Приложение А. Подходы к оценке неопределенности

Приложение А
(справочное)

Подходы к оценке неопределенности

А.1 Подход GUM

Руководство по оценке неопределенности измерений (GUM [1]), изданное ИСО, устанавливает методологию оценки неопределенности измерений, связанную с результатом y в соответствии с моделью процесса измерений. Методология GUM базируется на рекомендациях Международной палаты мер и весов (BIPM) [3], которые признают, что составляющие неопределенности можно оценивать либо на основе статистического анализа серии наблюдений (оценка типа А), либо другими средствами (оценка типа В), например, используя данные публикаций о неопределенности образцов сравнения или эталонов или, при необходимости, мнения специалистов. Отдельные составляющие выражают в виде стандартных отклонений и, при необходимости, затем объединяют.

Выполнение рекомендаций BIPM [3] в GUM [1] начинается с модели измерений в виде функции , связывающей результат измерений y со входными величинами . Тогда в случае независимых входных величин GUM дает неопределенность u(y) в соответствии с уравнением (А.1):

, (А.1)

где - коэффициент чувствительности, оцениваемый в соответствии с уравнением (частная производная y по );

и u(y) - стандартные неопределенности, то есть неопределенности измерений, выраженные в виде стандартных отклонений.

Если переменные не являются независимыми, выражение для неопределенности является более сложным и определяется уравнением:

, (А.2)

где - ковариация между и ;

и - коэффициенты чувствительности, соответствующие уравнению (А.1). На практике часто ковариацию выражают через коэффициент корреляции :

, (A.3)

где - .

В случаях, учитывающих нелинейность модели измерений, уравнение (А.1) расширяют, включая члены более высокого порядка. Эта ситуация более подробно описана в GUM [1]. После вычисления комбинированной стандартной неопределенности с использованием уравнений (А.1)-(A.3) расширенную неопределенность определяют, умножая u(y) на коэффициент охвата k, который выбирают на основе числа степеней свободы для u(y). Более подробно это описано в разделе 13.

В подходе GUM существует неявное предположение, что входные данные измерены или назначены. Если возникают воздействия, которые могут быть не определены через измеримые величины (например, воздействие оператора), удобно сформировать суммарную стандартную неопределенность , которая учитывает такие воздействия, или ввести дополнительные переменные в .

Из-за ориентации на входные величины этот подход иногда называют восходящим походом оценки неопределенности.

Физическая интерпретация u(y) не является однозначной, так как она может включать члены, полученные на основе экспертной оценки, и таким образом u(y) лучше всего рассматривать как функцию, характеризующую степень доверия. Однако можно получить более прямую физическую интерпретацию, определив разброс результатов вычисления u(y), который был бы получен, если бы все входные переменные изменялись случайным образом в соответствии с принятым для них распределением.

A.2 Принцип совместных исследований

А.2.1 Основная модель

Планирование эксперимента при совместных исследованиях, их организация и статистическая обработка подробно описаны в ИСО 5725-1 - ИСО 5725-6. Самая простая модель, лежащая в основе статистической обработки данных совместных исследований, задается уравнением:

, (А.4)

где m - математическое ожидание y;

B - лабораторная составляющая смещения в условиях повторяемости и предположения о нормальном распределении со средним 0 и стандартным отклонением ;

- случайная ошибка в условиях повторяемости и предположения о нормальном распределении со средним 0 и стандартным отклонением .

Кроме того, предполагается, что B и , некоррелированы.

Применение уравнения (А.1) к этой простой модели с учетом того, что определяется через стандартное отклонение повторяемости , полученное при межлабораторном исследовании, приводит к уравнению (А.5) для единственного результата y и уравнению (А.6) для суммарной стандартной неопределенности результата u(y):

и , (A.5)

. (A.6)

По сравнению с ИСО 5725-2 уравнение (A.6) представляет собой лишь оценку стандартного отклонения воспроизводимости .

Так как этот подход ориентируется на полное выполнение метода, его называют иногда нисходящим подходом.

Следует учитывать, что каждая лаборатория вычисляет свою оценку по уравнению , предполагая ее наилучшей оценкой измеряемой величины y для лаборатории. Тогда, если - общая модель, используемая для описания поведения измерительной системы, то, следовательно, при вычислении m предполагается, что дисперсии, характеризующиеся оценками и , являются результатом изменения величин , ..., . Если предполагается, что условия воспроизводимости обеспечиваются для случайной величины при всех существенных воздействиях и применяется физическая интерпретация u(y), приведенная выше, то из этого следует, что u(y) в уравнении (A.6) является оценкой u(y), описанной уравнениями (А.1) или (А.2).

Первый принцип, на котором основаны настоящие рекомендации, состоит в том, что стандартное отклонение воспроизводимости, полученное в совместном исследовании, является основой для оценки неопределенности измерений.

А.2.2 Включение данных правильности

Правильность в общем случае измеряется смещением относительно принятого опорного значения. В некоторых совместных исследованиях правильность метода в конкретной системе измерений (обычно СИ) исследуют путем анализа образца сравнения (CRM) или эталона единицы физической величины с сертифицированным значением , выраженным в единицах этой системы (ИСО 5725-4). Итоговая статистическая модель определяется уравнением:

, (А.7)

где - эталонное значение;

- смещение метода.

Совместное исследование может дать смещение со стандартным отклонением , рассчитанным в соответствии с уравнением:

, (А.8)

где n - количество повторений в каждой лаборатории;

p - количество лабораторий.

Неопределенность , соответствующая этому смещению, задается уравнением:

, (A.9)

где - неопределенность, соответствующая сертифицированному значению , используемому для оценки правильности при совместном исследовании.

Если смещение, оцененное в процессе испытаний, используют при вычислении результатов в лабораториях, соответствующая ему неопределенность, если она не является незначительной, должна включаться в бюджет неопределенности.

А.2.3 Другие воздействия. Объединенная модель

На практике, конечно, и не обязательно включают в себя все изменения, влияющие на результаты измерений. Отсутствие некоторых важных факторов вызвано характером совместных исследований; некоторые факторы могут отсутствовать или не оцениваться случайно или в соответствии с планом эксперимента. Второй принцип, на котором основаны настоящие рекомендации, состоит в том, что воздействия, не наблюдаемые в процессе совместного исследования, или являются незначительными, или должны быть учтены.

Проще всего учесть эти воздействия, рассматривая воздействие отклонений от номинальных значений , необходимых для получения оценки y, и предполагая приближенную линейность этих воздействий. Объединенная модель описывается уравнением:

. (А.10)

Суммирование ведется по всем воздействиям, кроме представленных в B, , e.

Примеры включают в себя воздействие отбора выборки, подготовки испытаний объекта и изменения состава или типа отдельных объектов испытаний. В строгом смысле это линеаризованная форма самой общей модели. При необходимости можно включать в нее члены более высокого порядка или члены, учитывающие корреляцию, как описано в [1].

Очевидно, что центрирование не оказывает влияния на , так что , из чего следует, что для оценки неопределенности, соответствующей y, можно использовать уравнение (А.10) и следующее уравнение:

. (A.11)

Суммирование ведется по воздействиям, не учтенным в других членах уравнения.

Следует отметить, что при оценке выполнения метода условия промежуточной прецизионности также могут быть описаны уравнением (А.10), хотя число членов суммы соответственно будет больше, поскольку по сравнению с условиями воспроизводимости в промежуточных условиях меньшее количество переменных будет меняться случайным образом. В общем случае уравнение (А.10) можно применять к любым условиям прецизионности, учитывая, что воздействия суммируются. В предельном случае, когда и равны нулю, а неопределенность общего смещения не определена, уравнение (А.11) становится идентичным уравнению (А.1).

Из этого следует два вывода:

- во-первых, необходимо продемонстрировать, что количественные данные, доступные для совместного исследования, согласуются с рассматриваемыми результатами испытаний;

- во-вторых, даже при согласованности данных совместного исследования для определения реальной оценки неопределенности с учетом дополнительных воздействий ( в уравнении (А.10)) могут быть необходимы дополнительные исследования и предположения. При учете дополнительных воздействий предполагается применение уравнения (А.1).

И, наконец, настоящие рекомендации, утверждая, что надежную оценку неопределенности измерений можно получать на основе анализа данных воспроизводимости и правильности, полученных в соответствии с ИСО 5725-1 - ИСО 5725-6, используют те же самые предположения, что и изложенные в перечисленных стандартах:

a) если используются данные воспроизводимости, предполагается, что все лаборатории подобны по выполнению работ. В частности, их прецизионность повторяемости для данного объекта испытаний одинакова, а лабораторная составляющая смещения B в уравнении (А.10) соответствует тому же распределению, что и при совместных исследованиях;

b) испытываемые материалы, используемые в исследовании, являются гомогенными и стабильными.

Следующие разделы включают методологию проверки того, что дополнительные воздействия являются незначительными, а если это не так, их неопределенности учтены в оценке неопределенности результата.

А.3 Сопоставление подходов

Приведенные рассуждения описывают два очевидно различных подхода к оценке неопределенности. Подход GUM [1] описывает неопределенность в виде дисперсии, полученной на основе дисперсий соответствующих входных данных математической модели. Другой подход использует факт, что если одни и те же воздействия заметно изменяются в процессе исследования воспроизводимости, наблюдаемая дисперсия является оценкой той же самой неопределенности. На практике значения неопределенности, полученные на основе различных подходов, различны для разных целей, включая:

a) неполные математические модели (то есть при наличии неизвестных воздействий);

b) неполное или несущественное изменение всех воздействующих факторов в процессе оценки воспроизводимости.

Сравнение двух различных оценок, безусловно, полезно для оценки полноты модели измерений. Однако следует обратить внимание, что наблюдаемую повторяемость или другую оценку прецизионности очень часто рассматривают как отдельную составляющую неопределенности даже в подходе GUM [1]. Точно так же индивидуальные воздействия обычно проверяют на их значимость или оценивают количественно до оценки воспроизводимости. На практике для оценки неопределенности часто используют некоторые элементы обоих подходов.

Когда оценка неопределенности для интерпретации сопровождается результатами, важно, чтобы пробелы в каждом подходе были заполнены. Возможности неполных моделей на практике обычно дополняют консервативными оценками, позволяющими расширять ограничения для неопределенности модели. В настоящих рекомендациях для устранения неадекватных изменений входных воздействий рекомендуется определять оценки дополнительных воздействий. Это является гибридным подходом, объединяя элементы и нисходящего, и восходящего подходов.