Приложение 2 (справочное). Пример определения коэффициентов аппроксимирующего полинома ТХС и СКО погрешности аппроксимации

Приложение 2
Справочное

Пример определения коэффициентов аппроксимирующего полинома ТХС и СКО погрешности аппроксимации

1. В ТУ задано, что ТХС должна быть аппроксимирована полиномом третьей степени, допускаемое значение СКО погрешности аппроксимации 12 мкОм/Ом, допускаемое СКО значения ТХС при максимальной температуре 30 мкОм/Ом, допускаемое максимальное значение ТХС в рабочей области значений температуры 5000 мкОм/Ом.

     2. При испытаниях  выборки  тензорезисторов  (n  =  10)  по  п.  4.8

(материал образца сталь с коэффициентом линейного расширения альфа = 11 х

10(-6)°С(-1),  рабочая  область  значений   температуры   тензорезисторов

20-420°С, определение ТХС проводилось при нагреве образца от  температуры

t_н = 26°С до максимальной) для различных ступеней температуры  t_j  были

                                                              ___

определены выборочные  средние  значения  выходных  сигналов  кси  (t_j),

приведенные в табл. 7. Для температуры  423°С  было  получено  S_t  =  25

мкOм/Oм.

Таблица 7

Номер ступени температуры j	1	2	3	4	5	6
t, °С	26	103	180	261	343	423
___ кси (t ), j мкОм/Ом	0	1260	2283	3067	3534	3670

                               __

     По полученным  значениям  кси  (t_j)  методом  наименьших  квадратов

рассчитывают коэффициенты полинома

     ___                       2    2        3    3

     кси(t) = C (t - t ) + C (t  - t ) + C (t  - t ).               (19)

               1      н     2       н     3       н

3. Условие метода наименьших квадратов для данного случая записывают как

       m   / ^        ___    \2     m                      2    2

     Сумма |кси(t ) - кси(t )|  = Сумма [C (t  - t ) + C (t  - t ) +

     j = 1 \     j         j /    j = 1   1  j    н     2  j    н

           3    3    ___     2

     + C (t  - t ) - кси(t )]  = min,

        3  j    н         j

         ___                         2    2        3    3

     где кси(t ) = C (t  - t ) + C (t  - t ) + С (t  - t )  -  расчетное

              j     1  j    н     2  j    н     3  j    н

значение аппроксимирующей функции для ступени температуры ij.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов имеют вид:

     /   m                      2    2        3    3    ___

     | Сумма [C (t  - t ) + C (t  - t ) + С (t  - t ) - кси(t )] x (t  - t ) = 0

     | j = 1   1  j    н     2  j    н     3  j    н         j       j    н

     |

     |   m                      2    2        3    3    ___          2    2

    <  Сумма [C (t  - t ) + C (t  - t ) + С (t  - t ) - кси(t )] x (t  - t ) = 0

     | j = 1   1  j    н     2  j    н     3  j    н         j       j    н

     |

     |   m                      2    2        3    3    ___          3    3

     | Сумма [C (t  - t ) + C (t  - t ) + С (t  - t ) - кси(t )] x (t  - t ) = 0

     \ j = 1   1  j    н     2  j    н     3  j    н         j       j    н

Система линейна относительно искомых параметров C_1 - С_3 и решается, например при помощи определителей, методом Краута.

Для данного примера

                                    -3                     -7

     С  = 18,91;    С  = -18,72 x 10  ;     С  = -66,2 x 10  .

      1              2                       3

     Таким образом, ТХС может быть представлена в виде

      ^                                   -3   2    2

     кси(t) = 18,91 (t  - t ) - 18,72 х 10   (t  - t ) -

                      j    н                        н

                -7   3    3

     - 66,2 х 10   (t  - t ).                                       (20)

                          н

     4. Для определения СКО погрешности аппроксимации  S_at  вначале  для

каждой температурной ступени из соотношения  (20)  рассчитывают  значение

 ^                                                                    ___

кси (t_j) и отклонение от него  соответствующего  среднего  значения  кси

(t_j) в соответствии с табл. 8.

Таблица 8

Номер ступени температуры, j	1	2	3	4	5	6
t_j, °C	26	103	180	261	343	423
^ кси (t ), мкОм/Ом j	0	1263	2280	3064	3538	3669
^ ___ [кси(t ) - кси(t )], j j мкОм/Ом	0	3	-3	-3	4	-1

Затем по формуле (18) рассчитывают S_at:

                         1     6   /  ^         ___      \2

     S   = кв. корень (----- Сумма | кси (t ) - кси (t ) | ) =

      at               6 - 4 j = 1 \       j          j  /

                    1      2      2       2       2      2

     = кв. корень (--- [(0)  + (3)  + (-3)  + (-3)  + (4)  +

                    2

           2

     + (-1) ]) = 5 мкОм/Ом.

5. Коэффициент С_0 рассчитывают по формуле (11)

                                  -3     2            -7     3

     С  = -18,91 x 23 + 18,72 x 10   x 23  + 66,2 x 10   x 23  =

      0

     = -425.

Таким образом, ТХС может быть представлена в окончательном виде

      ^                                  -3  2            -7  3

     кси(t) = -425 + 18,91 t - 18,72 x 10   t  - 66,2 x 10   t .    (21)

     Максимальное значение ТХС в  рабочей  области  значений  температуры

 ^

кси_tм, рассчитанное из соотношения (21), составляет  3725  мкОм/Ом  (при

температуре 420°С и t_н = 23°С).

     6. Так как полученные значения S_at (5 мкОм/Ом), S_t (25 мкОм/Ом)  и

 ^

кси_tм (3725 мкОм/Ом) не превышают допускаемых (12 мкОм/Ом, 30 мкОм/Ом  и

5000 мкОм/Ом соответственно), то партию тензорезисторов признают годной.

     7. В паспорте на партию тензорезисторов должно быть указано:

    ^                                  -3  2            -7  3

   кси(t) = -425 + 18,91 t - 18,72 x 10   t  - 66,2 x 10   t ;

                                                            - 6  -1

     S   = 5 мкОм/Ом; S  = 25 мкОм/Ом; сталь альфа = 11 х 10   °С  ;

      at               i

     n = 10; m = 6; ТХС определена при ступенчатом нагреве;

      ^

     кси   = 3725 мкОм/Ом при 420°С.

        tм