Приложение В. Методика восстановления регрессионных зависимостей по эмпирическим данным

Приложение В

(справочное)

Методика восстановления регрессионных зависимостей по эмпирическим данным

Для восстановления количественного соответствия между значениями показателей механических свойств проката и измеряемыми физическими параметрами в случае, когда выборки проводятся несогласованно и имеют различное число измерений, предлагается методика нахождения коэффициентов калибрующего уравнения, базирующаяся на восстановлении корреляционных зависимостей. Основанием применения метода восстановления является стабильность свойств, порождаемых данной технологией, и нормальный закон совместного распределения значений измеряемых показателей.

При восстановлении зависимостей различные постановки задач сводятся к математической схеме минимизации среднего риска по эмпирическим данным.

Считается, что показатели Y и X связаны регрессионной зависимостью, если каждому значению х показателя X ставится в соответствие число у, полученное с помощью случайного испытания над показателем Y согласно условной плотности вероятности P (y/x). Иначе говоря, каждому х ставится в соответствие закон S (y/x), согласно которому в случайном испытании реализуется выбор у.

Полное знание регрессионной зависимости требует восстановления условной плотности Р (у/х), но на практике, в задачах обработки результатов измерений, нужно знать одну из ее характеристик, функцию условного математического ожидания

, (В.1)

называемую регрессией.

Задача восстановления функции условного математического ожидания в этом случае формулируется как задача восстановления регрессии - одна из основных проблем прикладной статистики.

Постановка задачи состоит в следующем.

При проведении испытаний случайно и независимо появляются значения измерений х. В этой среде работает преобразователь S (x/y), который каждому х ставит в соответствие число у, полученное в результате реализации случайного испытания, согласно закону Р (у/х).

Свойства среды Р (х) и закон Р (у/х) неизвестны, однако известно, что существует регрессия

y = y(x). (В.1)

Требуется по паре случайных независимых выборок в общем случае различного объема

, ; , (В.3)

восстановить регрессию, то есть в классе функций F(x, a) отыскать функцию наиболее близкую к регрессии y (x).

Здесь m, n - объемы независимых выборок над показателями Y, X, a F - обозначение класса функций регрессии, отличающихся значениями параметров а, принадлежащих А - множеству значений.

Задача восстановления регрессии сводится к проблеме минимизации функционала

(В.4)

на множестве - интегрируемых с квадратом по мере Р(х) функций в ситуации, когда совместная плотность вероятности Р (х,у) = Р (у/х) Р (х) неизвестна.

Можно показать, что если регрессия у = у(х) принадлежит классу F (X,a), то она минимизирует функционал I (а). Если же регрессия не принадлежит F (x,a), то минимум достигается на ближайшей к регрессии функции F (x,a), то есть в любом случае решение будет оптимальным относительно сделанных предположений.

Близость функций понимается в смысле метрики (квадратичная мера):

. (В.5)

Записываем формулу (В.4) в общей форме

, (В.6)

где I (а) - средний риск;

Q (z,a) - функция потерь в задаче минимизации среднего риска при восстановлении регрессии по эмпирическим данным , ...

Минимальное значение (В.6) достигается с доверительной вероятностью Р, называемой надежностью восстановления.

Практическое решение задачи, обеспечивающее минимизацию среднего риска восстановления регрессии с заданной надежностью на выборках конечного объема, состоит в построении уравнения выбранной -процентной области совместного распределения значений показателей Y, X.

, (В.7)

где u - вектор параметров, включающий опорные значения совместного распределения измерений х, у, в том числе средние значения , , средние квадратические отклонения , и парный коэффициент корреляции . Находится решение уравнения относительно при выборочных значениях опорных величин. В частности, -процентная доверительная область совместного попадания значений у, х определяется уравнением эллипсоида

(В.8)

с растяжением, соответствующим назначенной доверительной вероятности и объемам выборок.

Задавая статистические гипотезы о предельных значениях и , находим решение уравнения (В.8) относительно , что позволяет определить калибрующий коэффициент

(В.9)

и смещение

(В.10)

для восстановления регрессионной зависимости

y = a + bx (В.11)

между механической характеристикой и измеряемым физическим показателем.

Как правило, уравнения (В.7) являются нелинейными относительно , в связи с чем целесообразно использовать один из приближенных методов отыскания решений с итерацией на i-м шаге

u (i + 1) = u (i) + t (i) g (i), (В.12)

где g (i) - единичный вектор в направлении градиента;

t (i) - значение шага.