Приложение В (обязательное). Виды испытаний и обозначения

Приложение В
(обязательное)

Виды испытаний и обозначения

Испытания подразделяют на три вида:

по критерию Кохрена,

по критерию Хокинса;

F - испытание (испытание отношения дисперсий).

В настоящем стандарте используют следующие обозначения:

S - число проб;

L - число лабораторий;

i - индекс, обозначающий порядковый номер лаборатории;

j - индекс, обозначающий порядковый номер пробы;

х - результат отдельного испытания;

а - сумма результатов, полученных при дублировании испытаний, т. е. при повторных испытаниях, выполняемых практически без перерыва;

е - разность результатов, полученных при дублировании испытаний, т. е. при повторых испытаниях, выполняемых практически без перерыва;

ню - число степеней свободы.

Форма записи результатов испытаний приведена в таблицах В.1 и В.2.

Таблица В. 1 - Результаты, полученные при дублировании испытаний в каждой из L лабораторий на S пробах, и средние значения, соответствующие этим пробам, m_j

Обозначение лаборатории	Значение для пробы
	1	2	j	S
1	x_111 x_112	x_121 x_122	x_1j1 x_1j2	x_1S1 x_1S2
2	x_211 x_212	x_221 x_222	x_2j1 x_2j2	x_2S1 x_2S2
i	x_i11 x_i12	x_i21 x_i22	x_ij1 x_ij2	x_iS1 x_iS2
L	x_L11 x_L12	x_L21 x_L22	x_Lj1 x_Lj2	x_LS1 x_LS2
Сумма	g_1	g_2	g_j	g_S
Среднее значение	m_1	m_2	m_j	m_S
Примечание - Если необходимо преобразование исходных данных типа у = F (х) по 4.1, то используют символы у_ij1 и y_ij2 вместо х_ij1 и х_ij2.

Форма заполнения приведена в таблице В.2.

Таблица В.2 - Суммы результатов, полученные при дублировании испытаний, итоги по лабораториям h_j и итоги по пробам g_j

Обозначение лаборатории	Значение для пробы
	1	2	J	S	Сумма
1	a_11	a_12	a_1j	a_1S	h_1
2	a_21	а_22	a_2j	a_2S	h_2
i	a_i1	a_i2	a_ij	a_iS	h_i
L	a_L1	a_L2	a_Lj	a_LS	h_L
Сумма	g_1	g_2	g_j	g_S	T

а_ij = х_ij1 + х_ij2 (или a_ij = y_ij1 + у_ij2, если используют преобразование).

е_ij = х_ij1 - х_ij2 (или e_ij = y_ij1 - y_ij2, если используют преобразование).

Если в заполненной таблице отсутствуют какие-либо результаты, то делитель в выражении для m_j уменьшают соответствующим образом.

В.1 Суммы квадратов и дисперсии (4.1)

Дисперсия дублей (повторных испытаний) d_j(2) для j-й пробы

Дисперсия значений, средних по ячейкам C_j(2) для j-й пробы равна

Лабораторная дисперсия D_j(2) для j-й пробы, т. е. дисперсия результатов, которые приписывают отдельной лаборатории, для j-й пробы равна

Число степеней свободы лабораторной дисперсии для j-й пробы приближенно определяют с помощью выражения [6]

ню_j округляют до ближайшего целого числа.

Если любой или оба результата в паре для ij-й ячейки потеряны, то коэффициент L уменьшают на единицу.

Если оба результата в паре для ij-й ячейки потеряны, то коэффициент (L - 1) уменьшают на единицу.

В.2 Испытание по критерию Кохрена

Наибольшая сумма квадратов SS_k, плохо согласующаяся с серией из n взаимно независимых сумм квадратов, каждая из которых основана на ню степенях свободы, может быть испытана на однородность согласно выражению

Экспериментальное значение полученного отношения не изменится, если суммы квадратов заменяют средними квадратами (оценками дисперсии). Если вычисленное значение отношения превосходит критическое значение, приведенное в таблице Г.3, то сумма квадратов SS_k значимо превосходит другие суммы с доверительной вероятностью 99%. Примеры использования SS_i, относятся к значениям е_ij(2) и d_j(2) по формуле (В.1).

В.3 Испытание по критерию Хокинса

В.3.1 Экстремальное значение в серии данных может быть испытано как аномальное (выпадающее) сравнением его отклонения от среднего значения серии данных, деленного на квадратный корень из суммы квадратов всех таких отклонений, т. е. статистика для испытания имеет форму отношения. Дополнительную информацию об изменчивости можно обеспечить, включая в расчеты независимые суммы квадратов. Они будут основаны на ню степенях свободы и будут иметь ту же дисперсию генеральной совокупности, что и дисперсия серии данных, о которых идет речь.

В таблице В.3 приведены обозначения, которые требуются для применения испытания по критерию Хокинса к отдельным пробам.

Таблица В.3

Наименование параметра	Значения для пробы
	1	2	j	S
Число ячеек Среднее значение по пробе Сумма квадратов	n_1 m_1 SS_1	n_2 m_2 SS_2	n_j m_j SS_j	n_S m_S SS_S
Обозначения: n_j - число ячеек по j-й пробе, которые содержат не менее одного незабракованного результата; m_j - среднее значение по j-й пробе; SS_j - сумма квадратов отклонений средних значений по ячейкам а_ij/n_ij относительно среднего значения по пробе m_j, выраженная формулой SS_j = (L - 1) C_j(2). (см. приложение В.1)

Выражение (L - 1) представляет число степеней свободы дисперсии средних значений по ячейкам. Значение (L - 1) следует уменьшать на' единицу для каждой ячейки по j-й пробе, которая не содержит результат испытания.

Процедура испытания состоит в следующем:

а) определяют пробу к и среднее значение по ячейке а_ik/n_ik, которое имеет наибольшее экстремальное абсолютное отклонение [m_k - a_ik / n_ik]. Опознанная таким образом ячейка становится кандидатом в испытании на выявление аномального значения независимо от того, является ли отклонение самым большим или самым малым;

б) рассчитывают общую сумму квадратов отклонений

в) рассчитывают экспериментальное значение отношения

г) сравнивают экспериментальное значение отношения с критическим значением из таблицы Г.4 в приложении Г для n = n_k и числа степеней свободы ню, дополнительного к n_k,

д) если B* превышает критическое значение, то отбрасывают результаты, принадлежащие рассматриваемой ячейке (проба к, лаборатория i). Затем значения n_k, m_k и SS_k пересчитывают соответствующим образом и процедуру испытания повторяют, начиная с перечисления а).

Примечание - Теоретически испытание по Хокинсу применяют для обнаружения только одной выпадающей лаборатории по какой-либо пробе. Методика повторных испытаний для единичного аномального результата, начиная с максимального отклонения от среднего по пробе, подразумевает, что критические значения в таблице Г.4 не будут точно соответствовать 1%-ному уровню значимости. Тем не менее, как было показано Хокинсом, если n >= 5 и общее число степеней свободы (n + ню) превышает 20, то этот эффект становится пренебрежимо малым, так как выявляются эффекты маскировки (один аномальный результат скрывает другой) и "завала" (отбрасывание одного аномального результата ведет к отбрасыванию других).

В.3.2 Если испытание применяют к лабораториям, результаты которых усреднены по всем пробам, таблицу В.3 сокращают до одной колонки, содержащей

n = число лабораторий = L;

m = общее среднее = T/N,

где N- общее число результатов в таблице;

SS - сумма квадратов отклонений лабораторных средних от общего среднего, выражают формулой

Таким образом, с помощью такой процедуры определяют лабораторное среднее h_i/n_i, которое больше всего отличается от общего среднего m. В этом случае соответствующее отношение для испытания принимает вид

Как указано выше, экспериментальное значение следует сравнить с критическим значением из таблицы Г.4, причем в этом случае дополнительные числа степеней свободы v'= 0. Если лабораторию отбрасывают как выпадающую, то значения n, m и SS пересчитывают соответствующим образом и повторяют вычисления.

В.4 Испытание отношения дисперсий (F-испытание)

Оценку дисперсии V_1, основанную на ню_1 степенях свободы, можно сравнивать со второй оценкой V_2, основанной на ню_2 степенях свободы, путем вычисления отношения

Если экспериментальное значение отношения превышает соответствующее критическое значение, приведенное в таблицах Г.6.1 - Г.6.4, где ню_1 относится к числителю (к наибольшей из оценок дисперсии), a ню_2 относится к знаменателю, то V_1 значительно превышает V_2 на выбранном уровне значимости.