перекрывающихся круговых колец (с центром в точке с координатами Х ₀, Y ₀), шириной 2W (где W равно 0,2 мм, если не указано иное), центрированных по оптическому центру ОВ, Х ₀, Y ₀, как указано в Е.2.2.3. Шаг колец равен W микрометров, хотя радиальная координата кольца в результирующих функциях радиальных данных будет представлять собой радиальный центроид радиальных координат пикселей кольца.

На рисунке Е.1 показан принцип фильтрации. Элементы квадратной сетки представляют пиксели изображения. Показаны два кольца, центрированные в оптическом центре с координатами Х ₀, Y ₀, внешнее кольцо имеет вертикальную штриховку, а внутреннее кольцо - горизонтальную штриховку. Каждое кольцо имеет ширину 2W, ширина области перекрытия колец равна W. Область перекрытия обозначена перекрестной штриховкой. Пиксели серого цвета являются пикселями, отнесенными после усреднения к внешнему кольцу, т.к. их центры попадают внутрь границы внешнего кольца.

Рисунок Е.1 - Принцип фильтрации

Для расчета радиальных функций используют следующие этапы:

а) определяют максимальный радиус полного кольца. На этом этапе подбирают наибольшее кольцо, аппроксимирующее изображение, при этом кольцо не должно обрезать границы изображения. Рассчитывают наименьшее расстояние от центра до края изображения по формуле

;

(E.4)

,

где min означает минимальное из четырех расстояний. Затем рассчитывают число колец N _R по формуле

;

(Е.5)

b) данные распределяют по трем массивам суммирования и упорядочивают их в этих массивах, начиная отсчет от нуля: S _R (0 ... N _R), S _I (0 ... N _R), S _N (0 ... N _R).

Для каждого пикселя (по ряду r и столбцу с) проводят следующие действия:

c) рассчитывают радиальную координату:

;

(Е.6)

d) рассчитывают кольцевой индекс i:

;

(Е.7)

e) если i меньше или равно N _R, тогда суммирование проводят в обоих кольцах, i и i - 1:

;

(E.8)

.

(E.9)

Указанное выше двойное суммирование обеспечивает более сглаженную область перекрытия двух колец;

f) наконец, рассчитывают пару параметрической функции (где i является параметром) для каждого кольца путем расчета среднего радиуса и средней интенсивности в каждом кольце по формуле

.

(Е.10)

В зависимости от разрешающей способности камеры и выбранной толщины кольца возможно, что некоторые внутренние кольца не будут содержать пикселей, и соответствующие значения S _N будут равны 0. В этом случае кольцо не учитывают, последующие элементы массива сдвигают, и N _R уменьшается. Также возможно, что два или более соседних кольца будут иметь одинаковые значения (совпадающие в пределах 0,01 мм), поэтому значения радиуса и интенсивности в таких соседних кольцах усредняют и заменяют одним кольцом с усредненным радиусом и усредненной интенсивностью, в итоге N _R должно уменьшиться соответствующим образом.

Е.2.3 Предварительная подготовка одномерных данных в ближнем поле

Е.2.3.1 Общие положения

Одномерные данные в ближнем поле для сердцевины ОВ категории А1 могут быть измерены при помощи одиночного линейного сканирования методом преломления в ближнем поле, механического сканирования методом распределения света в ближнем поле или отдельных видеолиний методом распределения света в ближнем поле с градацией серого цвета. Как правило, данные этой формы имеют левую и правую стороны, т.е. на линии по очереди следуют данные интенсивности, отрицательный и положительный радиусы. В процессе аппроксимации, описанном в разделе Е.3, может быть использован только положительный радиус для определения положения, в котором R = 0 необходимо для определения центра данных. После установления центра может быть проведено повторное центрирование радиальных положений. Затем данные свертывают вокруг центра (перемещая данные левой стороны в правую сторону, используя отражение) или данные одной стороны извлекают из массива для отдельной обработки. В общем случае предпочтение отдается свертыванию данных. На рисунке Е.2 приведена типовая линия на видеоизображении, иллюстрирующая предварительную подготовку данных в ближнем поле.

Входными данными является N-е число пар , .

Е.2.3.2 Определение центра

Используя изображение, центр ближнего поля рассчитывают путем нахождения центра тяжести измеренного профиля радиуса сердцевины. Для нахождения центроида сначала находят Р _max и P _min, соответственно наибольшую и наименьшую интенсивности измеренного профиля, и затем рассчитывают пороговое значение T по формуле

.

(Е.11)

Рисунок Е.2 - Иллюстрация предварительной подготовки одномерных данных в ближнем поле, типовая линия на видеоизображении

Затем проводят следующие суммирования по всему профилю, за исключением данных профиля с интенсивностями менее Т.

.

(Е.12)

Рассчитывают центроид по формуле

.

(Е.13)

Примечание - Если в сравнении с Р _max величина P _min значительна (т.е. когда оболочка освещается), то центроид может быть смещен, если изображение сердцевины не центрировано на общем изображении. В этих случаях оценочное значение центроида будет более точным, если P _min (или иное оценочное значение базового уровня или основания, на котором располагается изображение сердцевины) вычитается из изображения перед расчетом центроида.

Е.2.3.3 Свертывание профиля

После нахождения центра свертывание профиля тривиально:

,

(Е.14)

где прямые скобки обозначают абсолютное значение. После свертывания данных целесообразно упорядочить массивы данных по возрастанию R для того, чтобы не усложнять оставшуюся часть алгоритма аппроксимации.

Е.2.4 Вычитание базисного уровня

Как правило, после расчета радиальных функций функция за пределами области сердцевины имеет ненулевые значения и принимается за базисный уровень или В. Это значение базисного уровня В может быть приписано темному видеосигналу, освещению оболочки, ненулевому показателю преломления оболочки или другим факторам. Для соответствующей подготовки данных для аппроксимации, как указано в разделе Е.3, этот базисный уровень должен вычитаться. Один из подходов заключается в расчете В как среднего значения в диапазоне значений радиуса от 0,575 до 0,600 номинального значения диаметра сердцевины.

Вычитают значения базисного уровня из Т:

.

(Е.15)

Если значение В прогнозируется равным 0, например: когда усилитель-прерыватель используют для демодуляции модулированного сигнала от одномерного механического сканирования ближнего поля, то допустимо принимать В равным 0.

Е.3 Аппроксимация функции степенного закона для профиля ближнего поля ОВ категории А1

Данные ближнего поля, прошедшие подготовку, как указано в разделе Е.2, аппроксимируются следующей моделью степенного закона:

,

(Е.16)

где I ₀ - это максимальная интенсивность, соответствующая модели с наилучшей аппроксимацией;

- коэффициент формы кривой степенного закона;

а - наиболее точно подобранный радиус сердцевины.

Данная модель подгоняется под массивы данных R и I с использованием критерия наименьших квадратов путем минимизации S:

,

(Е.17)

где i ₁₀ и i ₈₀ - показатели, определяющие массивы данных, для которых I лежит между 10 % и 80 % от максимального значения I соответственно. Существует две причины ограничения области аппроксимации: первая, граница 80 %, исключает возможность аномалий вблизи центра сердцевины; вторая, граница 10 %, - хвостовую часть этих профилей, которые не имеют четкого соответствия модели вследствие рассеяния и особенностей конструкции.

При использовании уравнения (Е.17) в том виде, в каком оно приведено, массив данных должен быть сформирован путем увеличения R и игнорирования данных в непосредственной близости от сердцевины, которые подпадают под границу 80 %.

Минимизация S в уравнении (Е.17) требует применения методик решения нелинейных уравнений, однако следует отметить, что параметры аппроксимации I ₀, и а взаимосвязаны. С помощью обычных способов решения нелинейных уравнений найти решение для указанного массива данных невозможно, поэтому необходимо применение специальных методик. Сначала, объединяя условия, уравнение (Е.16) преобразуется к следующему виду:

,

где

.

(Е.18)

Уравнение (Е.17) можно переписать в следующем виде:

.

(Е.19)

S принимает минимальное значение в том случае, когда:

.

(Е.20)

Объединяя первые две производные и решая производные для I ₀ и К, определяют:

.

(Е.21)

Исходя из уравнения (Е.21) следует, что для любого значения I ₀ и К можно определить путем прямого вычисления. Следовательно, посредством уравнения (Е.21) можно уменьшить трехпараметрическую нелинейную минимизацию уравнения (Е.17) до однопараметрической минимизации уравнения (Е.19). Затем процесс решения данной системы заключается в решении уравнения (Е.18) с помощью решающего средства для одномерных нелинейных массивов данных (т.е. метода Ньютона) для известного значения , при этом кернфункция, использующая первое уравнение (Е.21) для расчета I ₀ и К и затем позволяющая получить уравнение (Е.19), является функцией, которую необходимо минимизировать.

После нахождения решения диаметр сердцевины определяют как удвоенное значение а, которое рассчитывают на основании значения К, используя уравнение (Е.18).