Приложение 2. Расчет стальных рам как единых нелинейных систем

Приложение 2

Расчет стальных рам как единых нелинейных систем

1. Настоящие рекомендации распространяются на проектирование стальных рам со сплошностенчатыми колоннами, воспринимающих произвольную статическую нагрузку, за исключением нагрузок от кранов VI-VIII режимов работы, при выполнении одного из следующих условий:

(1)

или

, (2)

где - параметр расчетной нагрузки, с точностью до которого заданы расчетные значения нагрузок;

- параметр критической нагрузки Эйлера, определяемый согласно п. 4 настоящего приложения.

При пользовании настоящими рекомендациями не требуется проверять:

изгибаемые элементы на прочность - по формуле (28) СНиП II-23-81*;

внецентренно-сжатые и сжато-изогнутые стержни, удовлетворяющие условию (1), на устойчивость - по формуле (51) СНиП II-23-81*.

2. Проверка несущей способности рамы производится по формуле

, (3)

где - параметр предельной нагрузки, принимаемый равным

, (4)

но не более ;

- параметр предельной пластической (приспособляющей) нагрузки, определяемый согласно п. 7 настоящего приложения;

- параметр нагрузки пластической усталости, определяемый согласно п. 6 настоящего приложения;

; (5)

, (6)

; (7)

. (8)

В формулах (5) - (8):

- параметр нагрузки краевой текучести, при котором впервые появляется текучесть материала, определяемый согласно п. 5 настоящего приложения;

b - коэффициент, учитывающий соответствие форм деформирования и потери устойчивости рамы, определяемый согласно п. 7 настоящего приложения.

3. В зависимости от числа опасных сочетаний и вида нагрузок расчет рамы выполняется одним из следующих способов:

при большом числе опасных сочетаний нагрузок, когда расчет рамы на каждое сочетание поочередно требует больших затрат машинного времени, параметры , и b определяются из расчета рамы на приспособляемость, а параметр - из расчета на устойчивость при максимально возможной вертикальной нагрузке на раму согласно п. 4 настоящего приложения;

при небольшом числе опасных сочетаний нагрузок расчет рамы выполняется на каждое сочетание поочередно, а в качестве параметра предельной нагрузки принимается наименьшее из полученных значений.

4. Параметр первой критической нагрузки определяется из расчета на устойчивость упругой рамы. Рекомендуется использовать метод перемещений, для которого единичные реакции сжатых стержней принимаются согласно следующей таблице и табулированы в [19]:

5. Параметр нагрузки краевой текучести принимается равным

, (9)

где знак "плюс" перед радикалом относится к случаю , а знак "минус" - к случаю .

Коэффициенты и вычисляются для поперечного сечения, содержащего наиболее напряженное волокно, по формулам:

; , (10)

где ;

W - момент сопротивления поперечного сечения для наиболее напряженного волокна;

- нормальная сила и изгибающий момент, определяемые из линейного расчета рамы при Р = 1 [их значения, приведенные в формулах (10), принимаются положительными];

- изгибающий момент в основной системе рамы, определяемый из линейного расчета при Р = 1.

Если , то параметр принимается равным

. (11)

Основная система рамы образуется из заданной рамы постановкой фиктивных опор против линейных смещений. Для свободных рам основной системой будет соответствующая несвободная рама с фиктивными опорами в уровне ригелей. Для несвободных рам фиктивные опоры ставятся таким образом, чтобы они препятствовали потере устойчивости рамы по низшим и, по возможности, не препятствовали по высшим формам.

6. Параметр нагрузки пластической усталости определяется от нормативных значений нагрузок при повторно-переменном нагружении рамы по формулам, идентичным формулам (9)-(11) настоящего приложения для с заменой на ; на и - на . Диапазоны изменения усилий , и определяются для расчетного поперечного сечения, в котором имеется наибольший размах краевых напряжений.

7. Параметры и b определяются путем аппроксимации зависимости степенной функцией

(), (12)

где - параметр предельной пластической (приспособляющей) нагрузки, определяемый по деформированной схеме;

- условное безразмерное перемещение рамы.

Построение кривой предельного равновесия (приспособляемости) "в большом" производится статическим, кинематическим или другими известными методами.

8. Статический метод предельного равновесия сводится к нахождению (или ) при выполнении следующих ограничений:

, (13)

записанных для всех расчетных поперечных сечений,

где - остаточные изгибаемые моменты в i-том расчетном сечении, определяемые по недеформированной схеме;

;

- предельные значения изгибающих моментов, воспринимаемые i-тым расчетным сечением, определяемые с учетом действия нормальных сил в колоннах и поперечных сил в ригелях по формулам (39), (42)-(44) СНиП II-23-81*. Допускается определять нормальные и поперечные силы из линейного расчета рамы.

Кинематический метод предельного равновесия сводится к нахождению min (или min ) при выполнении следующих ограничений:

, (14)

записанных для каждого j-го кинематически возможного механизма пластического разрушения конструкции,

где и - соответственно работа поперечных (активных) нагрузок при Р = 1 и диссипация энергии, определяемые на рассматриваемом механизме пластического разрушения, равные:

здесь i - номер поперечного сечения, в котором образуется пластический шарнир;

- угол поворота i-того пластического шарнира; знак суммы распространяется на все пластические шарниры.

Оба метода сводятся к задачам математического программирования, линейным относительно параметра , для решения которых рекомендуется использовать симплекс-метод.

9. Расчет на местную устойчивость внецентренно-сжатых и сжато-изогнутых элементов производится в соответствии со СНиП II-23-81* с заменой условной гибкости на приведенную гибкость . Приведенная гибкость принимается по табл. 74 СНиП II-23-81* по соответствующим значениям коэффициентов и . Приведенный относительный эксцентриситет определяется в соответствии со СНиП II-23-81*, а коэффициент снижения расчетных сопротивлений - по формуле

. (16)

Устойчивость из плоскости действия момента должна быть обеспечена постановкой связей в тех поперечных сечениях, где образуются пластические шарниры при расчете рамы методом предельного равновесия по жесткопластической схеме.

10. Расчет рамы производится в следующем порядке:

а) предварительные размеры элементов рамы определяются по СНиП II-23-81*;

б) проверяется область применения настоящих рекомендаций согласно п. 1 настоящего приложения;

в) вычисляется параметр критической нагрузки Эйлера согласно п. 4 настоящего приложения;

г) вычисляется параметр нагрузки краевой текучести материала согласно п. 5 настоящего приложения;

д) вычисляется параметр нагрузки пластической усталости согласно п. 6 настоящего приложения;

е) строится кривая предельного равновесия (приспособляемости) "в большом" согласно п. 8 настоящего приложения;

ж) вычисляются параметры и b кривой предельного равновесия "в большом" согласно п. 7 настоящего приложения;

з) вычисляется параметр предельной нагрузки и проверяется несущая способность рамы согласно п. 2 настоящего приложения;

и) проверяется местная устойчивость элементов согласно п. 9 настоящего приложения;

к) производится уточненный подбор сечений элементов рамы, если параметр предельной нагрузки превышает расчетный параметр более чем на 5%.

Пример

Рассмотрим замкнутую прямоугольную раму, нагруженную вертикальными , и горизонтальными нагрузками, рис. 1 настоящего приложения (в квадратных скобках указаны пределы изменения каждой из действующих нагрузок во времени независимо друг от друга; Р - параметр нагрузки).

Рама является упрощенной моделью ячейки многоярусного каркаса, а при бесконечно жестком нижнем ригеле - одноэтажной рамы. Она подробно исследована Н.В. Корноуховым [19] для оценки устойчивости сложных стержневых систем и использована в п. 6.10* СНиП II-23-81* для определения свободных длин стоек многоэтажных рам. Таким образом, принятая расчетная схема отражает основные особенности целого класса сооружений.

Исходные данные. Рама выполнена из стали марки 18пс с расчетным сопротивлением = 240 МПа.

Стойка из широкополочного двутавра N 20 БЗ имеет следующие геометрические характеристики: h=202 мм; b=100,4 мм; d = 5,6 мм; t = 9,6 мм; H = 4 м; ; ; ; .

Ригель из широкополочного двутавра N 20 Б* имеет следующие геометрические характеристики: h = 194 мм; b = 99,3 мм; d = 4,5 мм; t = 5,5 мм; L = 4 м; ; ; .

Нагрузки: q = 18,355Р, кН/м; Т = 3,234Р, кН; V = 204,93P, кН.

а) Расчет по СНиП II-23-81*

Отношение жесткостей на 1 м длины ригеля и стойки n равно:

.

Изгибающие моменты в угловых сечениях 1 и 7 будут следующими:

от вертикальной нагрузки q (рис. 2, а настоящего приложения):

, ;

от горизонтальной нагрузки Т (рис. 2, б настоящего приложения):

, ;

Коэффициенты расчетной длины стойки определим по формуле (70,б) СНиП II-23-81* при р=n=0,624:

.

В соответствии с п. 5.27* СНиП II-23-81* определяем:

относительный эксцентриситет ;

отношение площади полки к площади стенки:

;

коэффициент влияния формы сечения ;

приведенный относительный эксцентриситет ;

гибкость стойки ;

условную гибкость .

По табл. 74 СНиП II-23-81* принимаем коэффициент снижения расчетных сопротивлений = 0,329.

Из формулы (51) СНиП II-23-81* находим расчетное значение параметра нагрузки :

.

б) Проверка области применения настоящих рекомендаций

Проверим условие (1):

.

Условие (1) выполнено, следовательно, раму можно рассчитывать на основе настоящего Пособия.

в) Вычисление параметра критической нагрузки

Условие потери устойчивости рамы по антисимметричной форме имеет вид трансцендентного уравнения [19] относительно параметра устойчивости v, равного

String(#@182),

где - нормальная сила в стойке при Р = 1, равная

.

Первый (низший) корень трансцендентного уравнения при n=0,624 равен v=2,1. Соответствующее ему значение параметра критической нагрузки будет равно

.

г) Определение параметра нагрузки краевой текучести материала

Согласно п. 5 настоящего приложения основной системой заданной свободной рамы будет соответствующая несвободная рама с фиктивной опорой от горизонтального смещения в уровне ригеля, которая полностью воспринимает горизонтальную нагрузку Т и не воспринимает вертикальную нагрузку q. Поэтому эпюра изгибающих моментов в основной системе рамы будет равна (см. рис. 2, а настоящего приложения), а эпюра изгибающих моментов от лишней неизвестной z (горизонтального смещения рамы) будет равна (см. рис. 2, б настоящего приложения).

Наиболее напряженным поперечным сечением, в котором возникает первый пластический шарнир, является правое опорное сечение ригеля. По формулам (10) и (9) настоящего приложения находим:

;

;

.

д) Определение параметра нагрузки пластической усталости

Наибольший размах напряжений имеет место в крайнем внутреннем волокне концевого сечения правой стойки. В этом волокне наибольшее сжимающее напряжение имеет место при сочетании нагрузок q(P), V(P) и Т(Р), а наименьшее сжимающее (или наибольшее растягивающее) напряжение - при сочетании нагрузок q(0,5P), V(0,5P) и Т(-Р).

По формулам пп. 5 и 6 вычисляем:

= 120,8 кН;

;

;

;

;

.

Согласно п. 6 настоящего приложения параметр нагрузки пластической усталости вычисляется при нормативных значениях нагрузок. Примем среднее значение коэффициента перегрузки k = 1,2.

;

;

.

е) Построение кривой предельного равновесия "в большом"

Для иллюстрации применим оба метода предельного равновесия: статический и кинематический. В силу симметрии рамы и нагрузки будем рассматривать только верхнюю половину рамы. В соответствии с эпюрами моментов (рис. 2, а) и (рис. 2, б) примем безразмерные координаты расчетных поперечных сечений i такими:

; ; ; ; ; ; .

Статический метод

Согласно п. 8 настоящего приложения задача формулируется следующим образом. Найти mах (или max ) при выполнении ограничений:

.

Составляющие изгибающего момента в ригеле равны:

;

.

Эпюра остаточных моментов в ригеле постоянна (рис. 2, в) и равна

.

Максимальное значение поперечной силы имеет место у правой опоры ригеля в расчетном сечении i=7 и равно

, кН.

Отношение среднего касательного напряжения к расчетному сопротивлению стали сдвигу ( согласно табл. 1* СНиП II-23-81*), равно:

.

Согласно п. 5.18 СНиП II-23-81* при значениях , чему соответствует , предельные изгибающие моменты во всех расчетных поперечных сечениях можно определять без учета поперечных сил по формулам (39) и (42) СНиП II-23-81*.

.

С учетом полученных выражений для моментов ограничения-неравенства для семи расчетных поперечных сечений будут такими:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Для примера определим координаты двух точек на кривой предельного равновесия "в большом" , приняв . Тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметров и . В общем случае поставленная задача решается методами линейного программирования, например, симплекс-методом. В данном простом примере решение получено "ручным" счетом. При этом четвертое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных сечениях с координатами и .

Вторую точку на кривой предельного равновесия "в большом" найдем, приняв , тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметров и . Максимальное значение параметра , удовлетворяющее полученной системе ограничений-неравенств, будет равно mах =1,686. При этом шестое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных поперечных сечениях с координатами и . Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия "в большом".

Кинематический метод

Согласно п. 8 настоящего приложения задача ставится следующим образом. Найти min P (или min ) при выполнении условий совместности для всех j кинематически возможных механизмов пластического разрушения рамы:

.

Рама один раз статически неопределима, поэтому для превращения ее в механизм достаточно образования двух пластических шарниров. Первый пластический шарнир образуется в наиболее напряженном расчетном поперечном сечении i=7 на правом опорном конце ригеля, второй - в одном из расчетных сечений i=1-6.

Удельная работа внешних сил и диссипация энергии на рассматриваемых механизмаx пластического разрушения рамы (рис. 3 настоящего приложения) соответственно равны:

;

.

С учетом указанных последних выражений ограничения-неравенства (14) настоящего приложения для каждого из шести возможных механизмов пластического разрушения будут такими:

;

;

;

;

;

.

Для наглядности определим две точки на кривой предельного равновесия "в большом" . Первую точку найдем, приняв . Минимальное значение параметра , удовлетворяющее полученной системе линейных ограничений-неравенств, будет . При этом четвертое из ограничений переходит в строгое равенство, что соответствует образованию второго пластического шарнира в расчетном поперечном сечении с координатой . Вторую точку на кривой предельного равновесия "в большом" найдем, приняв . Минимальное значение параметра , удовлетворяющее полученной системе линейных ограничений-неравенств, будет . При этом шестое из ограничений переходит в строгое равенство, что соответствует образованию второго пластического шарнира в расчетном поперечном сечении с координатой . Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия "в большом".

Как и следовало ожидать, результаты расчета рамы статическим и кинематическим методами совпали.

ж) Определение параметров и b кривой предельного равновесия "в большом"

Подставляя координаты второй точки и в формулу (12) настоящего приложения, найдем . Подставляя координаты первой точки и в это же выражение, получим:

з) Проверка несущей способности рамы

По формулам (4)-(8) настоящего приложения вычислим:

;

;

;

;

;

,

что превосходит параметр расчетной нагрузки =1 на 23,9%.

Следовательно, имеется существенный резерв несущей способности рамы.

и) Проверка местной устойчивости элементов

Поскольку стержни рамы выполнены из прокатных профилей, местная устойчивость считается обеспеченной.

к) Уточненный подбор сечений элементов

Задаемся новыми, уменьшенными сечениями элементов стоек и весь расчет повторяем заново до тех пор, пока не будет выполнено условие

.