Приложение В (справочное). Статистический анализ

Приложение В
(справочное)

Статистический анализ

Описание методов и формул для определения значения электродугового термического воздействия и коэффициента снижения тепла

В настоящем приложении приведены статистические методы, используемые для получения ЗЭТВ, КСТ и связанных факторов из набора экспериментальных данных для конкретного типа материала одежды. В описании не оценивается пригодность метода, используемого для получения экспериментальных точек.

В.1 Введение

При электродуговом испытании образца материала на панели с датчиком получаем значения трех величин: падающей энергии , ; выходного сигнала датчика dS, как разности температур (°С), отрицательных или положительных относительно кривой Столл; переданной через материал энергии , как доли падающей энергии.

В случае разрушения образца применяется другой анализ, описанный в 6.1.10.2.

В.2 Определение ЗЭТВ

Для получения полного набора данных по одной модели одежды проводят не менее 20 испытаний, при этом не менее 20% испытаний имеют положительную разность dS и не менее 20% испытаний - отрицательную. График испытаний, показывающий dS как функцию , будет, таким образом, представлять набор точек, сгруппированных вокруг линии dS = 0.

ЗЭТВ можно получить из этого графика в два этапа:

a) оценить и построить линию наилучшего соответствия;

b) определить значение в точке пересечения линии наилучшего соответствия с линией dS = 0.

Процесс оценки линии наилучшего соответствия не обязательно бывает простым. В коммерческих программах алгоритмы для линейной регрессии методом наименьших квадратов исходят из того, что все погрешности в наборе точек (, ) для i от 1 до n находятся на координате . Здесь же должны быть значения dS. Однако из характера электродуговых испытаний известно, что ошибки имеются также в значениях . Таким образом, любая регрессия dS по или по dS учитывает погрешности только в одном наборе координат. Более того, эти две регрессии приводят к разным результатам. Однако при поиске ЗЭТВ эти две регрессии дают аналогичные результаты за счет того факта, что ЗЭТВ находится вблизи среднего из значений . Это гарантируется требованием, чтобы точки группировались вокруг значения dS = 0.

Один из способов решения этой проблемы состоит в том, чтобы построить обе регрессии и составить разницу. Более приемлемым способом является оценка наилучшего соответствия наименьших квадратов при допущении, что погрешности имеются по обеим координатам. Это можно сделать с помощью коммерческих программ, использующих модифицированный способ решения линейной регрессии. Этот метод требует некоторых итераций проведения некоторых итерационных операций, так как данная проблема по своему характеру является нелинейной, хотя полученное соответствие представляет четко прямую линию.

В.3 Определение ЗЭТВ с доверительным 95%-ным интервалом

При интуитивном подходе доверительный 95%-ный интервал ЗЭТВ - это такое значение падающей энергии, при котором вероятность того, что dS превысит нуль, составляет 5%, исходя из линии наилучшего соответствия набору полученных данных. Это согласуется с прогнозируемым значением для dS при этой падающей энергии.

Прогнозирование единичной точки, исходя из наилучшего соответствия набору данных, отличается от формулировки доверительных пределов самой линии наилучшего соответствия, как указано в 6.1.10.1, перечисление f), но не полностью интерпретировано. Коммерческие программы обычно предусматривают доверительные пределы линейного соответствия. Эти доверительные пределы применяются к линии в целом, а не к прогнозированию единичных точек. Также отмечается, что доверительные пределы являются двусторонними, т. е. 95%-ные доверительные пределы ограничивают линию наилучшего соответствия сверху и снизу.

Если нужно иметь 95%-ную вероятность при сигнале датчика, не превышающем линию dS = 0, то следует искать такой доверительный предел, чтобы область над верхним пределом составляла вероятность 5%. Для двустороннего распределения это означает, что область под нижним пределом также составляет 5% и, следовательно, область между этими пределами - 90%. Таким образом, для 95%-ной вероятности, когда сигнал датчика не превышает линию dS = 0, используют верхний предел при уровне вероятности 90%.

Пункт 6.1.10.1, перечисление f) включает формулы для предсказания значения единичной точки и пределы ее предсказания:

,

(В.1)

где - значение t-распределения для (n-2) степеней свободы при двусторонней вероятности 0,95;

,

(В.2)

где n - количество точек выборки;

- падающая энергия , (т. е. 95%-ная вероятность для ЗЭТВ) при предсказанном значении;

- прогнозируемое значение (т. е. dS);

- среднее значение падающих энергий;

,

(В.3)

где - среднее значение выходных сигналов датчика (dS);

b - наклон линии наилучшего соответствия.

Например, если имеется 20 точек выборки, тогда n равняется 20, имеется 18 степеней свободы и составляет 2,101. Как указывалось выше, для получения 95%-ной вероятности не превышения линии dS = 0, здесь следует в действительности использовать , что составляет 1,743. Стоит также отметить, что для двустороннего распределения эквивалентно для одностороннего распределения.

Задача вычисления 95%-ной вероятности для ЗЭТВ сводится к решению приведенных выше уравнений для при условии, что точки (, ) лежат на линии наилучшего соответствия, так что верхнее значение равно нулю. Уравнение для линии наилучшего соответствия при можно записать как

.

(В.4)

Прямым решением для является корень квадратного уравнения, но, возможно, его проще найти графически путем вычисления для диапазона :

.

(B.5)

Выбор знака плюс или минус в формуле В.5 можно определить, подставляя это значение в систему уравнений для подтверждения, что равно нулю.

В.4 Определение КСТ

Коэффициент снижения тепла (КСТ) является мерой количества тепла, не прошедшего сквозь материал. Если этот материал не изменяет своего физического состояния при любой падающей энергии в наборе данных, тогда КСТ должен быть постоянным. Если КСТ является постоянным, тогда график КСТ как функция падающей энергии будет прямой линией с нулевым наклоном. В приведенных ниже рассуждениях предполагается, что значения КСТ являются выборкой с нормальным распределением.

Истинное значение КСТ неизвестно. Наилучшей оценкой КСТ является среднее для всех значений, независимо от ЗЭТВ. Распределение значений КСТ относительно среднего можно охарактеризовать путем вычисления стандартного отклонения набора данных. Тогда 95%-ный доверительный интервал для КСТ можно определить, используя t-распределение

,

(B.6)

где s - стандартное выборочное отклонение;

- среднее значение для n выборочных значений ;

,

(B.7)

где Т - стандартное значение для истинного среднего ;

,

(В.8)

где - значение из t-распределения для (n-1) степеней свободы;

.

(В.9)

Уравнение (В.9) является представлением доверительных пределов для истинного значения КСТ посредством выборочного среднего и выборочного стандартного отклонений. Например, для выборки из 20 точек существует 19 степеней свободы и равняется 2,093. Если число степеней свободы увеличивается, предельное значение составляет (1,96), то же самое происходит, когда стандартное отклонение совокупности известно. Однако 95%-ная вероятность для КСТ является двусторонней, тогда как 95%-ная вероятность для ЗЭТВ только односторонняя.