Сколько стоят капризы погоды (А. Гинсбург, В. Ольхов, "Риск-менеджмент", N 1-4, январь-апрель 2008 г.)

Сколько стоят капризы погоды

Колебания относительно среднесезонной температуры вызывают изменение потребительского спроса на энергию для отопления или охлаждения зданий. Это приводит к изменению запасов топлива в масштабах региона или экономики в целом. Данные о запасах нефти в США являются знаковыми для динамики цен на нефть на мировых рынках. Колебания цен на нефть, вызванные сообщениями о росте/падении запасов в США, распространяются на рынки других энергоносителей, в первую очередь на рынки газа, и в меньшей степени - угля. Сильные ценовые колебания рынков нефти отражаются на крупнейших фондовых площадках, кросс-курсах валют.

Погодные риски

Экономический ущерб, связанный с погодными рисками, весьма значителен. Вот только несколько фактов. 28 июня 2007 года в Нью-Йорке, по сообщению Associated Press, произошло масштабное отключение электричества. Возможно, к отключению привело попадание молнии в одну из электроподстанций. По другой версии причиной аварии могла стать жаркая погода, которая привела к перегреву линий электропередачи. В дневное время отметка термометра в Нью-Йорке достигала +40 ?С. Около часа более полумиллиона жителей Манхэттена, Бронкса и других районов оказались без света. Отключение электричества стало причиной остановки работы нескольких линий метро, а также нарушило дорожное сообщение.

Еще один случай: крупнейший по обороту мировой ретейлер Wal-Mart в апреле 2007 года зарегистрировал худшие месячные продажи в США за последние 27 лет - их объем упал на 3,5% по сравнению с тем же периодом 2006 года. Руководство компании винит в провале необычно холодную погоду, установившуюся в разгар весны почти во всех штатах. Например, в Нью-Йорке температура в начале апреля не поднималась выше +3 ?С вместо обычных для этого времени + 10 ?С. Замерзшие американцы не покупали завезенный в магазины летний ассортимент.

Российские сети одежды пострадали от плюсовых температур в январе. В торговом доме, владеющем обувным брендом Ralf Ringer, по итогам зимы 2007 года сезонные остатки на складах составили 20-25% от общего объема обуви - в два раза больше нормы. Крупнейшие убытки понес "Газпром". Согласно мониторингу социально-экономического развития, подготовленному МЭРТ, за первые шесть месяцев 2007 года из-за теплой зимы в Европе "Газпром" экспортировал существенно меньше газа, чем ожидалось. По данным Минпромэнерго, экспорт газа в первом полугодии 2007 года составил всего 93,5 млрд куб. м, или 88,1% от экспорта за аналогичный период прошлого года. Причем поставки в дальнее зарубежье, приносящие монополии большую часть доходов, снизились до 72,7 млрд куб. м, или на 14,8% по сравнению с 2006 годом. Представитель "Газпрома" объясняет это "аномально теплой зимой". По оценкам экспертов, монополия недобрала более $3 млрд выручки.

Рынок погодных деривативов

Одним из основных инструментов хеджирования (страхования) рисков, связанных с ущербом от резкого изменения сезонных погодных условий, является рынок погодных деривативов.

Деривативы - производные финансовые инструменты, действующие над базовым активом - ценной бумагой (акцией, облигацией, финансовым или торговым контрактом), были созданы для управления рисками, связанными с колебаниями цен базовых активов. Естественным развитием производных инструментов стала организация торговли деривативами на "погоду". По оценкам CME - Чикагской товарной биржи, на которой с 1997 года действует сектор погодных производных инструментов, - около 20% американской экономики напрямую зависит от колебаний погодных факторов. В 1998 году свое обращение к Конгрессу министр торговли Ульям Далей начал так: "Погода - это не только окружающая среда. Это важнейший фактор экономики. По крайней мере $1 трлн экономики США зависит от погоды". На СМЕ торгуется целая линейка погодных инструментов. В основе лежат значения температуры, глубины снежного покрова, величины осадков (дождя), скорости ветра - индекс разрушительной силы ураганов. Каждый инструмент привязан к определенной географической точке. Например, Европейский сезонный Strips CAT*1 имеет спецификации G0JU6 с апреля по сентябрь или D0VJ6 - с октября по март. Первый символ G - означает летние контракты (энергия тратится на охлаждение), символ D - зимний контракт (с октября по март). Второй символ 0, 1, 2, 3 определяет город - Лондон, Париж, Амстердам, Берлин и т.д. Символы J, K, M означают месяц начала контракта - апрель, май, июнь и т.д. Последние два символа означают месяц и год окончания контракта, U6 - означает окончание контракта в сентябре 2006 года.

Погодный контракт на зимний сезон характеризуется индексом HDD (Heating Degree Day) - количество дней, когда температура ниже прогнозной и дополнительная энергия тратится на нагревание. Летние контракты измеряются в единицах CDD (Cooling Degree Day) - количество дней, когда дополнительная энергия тратится на кондиционирование. В Европе летние контракты основаны на САТ - итоговой средней температуре. Обе единицы измеряют степень отклонения средней дневной температуры от 65 °F (примерно 18,33 °С) в США и от 18 °С в Европе и Японии.

Особенности погодных деривативов Погодные деривативы позволяют хеджировать риски изменения объемов торговли целой линейки товаров тех отраслей, экономика которых зависит от климатических и погодных вариаций. К примеру, падение среднесезонной температуры (среднемесячной, средней за три или шесть месяцев) приводит к росту потребления топлива для отопления зданий. Погодные деривативы на HDD - число дней обогрева - позволяют компенсировать убытки, связанные с необходимостью закупки больших объемов топлива, чем это планировалось первоначально. Колебания температуры влияют не только на объемы закупок топлива, но в определенной мере на цену топлива и цены других товаров, зависящих от погодных рисков. Однако ценовые риски практически на все товары и финансовые инструменты хеджируются соответствующими ценовыми производными инструментами. Именно потребность создания инструментов для защиты от колебаний рыночных цен на активы и явилась причиной появления производных финансовых инструментов.

Деривативы на погоду заполняют нишу хеджирования объемов торгов (к примеру, топлива, сельскохозяйственной продукции), что в комплексе с ценовым хеджированием дает возможность компаниям гибко и эффективно управлять рисками. Особенность погодных деривативов состоит в том, что не существует рыночного актива, над которым действует производный инструмент. Торговля инструментами на будущие показатели HDD, CDD, выпавших осадков не привязана ни к одному биржевому или внебиржевому инструменту, а потому цена погодных деривативов, в отличие от стандартных производных инструментов, никак не связана с ценами первичных активов. По этой причине использование общепринятых моделей оценки цены производных инструментов, в частности моделей Блэка - Шольца (Black - Scholes), представляется малооправданной.

Основные модели оценки цены Задача моделирования цен погодных контрактов активно обсуждается последние 15 лет. Цена на производные инструменты, которые действуют над базовым активом, определяется прогнозируемой динамикой цены базового актива. Если Р(х) - плотность вероятности цены х актива А через Т дней, то цена V опциона CALL со страйком S с датой исполнения опциона через Т дней определяется как:

     (1) V = exp(-rT)* <x - S> <x - S> = интеграл (от s до бесконечности)

         (x - S)P(x)dx.

Здесь r - безрисковая ставка, которая определяет альтернативную инвестиционную стратегию - возможность вложить средства V по ставке r и получить тот же доход. В противном случае на рынке возникает возможность арбитража - гарантированного получения дополнительного дохода. Проблема прогнозирования цены базовых активов или проблема прогнозирования любых торгуемых на рынках инструментов осложняется наличием сильной обратной связи, которая делает точное решение задачи невозможным. Действительно, в том случае, если какой-то группе инвесторов удается построить правильный прогноз динамики цен выбранного актива и получить на основе этих прогнозов дополнительный доход, то другие участники рынка начинают менять свое поведение, покупать или продавать данный актив, повышая или понижая его цену, и в результате рынок меняет ценовую динамику актива. Иными словами, новая информация на рынке меняет поведение рынка в целом и возникает необходимость разработки новой модели прогнозирования цены с учетом созданной раннее прогнозной модели. Чем точнее прогнозная модель поведения цены актива, тем существеннее будет изменение динамики цены в результате распространения информации об этой прогнозной модели и тем быстрее потребуется корректировка исходных прогнозов. Принципиальное отличие погодных деривативов от стандартных производных инструментов состоит именно в том, что базовый актив погодных деривативов, например среднемесячная температура или количество дней обогрева HDD, не является рыночным инструментом. Участники рынка не могут изменить динамику атмосферных процессов, повысить или понизить среднюю температуру в результате операций на торговых площадках. Сложность долгосрочного прогнозирования погоды определяется реальными геофизическим процессами в атмосфере, но рост нашего понимания этих процессов и нашего умения строить все более точные прогнозы никак не влияет на физику самих атмосферных процессов. Таким образом, получение все более точного выражения для плотности вероятности среднемесячной температуры на заданную перспективу ни в коей мере не повлияет на физические процессы в атмосфере, не приведет к искажению полученного прогноза, а потому не изменит оценки стоимости погодных деривативов.

Другое дело, что увеличение выбросов парниковых газов может привести к существенному искажению распределения колебаний среднесезонной температуры, возникновению среднесрочных и долгосрочных трендов средних показателей, увеличению вероятности высоких отклонений от средних значений, то есть к росту числа опасных и разрушительных природных явлений - ураганов, наводнений.

С учетом этих факторов рынок действительно может оказать определенное влияние на долгосрочную климатическую динамику. Если меры, предлагаемые Киотским протоколом по развитию рыночных механизмов ограничения объемов парниковых выбросов, будут поддержаны мировой экономикой, то это может создать условия для стабилизации атмосферных процессов и обеспечить устойчивые и благоприятные климатические условия для долгосрочного развития мировой экономики.

Определение цены погодных деривативов

Отсутствие базового актива несущественно меняет принципы оценивания стоимости погодных контрактов. Для биржевых инструментов перевод в доллары градусов или числа дней обогрева/охлаждения, то есть числа HDD/CDD за определенный биржей период от одного до семи месяцев, определяется спецификацией биржевых контрактов: на Чикагской бирже СМЕ 1 HDD или 1 CDD для городов США стоит $20. Контракты на HDD/CDD для европейских городов стоят 20 за 1 градус-день. Другими словами, если в США в день зимнего периода средняя температура равна 62 F, это означает, что в этот день HDD = 3. Соответственно, если за месяц, на который куплен опцион CALL, сумма HDD превышает на 10 единиц число HDD, указанное в качестве страйка, - числа HDD отсечения, то по контракту покупатель контракта на погоду в США получает сумму $200, а покупатель контракта на погоду в Европе - 200. Если число HDD меньше числа, определяемого страйком, то в выигрыше оказывается покупатель опциона PUT. Опционы кэп и флор ограничивают размер выплат сверху (кэп) и снизу (флор). Выплаты V по опциону CALL со страйком N и кэп С имеют вид:

V = Min ((HDD - N); C).

Соответственно, опцион PUT со страйком N с флором F :

V = Min ((HDD - N); F).

Биржевые правила СМЕ определяют условия торговли - торгуются пакеты в 20 контрактов. Погодные опционы торгуются только европейского типа, то есть с фиксированной датой исполнения - на второй или третий день следующего месяца. Таким образом, биржевые правила устанавливают коэффициент перевода числа HDD или CDD в денежный эквивалент. Остается только оценить количество HDD/CDD на тот месяц или тот период, на который покупается биржевой инструмент.

Если за Т дней до окончания k-го месяца известна ?k(x) - плотность вероятности того, что в k-й месяц зимнего периода число HDD дней обогрева будет равно х, - то стоимость контракта CALL со страйком N за Т дней до исполнения контракта будет равна

V = альфа exp(-rT)* <x - N> (2)

<x - N> = интеграл (от N до бесконечности) (x - N) ро (x)dx.

Если торгуется контракт с кэпом С = альфа*M, то есть с максимальным превышением страйка N на величину M, то:

     <x - N> = интеграл (от N до N + M)(x - N)po (x)dx +

     + M интеграл (от N + M до бесконечности)(x - S) ро (x)dx,

                  альфа = 20USD или альфа = 20GBP.

Здесь r - безрисковая ставка, альфа - коэффициент перевода единиц числа дней обогрева/ охлаждения в единицы цены - доллары или британские фунты.

Остается один вопрос - как вычислять плотность вероятности числа дней HDD/ CDD для k-го месяца в течение всего периода торговли контракта? Проблема разумного моделирования плотности вероятности цены актива на перспективу - неделю, месяц, год - и является основной проблемой экономики и финансового анализа при определении цен на производные инструменты, выбора инвестиционной стратегии и в целом стратегии поведения инвесторов на финансовых и товарных рынках. Если вам удается построить прогноз цены на будущее, то вы получаете конкурентные преимущества, возможность "выиграть у рынка", получить дополнительный гарантированный доход за счет информации о динамике цен, которой не обладает остальной рынок. Это весьма трудная задача, над решением которой работают аналитики всех финансовых институтов.

Основные модели прогноза температуры

Для построения вероятностных распределений числа HDD/CDD используются самые разнообразные модели, которые условно можно разделить на два класса: физические и все остальные. Под физическими моделями мы понимаем оценки плотности вероятности средней температуры или числа дней обогрева, которые делаются на основе прогнозирования геофизической динамики, с учетом влияния физики атмосферы, океана, суши, радиационной динамики.

Таблица 1. Параметры статистики ежедневных наблюдений
средней температуры

	N	Minimum	Maximum	Mean	Std. Deviation	Variance	Skewn ess		Kurtosis
	Statistic	Statistic	Statistic	Statistic	Statistic	Statistic	Statistic	Std. Error	Statistic	Std. Error
Филадельфия 1	3651	-0,8630	0,7673	0,000102	0,1393	0,0194	-0,4511	0,0405	3,74	0,0810
Филадельфия 1	3651	-0,8014	0,7691	3,49E-05	0,1266	0,0160	-0,2411	0,0405	4,33	0,0810
Филадельфия 1	3651	-0,0483	0,0450	8,65E-06	0,0108	0,0001	-0,3089	0,0405	0,98	0,0810
Бостон 1	3651	-1,6094	1,1838	0,000152	0,1673	0,0280	-0,3642	0,0405	5,79	0,0810
Бостон 2	3651	-2,4849	1,9859	7,09E-05	0,1685	0,0284	-0,3990	0,0405	23,95	0,0810
Бостон 3	3651	-0,0522	0,0464	1,13E-05	0,0121	0,0001	-0,2001	0,0405	0,76	0,0810
Атланта 1	3651	-0,6436	0,4785	8,3E-06	0,1065	0,0113	-0,3937	0,0405	3,19	0,0810
Атланта 2	3651	-0,6042	0,4605	-1E-05	0,0968	0,0094	-0,5888	0,0405	3,14	0,0810
Атланта 3	3651	-0,0397	0,0385	-2,6E-07	0,0095	0,0001	-0,5584	0,0405	1,31	0,0810
Санкт-Петербург 3	1185	-0,0657	0,0570	9,11E-05	0,0098	0,0001	-0,1266	0,0711	5,41	0,1420
Новгород 3	1185	-0,0621	0,0761	7,97E-05	0,0109	0,0001	0,3990	0,0711	6,78	0,1420
Уфа 3	1185	-0,0800	0,0713	6,12E-05	0,0135	0,0002	0,0845	0,0711	3,79	0,1420

Примечание: Индексы: 1 - средняя температура по фаренгейту; 2 - средняя температура по фаренгейту плюс 100; 3 - средняя температура по кельвину.

"Рис. 1."

"Рис. 2."

"Рис. 3."

"Рис. 4."

Такие модели разрабатываются в климатических и геофизических институтах, в метеорологических службах и являются основой современных представлений о климатических и метеорологических процессах на планете. Все остальные подходы к моделированию вероятностных распределений числа дней обогрева строятся на основе ретроспективной информации и различных вероятностных гипотез о поведении прогнозируемого параметра, без учета физических факторов. В основе таких моделей лежит рассмотрение средней температуры (число HDD дней обогрева) в заданном месте как выделенного временного ряда, поведение которого строится на основе, принимаемой ad hoc, - гипотезы о типе случайного процесса. Ретроспективные данные используются для калибровки свободных параметров, например первых двух или четырех моментов. Приведем примеры таких подходов к оценке погодных инструментов. По аналогии со стандартными деривативами над торгуемыми базовыми активами, для оценки погодных производных используется модель Блэка - Шольца и ее модификации. В этих работах проблема поиска формы распределения HDD (или средней температуры) заменяется на задачу описания динамики цены свапов на ликвидном рынке. Таким образом, нерешенная задача построения плотности вероятности HDD или средней температуры за определенный период (месяц, несколько месяцев) подменяется "решенной" задачей поведения цены актива на ликвидном рынке в терминах модели Блэка - Шольца: цена S свапов подчиняется уравнению:

     (3) dS  = ми dt + тэта(t, S )dW ,

           t     t              t   t

где Wt - одномерный Броуновский процесс. Модификация модели Блэка - Шольца означает, что миt полагается случайным процессом, а тэта(t, St) - некоторой детерминированной функцией. В результате получают выражение для цены погодных производных, в основе которой лежит стохастика, определяемая Броуновским процессом. Такие результаты безусловно интересны, поскольку основаны на общепринятых в финансовой математике предположениях и переводят проблему цен погодных деривативов в хорошо изученную область моделей Блэка - Шольца и Винеровских процессов. К сожалению, гипотеза не выдерживает критики, поскольку не соответствует наблюдаемой статистике, которая публикуется СМЕ для Атланты, Бостона и Филадельфии за 1997-2006 годы, и статистике, которая получена на основе данных ежедневных наблюдений в Санкт-Петербурге, Новгороде и Уфе за 2003-2006 годы.

Таблица 2. Статистика логарифмов отношений среднедневных температур
к значению предыдущего года

	N	Minimum	Maxi mum	Mean		Std. Devia tion	Varia nce	Skew ness		Kurto sis
	Stat- istiс	Statistic	Statis- tic	Statis- tic	Std. Error	Statistic	Statis- tic	Statis- tic	Std. Error	Statis- tic	Std. Error
Атланта 1 (365)	3287	-1,1227	0,9015	0,0042	0,0034	0,1932	0,0373	-0,2541	0,0427	2,5915	0,0854
Атланта 3 (365)	3287	-0,2249	0,1823	0,0012	0,0009	0,0488	0,0024	-0,1889	0,0427	1,0525	0,0854
Санкт- Петер- бург 3 (365)	821	-0,0949	0,0773	0,0000	0,0008	0,0226	0,0005	-0,3196	0,0853	1,5938	0,1705
Новгород 3 (365)	821	-0,1080	0,0961	-0,0010	0,0008	0,0239	0,0006	-0,2759	0,0853	2,6495	0,1705
Уфа 3 (365)	821	-0,1069	0,0861	-0,0003	0,0010	0,0280	0,0008	-0,2543	0,0853	0,9994	0,1705

В табл. 1 приводятся результаты описательной статистики на основе ежедневных наблюдений средней температуры в Атланте, Бостоне и Филадельфии за 1997-2006 годы и статистики, которая получена на основе данных ежедневных наблюдений в Санкт-Петербурге, Новгороде и Уфе за 2003-2006 годы. Число наблюдений для Атланты, Бостона и Филадельфии - 3651, для российских городов - 1185. Анализировались данные вида:

     Ln(T(n + 1) / T(n)).

Здесь T(n) - средняя температура в день n. Мы приводим статистические характеристики имеющихся данных для трех различных единиц температуры: по Фаренгейту, по Фаренгейту плюс 100 и по Кельвину - в абсолютной температурной шкале. Данные (табл. 1) демонстрируют зависимость параметров наблюдаемой статистики от единиц измерения и от места наблюдения. Минимальные значения для различных статистик отличаются почти на два порядка. Средние значения для различных мест наблюдений отличаются почти на три порядка. Дисперсии отличаются более чем на порядок. Характеристики третьего и четвертого моментов отражают асимметрию и хвосты распределений. Все распределения имеют левую асимметрию, кроме распределений в Новгороде и Уфе. Все распределения отличаются повышенным количеством пиков, менее плоские, чем нормальное распределение. При этом разброс параметров превышает порядок. Трудно ожидать, что столь различные статистики могут описываться однотипными вероятностными законами. Отличие от нормального распределения достаточно велико, чтобы не принимать эту гипотезу всерьез (рис. 1-4, с. 65). Ниже даются гистограммы (рис. 5-9, с. 66), построенные по ретроспективным данным для различных единиц измерения температуры. Наблюдаемая в ретроспективе статистика среднедневных температур демонстрирует ярко выраженную зависимость от калибровки единиц изменения средней температуры и от места измерения. Отдельный интерес представляет зависимость вероятностных распределений от единиц измерения температуры, то есть погодные деривативы, номинированные в долларах (температура измеряется в Фаренгейтах), должны оцениваться совсем не так, как деривативы, номинированные в британских фунтах (температура измеряется в градусах Цельсия).

     Skewness = сумма (от n=1 до N)(Xn - <X>)

                ------------------------------

                         (N - 1)тэта

                сумма (от n=1 до N)(X - <X>)

     Kurtosis = -----------------------------  - 3

                          (N - 1) тэта

В табл. 2 мы приводим показатели статистики логарифмов отношения среднедневных температур к значению год назад (сдвиг равен 365 дням).

Здесь опять наблюдается зависимость показателей статистики от единиц измерения (по Фаренгейту (1) или по Кельвину (3)) и зависимость от места наблюдения. Близость к нормальному распределению не вызывает сомнений, однако опять заметна существенная зависимость от места наблюдения (рис. 10-15, с. 66).

К сожалению, наших данных за 10 лет наблюдений недостаточно для оценки статистики годовых вариаций средней температуры и количества HDD за месяц или за несколько месяцев. На рис. 1 и 2 дана динамика относительных колебаний (к среднему значению) числа дней HDD для зимних периодов (ОНДЯФМ - с октября по март и т.д.) для двух мест наблюдения - Атланты и Филадельфии. На рис. 16 и 17 на с. 66 наблюдается явная зависимость от места наблюдения относительных флуктуаций числа дней HDD. Это означает, что получение общих закономерностей маловероятно.

Другие подходы к задаче оценивания погодных контрактов на основе ad hoc гипотез о поведении температуры принципиально ничем не отличаются от использования рассмотренной выше модели Блэка - Штольца. Наблюдаемое разнообразие статистических характеристик приводит к закономерному выводу - для адекватной оценки стоимости погодных контрактов необходимо использовать прогнозы локальной температуры, которые предоставляются службами погоды и центрами по моделированию климата*(2).

Ущерб от непредвиденных колебаний погоды исчисляется миллиардами долларов. Для хеджирования рисков изменений объемов продаж, вызванных погодными факторами, создана линейка биржевых инструментов - деривативы на погоду.

В первой части статьи рассматривались риски, связанные с колебаниями погодно-климатических условий и их влиянием на экономику. В заключительной части материала обсуждаются вопросы организации метеонаблюдений и формирования долгосрочных прогнозов на основе климатических и атмосферных моделей, которые могут стать основой для расчетов цен на погодные деривативы.

База для обеспечения рынка погодных деривативов

На Чикагской бирже (CME) погодные контракты торгуются на период от одного до семи месяцев. Фьючерсы на HDD имеют шаг 1 градус-день, равный $20 для городов США и 20 фунтов - для европейских городов. Временной горизонт торгов составляет год. В августе 2007 года на рынке присутствуют контракты на месяцы 2007 и 2008 года, например контракты на HDD с октября 2007 по март 2008 года и контракты на CDD до июля 2008 года (табл. 1 и 2). Погодные контракты торгуются на бирже вплоть до истечения месяца, указанного в контракте. Погодный контракт на число HDD в октябре 2007 года для Балтимора торгуется вплоть до 2 ноября 2007 года - дня, который и является расчетным по контракту. Участники торгов должны иметь возможность оценивать стоимость контрактов за весь период торгов. Месячный контракт на число HDD в октябре должен котироваться, начиная с момента открытия торгов до последнего торгового дня. В августе 2007 года торгуются месячные контракты на CDD до июля 2008 года. Для эффективной оценки стоимости таких контрактов необходимо знать функцию плотности вероятности числа HDD для периодов от месяца до семи месяцев на 2007 и 2008 годы. Число HDD за месяц получается суммированием дневных значений HDD, что требует знания плотности вероятности среднедневных температур. Участники рынка погодных инструментов должны ежедневно иметь возможность котировать, например, месячный контракт на апрель 2008 года на число CDD, начиная с августа 2007 года до 2 мая 2008 года. Построение прогноза погоды с детализацией прогнозирования один день на горизонт полгода-год не осуществимо. Какие возможности прогнозирования существуют в настоящее время?

Таблица 1. Примеры временных горизонтов фьючерсов на HDD
Торгуемые контракты	Фьючерсы
Торгуемые контракты	Последний торговый день	Дата расчетов
October 2007 Baltimore HDD	2 ноября 2007 г.	2 ноября 2007 г.
November 2007 Baltimore HDD	3 декабря 2007 г.	3 декабря 2007 г.
December 2007 Baltimore HDD	2 января 2008 г.	2 января 2008 г.

Таблица 2. Примеры временных горизонтов фьючерсов на CDD
Торгуемые контракты	Фьючерсы
Торгуемые контракты	Последний	Дата расчетов
April 2008 Kansas City CDD	2 мая 2008 г.	2 мая 2008 г.
May 2008 Kansas City CDD	2 июня 2008 г.	2 июня 2008 г.
June 2008 Kansas City CDD	2 июля 2008 г.	2 июля 2008 г.
July 2008 Kansas City CDD	4 августа 2008 г.	4 августа 2008 г.

Служба прогнозирования климата и Национальная служба прогнозирования погоды, NOAA и Департамент торговли США на регулярной основе публикуют прогнозы средней температуры на горизонты 6-10 дней, 8-14 дней, 30 и 90 дней. При этом прогнозы на 30 и 90 дней дают значения температуры, усредненной за этот период. Прогнозы температуры на 90 дней с усреднением за три месяца публикуются на горизонт прогнозирования один год. В целом этот временной горизонт достаточен для оценок стоимости погодных контрактов. В июле 2007 года доступны прогнозы средней трехмесячной температуры на август - сентябрь - октябрь (АСО), сентябрь - октябрь - ноябрь (СОН) на 2007 год до АСО 2008 года. 90-дневные прогнозы дают неточные значения средней трехмесячной температуры, а функции распределения средней температуры на заданный трехмесячный период - вероятности того, что средняя температура будет меньше (больше) определенного значения. Эти данные могут служить основой для оценки плотности вероятности числа HDD или CDD. При этом надо учитывать, что оценка HDD на основе средней температуры за три месяца всегда будет давать заниженное значение. Это можно показать на простом примере:

пусть температура Т за три дня принимала значения 60, 72, и 60 градусов по Фаренгейту, HDD = max (0,65-Т), поэтому HDD за эти три дня принимало значения соответственно 5, 0 и 5. Сумма HDD за три дня равна 10. Однако средняя температура за три дня равняется 64 градусам, и если оценивать HDD по этому значению, сумма HDD за три дня равна 3.

"Рис. 1"

"Рис. 2"

"Рис. 3"

Тем не менее прогноз распределения средней температуры за три месяца является наиболее обоснованным доступным физическим прогнозом, и его следует использовать как основной инструмент для оценки числа HDD или CDD. Если существует возможность получения аналогичных распределений средней температуры на один и на два месяца, то появляется возможность оценки распределений средней температуры на весь прогнозируемый период - один год. Пусть

     ро (Т), g (Т) и f (Т)

       i      i       i

- плотности вероятности распределения средней температуры за месяц, два месяца и три месяца соответственно. i - номер первого месяца периода усреднения. Вероятность непревышения температуры - это распределение вероятности F(T), которое связано с функцией плотности вероятности f(T) простым соотношением

     F(T) = интеграл (от Т до -х)f(x)dx,

            dF(T)

     f(Т) = -----

dT

Здесь F(T) - распределение вероятности, соответствующее плотности вероятности f(Т). Нетрудно получить связи между плотностями вероятности средней температуры:

     g (T) = 2 интеграл pо (x)ро     (2Т - x)dx,

      i                   i     i + 1

     f (T) = 3 интеграл pо (3T - 2x)g     (x)dx =

      i                   i          i + 1

3 x 2 интеграл pо (3Т - 2х)ро     (2х - у)pо     (y)dxdy .

                 i           i + 1          i + 2

Если f (T) - плотность вероятности средней температуры за n i, n месяцев, начиная с месяца i, то:

     f    (T) = n интеграл ро (nТ - (n - 1)x)f            (x)dx =

      i, n                   i                i + 1, n - 1

n! интеграл pо (nT - (n - 1)x     )ро     ((n - 1)х     - (n - 2)х     )

              i              n - 1   i + 1         n - 1          n - 2

... ро        (х )пи (от n-1 до k=1)dx .

      i + n -1  1                    k

Таблица 3. Вероятности превышения средней температуры, 2007-2008 гг., Международный аэропорт Логан, Бостон, Массачусетс
	ASO	SON	OND	NDJ	DJF	JFM	FMA	MAM	AMJ	MJJ	JJA	JAS	ASO
**R	0,9	0,9	1	1	1	1	0,9	0,9	0,8	0,7	0,8	0,9	0,9
99%	60,4	50,5	38,8	29,7	25,5	28	34,3	43,7	54	62,8	67,9	67,4	60,5
98%	60,8	50,9	39,5	30,4	26,2	28,5	34,9	44,2	54,5	63,2	68,3	67,8	60,9
97%	61	51,2	39,9	30,8	26,6	28,9	35,2	44,5	54,7	63,5	68,6	68	61,1
96%	61,2	51,4	40,2	31,2	26,9	29,1	35,5	44,8	55	63,7	68,8	68,2	61,3
95%	61,3	51,6	40,4	31,4	27,2	29,3	35,7	45	55,1	63,8	68,9	68,4	61,4
90%	61,8	52,2	41,3	32,4	28,1	30	36,4	45,6	55,7	64,4	69,4	68,8	61,9
80%	62,4	52,9	42,3	33,5	29,2	30,9	37,3	46,4	56,4	65,1	70,1	69,4	62,5
70%	62,8	53,4	43	34,3	29,9	31,6	38	47	56,9	65,5	70,6	69,9	62,9
60%	63,2	53,9	43,7	35	30,6	32,1	38,5	47,5	57,4	66	71	70,2	63,3
50%	63,5	54,3	44,2	35,7	31,2	32,6	39	48	57,8	66,3	71,3	70,6	63,6
40%	63,8	54,7	44,8	36,3	31,8	33,1	39,6	48,4	58,2	66,7	71,7	70,9	64
30%	64,2	55,1	45,5	37	32,5	33,6	40,1	48,9	58,6	67,1	72,1	71,3	64,3
20%	64,6	55,6	46,2	37,8	33,3	34,3	40,8	49,5	59,2	67,6	72,6	71,7	64,7
10%	65,2	56,4	47,2	39	34,4	35,1	41,7	50,3	59,9	68,3	73,2	72,3	65,3
5%	65,7	56,9	48,1	39,9	35,2	35,8	42,4	51	60,4	68,8	73,7	72,8	65,8
4%	65,8	57,1	48,3	40,2	35,5	36,1	42,6	51,2	60,6	69	73,9	72,9	66
3%	66	57,3	48,6	40,5	35,8	36,3	42,9	51,4	60,8	69,2	74,1	73,1	66,1
2%	66,2	57,6	49	40,9	36,2	36,7	43,2	51,7	61,1	69,5	74,3	73,3	66,4
1%	66,6	58	49,7	41,6	36,9	37,2	43,8	52,2	61,6	69,9	74,7	73,7	66,7
*Mean	63,5	54,3	44,2	35,7	31,2	32,6	39	48	57,8	66,3	71,3	70,6	63,6
StDev	1,3	1,6	2,3	2,6	2,4	2	2	1,8	1,6	1,5	1,5	1,3	1,3

Если обозначить характеристические функции соответствующих плотностей вероятности как R (k), G (k), F (k) (нормировку опускаем для i i i краткости),

     R (k) = интеграл exp(ikx)pо (x)dx,

      i                         i

    G (k) = интеграл exp(ikx)g (x)dx,

     i                        i

    F (k) = интеграл exp(ikx)f (x)dx,

     i                        i

то связи между характеристическими функциями становятся еще проще:

     G k = R (k/2)R     (k/2),

      i     i      i + 1

F (k) = R (k/3)G     (2k/3) = R (k/3)R     (k/3)R     (k/3).

 i       i      i + 1          i      i + 1      i + 2

В случае, если известны R (k), G (k) и F (k), i = 1, 2... n, можно i i i восстановить все характеристические функции R (k), G (k), i = 1, 2... n: i i

-1

     R (k) = G     (2k)R     (k),

      i       n - 1     n - 1

                     3    -1     k

     G (k) = F      (- k)R      (-),  n = 2, 3,... N.

      n       n - 1  2    n - 1  2

Эти соотношения позволяют получить выражения для плотности вероятности средней температуры для strip - контракта на любое количество последовательных месяцев от одного до семи с горизонтом один год, если известны распределения средней температуры на первый месяц, на первые два месяца и известны распределения средней температуры на три месяца с горизонтом на один год. Если F (k) - характеристическая функция, i, n определяемая плотностью вероятности средней температуры за период в n месяцев, начиная с месяца i, то:

     F    (k) = интеграл   (ikx)f    (x)dx,

      i, n              exp      i, n

     F    (k) = пи (от i+n - 1 до j=i)R (k / n)

      i, n                             i

или

                                       n - 1

     F    (k) = R (k / n)F            (----- k), n = 4, 5, 6, 7.

      i, n       i        i + 1, n - 1   n

К примеру, характеристическая функция средней температуры за 6 месяцев имеет вид:

                                       n - 1

     F    (k) = R ( k /n)F            (----- k), n = 4, 5, 6, 7.

      i, n       i        i + 1, n - 1   n

Табл. 3 позволяет построить плотность вероятности средней температуры за октябрь 2007 - март 2008 года и ноябрь 2007 - апрель 2008 года - два шестимесячных периода, на которые торгуются HDD Strips для Бостона. Это позволяет оценить в настоящее время стоимость погодных контрактов на HDD на эти периоды. Если за Т дней до окончания k-го месяца известна ро (х) плотность вероятности того, что в k-й месяц зимнего k периода число HDD дней обогрева будет равно х, то стоимость контракта CALL со страйком N за Т дней до исполнения контракта будет равна

     V = альфа ехр(-rT) xи <x - N>,

<х - N> = интеграл (от х до N)(x - N)pо (x)dx.

На рис. 3 представлены графики плотности вероятности средней температуры ро (х) за периоды НДЯ - ноябрь-декабрь 2007 года и январь НДЯ 2008 года, и плотности вероятности средней температуры ро (х) - ФМА - ФМА февраль - март - апрель 2008 года, построенные по данным табл. 3. Плотность вероятности средней температуры за 6-месячный период ро (х) с ноября 2007 года по апрель 2008 года получена по формуле: НДЯФМА

     ро      (Т) = 2 интеграл ро   (х)ро   (2Т - x)dx.

       НДЯФМА                   НДЯ     ФМА

Получение функций плотности вероятности числа HHD (рис. 2) на основе прогнозов плотности вероятности средней температуры за период, естественно, вносит ошибки, занижая прогнозные значения HDD. Так, по данным СМЕ можно вычислить среднее значение числа HDD в Бостоне за три месяца - ноябрь - декабрь - январь - за период с 1997 по 2005 год. По этим данным среднее значение HDD равно 2586. Если оценить среднее значение HDD по плотности вероятности, полученной на основе прогнозов средней температуры, то получается, что среднее значение HDD = 1908. Занижение числа HDD на основе моделирования средней температуры, безусловно, отражает ограничения этого метода, однако возможности использования явного вида плотности вероятности средней температуры на предстоящий период с горизонтом прогнозирования один год предоставляют огромные преимущества по сравнению с использованием данных ретроспективных наблюдений.

Комплексное использование вероятностных оценок средней температуры для различных периодов - недельных, месячных, трехмесячных - позволит существенно поднять точность оценки стоимости погодных контрактов. В России имеются примеры построения сверхдолгосрочных прогнозов. На основе анализа среднесуточных значений температуры воздуха станции наблюдения Санкт-Петербурга за период с 1881 по 2006 год строятся прогнозы ежедневной температуры для Петербурга с горизонтом один год (рис. 3). Отсутствие оценок вероятностных диапазонов реализации этих прогнозов затрудняет их использование для моделирования цен погодных контрактов, однако использование методов прогнозирования для построения вероятностных распределений температуры на перспективу было бы очень интересно с точки зрения моделирования ценообразования погодных деривативов.

Подводя итоги

Нарастающее глобальное потепление увеличивает температурные тренды, существенно влияет на локальные погодные характеристики и на изменение частоты и величины температурных колебаний. Это приводит к отклонению погодных условий от наблюдавшихся в прошлом средних значений и распределению отклонений от среднего, что делает прогнозы на основе ретроспективных данных неточными. В конечном итоге компании несут миллиардные убытки.

Эффективно оценивать стоимость погодных контрактов можно на основе использования результатов численного моделирования климатических процессов, разработанных и совершенствующихся в научных институтах и учреждениях службы погоды США, Великобритании, России и других стран G8. Российские и зарубежные исследования климата могут обеспечить надежный, физически обоснованный метод формирования цены погодных деривативов, существенно повысить степень защиты российских компаний от ущерба, связанного с климатическими и погодными рисками.

Развитие рынка погодных деривативов особенно важно именно в России - самой северной и климатически разнообразной стране "большой восьмерки".

А. Гинсбург,

доктор физ.-мат. наук,

Институт физики атмосферы РАН

В. Ольхов,

канд. физ.-мат. наук,

Научный информационно-аналитический центр ВНИИЖТ

"Риск-менеджмент", N 1-4, январь-апрель 2008 г.

-------------------------------------------------------------------------

*(1) САТ - кумулятивная средняя температура. Strips - форма контракта на несколько месяцев.

*(2) Продолжение статьи "Сколько стоят капризы погоды" см. в N 3-4, 2008.

Вы можете открыть актуальную версию документа прямо сейчас.

Открыть документ

Если вы являетесь пользователем интернет-версии системы ГАРАНТ, вы можете открыть этот документ прямо сейчас или запросить по Горячей линии в системе.