Приложение 4 (рекомендуемое). Расчет элементов конструкций на прогрессирующее формоизменение

Приложение 4
(рекомендуемое)

Расчет элементов конструкций на прогрессирующее формоизменение

1. Общие положения

1.1. Настоящее приложение к Нормам содержит основные положения и метод расчета на прогрессирующее формоизменение.

1.2. Данный материал рекомендуется использовать при проведении поверочного расчета на прогрессирующее формоизменение по разд. 5.10 Норм.

1.3. Наряду с приведенными методом и формулами допускают использование для расчета других методов и формул, в частности, позволяющих получить результаты с большей точностью.

1.4. При расчете на прогрессирующее формоизменение определяют изменение форм и размеров конструкции, возникающих в результате как процесса накопления необратимых пластических деформаций, непрерывно нарастающих с увеличением числа циклов, так и радиационного распухания.

1.5. Условия возникновения прогрессирующего формоизменения элементов конструкций определяют по теории приспособляемости упругопластических тел при повторных нагружениях и экспериментальным данным.

1.6. Расчет на прогрессирующее формоизменение проводят для случаев, указанных в разд. 5.10 Норм. Правила расчета не распространяются на резьбовые соединения, шпонки, штифты и т.п.

1.7. Расчет проводят для нормальных условий и при нарушении нормальных условий эксплуатации с учетом всех расчетных нагрузок, указанных в п. 5.1.3 Норм.

1.8. На условия возникновения и развития прогрессирующего формоизменения влияют механические нагрузки и температура, а также характер их изменения (по объему конструкции и во времени), геометрические особенности детали (размеры, способ закрепления и т.п.), температурно-временная зависимость механических характеристик материала и радиационное распухание.

1.9. Необходимым условием возникновения прогрессирующего формоизменения является неодновременность достижения максимальных напряжений в различных точках детали. Предельными в этом смысле внешними воздействиями являются циклически повторяющиеся подвижные механические нагрузки и "подвижные" (квазистационарные относительно движущейся системы координат) поля температур.

Поля температур такого типа, в частности, могут возникнуть в стенках сосудов при циклических изменениях уровня теплоносителя, при быстром изменении температуры теплоносителя, при быстром изменении тепловыделения в трубах, внутри которых расположены конструкции, обладающие достаточно большой теплоемкостью.

2. Определения. Расчетные напряжения

2.1. Цикл изменения напряжений во всех режимах при нормальных условиях и при нарушении нормальных условий эксплуатации называется здесь рабочим циклом, а механические, тепловые и иные нагрузки - его параметрами.

2.2. Цикл изменений напряжений, который соответствует началу прогрессирующего формоизменения, т.е. является границей между прогрессирующими формоизменением и приспособляемостью, называют предельным.

Под прогрессирующим формоизменением понимается процесс накопления односторонних пластических необратимых деформаций (перемещений), неодновременных по объему элемента конструкции, малых в каждом цикле изменения напряжений и температур.

Под приспособляемостью конструкции понимается прекращение циклической пластической деформации после некоторого числа первых циклов, главным образом вследствие образования благоприятного поля остаточных напряжений.

2.3. При проведении первого этапа расчета (разд. 5 Норм) используют условные напряжения в рабочем цикле от механических нагрузок и неравномерного нагрева конструкции (вычисленные в предположении идеальной упругости материала). Соответствующие им приведенные напряжения вычисляют по теории наибольших касательных напряжений.

2.4. Условные упругие напряжения в предельном цикле принимают пропорциональными условным упругим напряжениям рабочего цикла, т.е. отношение указанных напряжений n является одинаковым для всех точек конструкции при всех режимах, составляющих цикл.

2.5. Условные упругие напряжения в рабочем цикле вычисляют раздельно для стационарных режимов и ряда моментов времени переходных режимов. Режимы и моменты времени внутри отдельных режимов, для которых подсчитывают напряжения , должны быть выбраны так, чтобы в итоге в каждой точке конструкции можно было найти минимальную (за время цикла) разность предельных (которые выбирают различными в зависимости от эксплуатационных режимов рабочего цикла в соответствии с разд. 3 данного приложения) и приведенных условных упругих напряжений.

2.6. Условные упругие напряжения в рабочем цикле для корпусов и внутрикорпусных деталей реакторов, парогенераторов и сосудов получают суммированием общих или местных мембранных напряжений, общих и местных изгибных напряжений и общих температурных напряжений (включая напряжения от изменения температуры по толщине стенки).

2.7. Условные упругие напряжения в рабочем цикле для трубопроводов получают суммированием общих или местных мембранных напряжений, общих и местных изгибных напряжений, общих температурных напряжений (включая напряжения от градиентов температуры по толщине стенки) и напряжений компенсации (мембранных, кручения и изгибных).

3. Предельные напряжения

3.1. Для переходных режимов работы предельное напряжение принимают равным пределу текучести материала , деленному на коэффициент:

,

где .

Значение принимается в соответствии с пп. 3.7 и 3.8 Норм при действующей в рассматриваемый момент переходного режима температуре точки конструкции.

3.2. Для стационарных режимов работы предельное напряжение принимают равным

,

где ; .

Значения и принимаются в соответствии с пп. 3.7, 3.8 Норм при расчетной температуре металла в стационарном режиме с учетом возможного снижения их значений при нейтронном облучении.

4. Дополнительные условные обозначения

	-	предельное напряжение, МПа
	-	составляющие условного упругого напряжения в рабочем цикле, МПа
n	-	отношение условных упругих напряжений в предельном цикле к соответствующим напряжениям рабочего цикла
, ,	-	меридиональная, кольцевая и радиальная составляющие условного нормального упругого напряжения в рабочем цикле, МПа
, ,	-	составляющие остаточного напряжения, МПа
h	-	половина толщины оболочки (пластинки), мм
z	-	координата, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки (пластинки) по нормали к этой поверхности, мм
t	-	время (от начала цикла), ч
	-	накопленная деформация за цикл, %
	-	необратимое изменение размеров на длине l, мм

5. Последовательность расчета на прогрессирующее формоизменение при отсутствии радиационного распухания

5.1. Вычисленные в разд. 3 настоящего приложения приведенные условные упругие напряжения в рабочем цикле сопоставляют с предельными напряжениями . Если во всех точках конструкции приведенные упругие напряжения не превышают величины , то конструкция работает упруго во всех циклах (начиная с первого). В этом случае расчет на прогрессирующее формоизменение не проводят.

5.2. Если приведенные условные упругие напряжения в рабочем цикле превышают величину в какие-либо моменты времени, то конструкции рассчитывают на прогрессирующее формоизменение.

Расчет выполняют по этапам, причем переход к следующему этапу определяется результатами предыдущего.

5.3. На первом этапе проверяют, прекратится ли одностороннее пластическое деформирование после нескольких первых циклов за счет образования благоприятного поля остаточных напряжений в процессе деформирования. Для этого сопоставляют условные упругие напряжения (или параметры) рабочего и предельного циклов. Расчет предельного (по условиям прогрессирующего формоизменения) цикла проводят методами теории приспособляемости с использованием вычисленных в разд. 2 и 3 напряжений и (для осесимметричных оболочек и круглых пластинок см. разд. 5.5).

5.4. Прогрессирующего формоизменения не будет, если параметры рабочего цикла (механические нагрузки и температуры) не превышают параметров предельного по прогрессирующему формоизменению цикла.

5.5. Для осесимметричных оболочек (цилиндрических, сферических, тороидальных, конических и т.п.) и круглых пластинок, испытывающих в рабочем цикле воздействия осесимметричных нагрузок и температурных полей, оценка условий возникновения прогрессирующего формоизменения делится на два подэтапа:

а) проверяют, возможно ли прекращение накопления односторонних пластических деформаций после ограниченного числа первых циклов за счет перераспределения напряжений в каждом сечении независимо от соседних сечений (т.е. без изменения усилий, вычисленных в каждом сечении оболочки в предположении идеальной упругости материала).

Соответствующее условие формулируется следующим образом: прогрессирующего формоизменения не будет, если в каждом меридиональном сечении оболочки (пластинки) выполняются неравенства

Выполнение последних трех неравенств в (1) проверяют только в тех случаях, когда в каких-либо точках оболочки (пластинки) минимальные (за цикл) значения разностей оказываются меньше, чем минимальные (за цикл) значения разностей и .

Символы min и max указывают, что из всех (отвечающих различным моментам времени t в течение рабочего цикла) значений величин, стоящих в скобках, выбирают минимальные (максимальные), с которыми затем уже проводят операцию интегрирования по толщине стенки;

б) если неравенства, приведенные в разд. 5.5а, не выполняются, то параметры предельного цикла могут быть определены (для цилиндрических и сферических оболочек и круглых пластинок) из диаграмм приспособляемости (разд. 7), построенных для различных типов механических нагрузок и полей температур, а также различных программ изменения температур и нагрузок во времени.

При отсутствии подходящей диаграммы приспособляемости параметры предельного цикла определяют общими методами теории приспособляемости.

5.6. Ниже приводится описание общих методов расчета условий приспособляемости.

5.6.1. Параметры предельного цикла (предельные диапазоны изменения механических нагрузок и температурных полей) являются максимальными значениями параметров (в рассматриваемой задаче), при которых выполняются условия приспособляемости, приведенные в п. 5.6.2, и минимальными значениями параметров, при которых выполняются условия неприспособляемости, приведенные в п. 5.6.5.

5.6.2. Конструкция приспособится к внешним воздействиям, если может быть задано такое распределение не изменяющихся во времени остаточных напряжений (удовлетворяющих условиям равновесия при нулевых внешних нагрузках), при котором суммарные (включающие переменные условные упругие напряжения от внешних воздействий и постоянные остаточные напряжения) приведенные (согласно критерию максимальных касательных напряжений) напряжения не превышают предельных напряжений ни в один момент времени, ни в одной ее точке.

Применительно к осесимметричным конструкциям, когда направления главных напряжений , , известны и не изменяются в течение цикла, условия приспособляемости формулируются следующим образом:

конструкция приспособится к внешним воздействиям, если может быть задано такое распределение не зависящих от времени остаточных напряжений , , (удовлетворяющих условиям равновесия при нулевых нагрузках), которое обеспечивает для всех точек конструкции выполнение неравенства

.

5.6.3. При наличии не изменяющихся во времени механических нагрузок (вес конструкции и присоединенных агрегатов, постоянное гидростатическое давление и т.п.) последние могут быть непосредственно включены в условия равновесия, упомянутые в п. 5.6.2, которые теперь должны выполняться не при нулевых, а при заданных постоянных нагрузках. Соответственно в условиях приспособляемости будут фигурировать не остаточные напряжения, а напряжения, уравновешенные постоянными нагрузками. При этом условные упругие напряжения от указанных нагрузок вычислять не нужно.

5.6.4. При нарушении условий приспособляемости может возникнуть знакопеременное пластическое течение (обычно локального характера) либо накопление односторонней деформации с каждым циклом (прогрессирующее формоизменение), охватывающее весь конструкционный элемент или его часть.

Знакопеременное течение возникает, если хотя бы для одной точки конструкции не могут быть заданы такие постоянные напряжения, при которых их сумма с условными упругими напряжениями от внешних воздействий (имеются в виду приведенные напряжения) не превышала бы напряжения во все моменты времени цикла. В частности, в случае, когда напряжения изменяются в конструкции пропорционально одному параметру, знакопеременное течение возникает, если размах условных упругих напряжений превысит .

При отсутствии знакопеременного течения прогрессирующее формоизменение будет иметь место, если постоянные напряжения, необходимые для того, чтобы суммарные напряжения в каждой точке тела за время цикла не превышали , не удовлетворяют условиям равновесия конструкции при заданных не изменяющихся во времени нагрузках (в частном случае - при нулевых нагрузках, если постоянные внешние силы отсутствуют).

5.6.5. Наряду с приведенными выше "статическими" формулировками для получения верхних оценок условий возникновения прогрессирующего формоизменения могут быть использованы следующие "кинематические" формулировки. Прогрессирующее формоизменение обязательно возникает, если можно задать такое (отличное от нулевого) распределение приращений за цикл необратимых деформаций, удовлетворяющее условиям совместности деформаций, при котором работа минимальных (за цикл) разностей предельных напряжений и упругих напряжений от внешних воздействий (на указанных приращениях необратимых деформаций), вычисленная для всего объема конструкционного элемента, неположительна.

Применительно к осесимметричным конструкциям, когда направления главных напряжений , , известны и не изменяются в течение цикла, условие существования прогрессирующего формоизменения формулируется следующим образом:

прогрессирующее формоизменение имеет место, если можно задать такое распределение ненулевых приращений пластических деформаций за цикл , , , удовлетворяющее условиям совместности и несжимаемости, при котором обеспечивается выполнение неравенства

.

Здесь a = 1, b = 0, если из трех компонентов приращений деформации (, , ) два неотрицательны; a = 0, b = 1, если из трех компонентов приращения деформации (, , ) два отрицательны; индекс i принимает значения , , z; индекс j принимает значения , , z, не совпадающие со значениями i в каждой сумме (поэтому при вычислении каждой суммы индекс j может принимать только одно значение); - компонент разрыва приращений перемещений на поверхности (в направлениях , или , или z);

Не изменяющиеся во времени объемные (собственная масса, инерционные силы ) или поверхностные (распределенные на поверхностях ) внешние нагрузки учитываются дополнительными слагаемыми в правой части неравенства, определяющего условия существования формоизменения:

.

При этом условные упругие напряжения, входящие в левую часть указанного неравенства, вычисляются только от изменяющихся во времени внешних воздействий.

5.6.6. Расчет параметров предельного цикла с помощью пп. 5.6.2 и 5.6.3 сводится к отысканию такого распределения остаточных напряжений, при котором параметры нагрузки или температуры будут иметь максимальные значения при выполнении соответствующих ограничений, указанных в п. 5.6.2 (статический метод расчета). Расчет параметров предельного цикла с помощью п. 5.6.5 сводится к минимизации параметров нагрузки (температуры) по приращениям деформаций, удовлетворяющих ограничениям, указанным в п. 5.6.5 (кинематический метод расчета).

В общем случае указанные вычислительные задачи решаются методами математической теории оптимальных процессов, а при замене дифференциальных уравнений равновесия (или совместности деформаций) системой линейных алгебраических уравнений - методами линейного программирования с использованием соответствующих стандартных или специальных подпрограмм для ЭВМ.

5.6.7. Приближенные нижние оценки параметров предельного цикла (т.е. значения, меньшие или равные параметрам предельного цикла) получают, задавая какие-либо удовлетворяющие условиям равновесия распределения остаточных напряжений и вычисляя максимальные значения нагрузок и температур, при которых приведенные напряжения (отвечают сумме остаточных и условных упругих напряжений) не превышают .

Например, можно принять, что остаточные напряжения во всех точках конструкции пропорциональны термоупругим напряжениям в один из моментов времени цикла (такое распределение удовлетворяет условиям равновесия при нулевых внешних нагрузках) или что некоторые компоненты остаточных напряжений (, или , или ) пропорциональны минимальным за цикл разностям между и соответствующими упругими напряжениями ( , , ). В последнем случае остальные компоненты остаточных напряжений находятся из условий равновесия, и затем вычисляется соответствующая нижняя оценка параметров предельного цикла.

5.6.8. Приближенные верхние оценки для параметров предельного цикла могут быть получены при использовании кинематических методов, т.е. методов, опирающихся на кинематическую теорему (п. 5.6.5). Преимуществом этих методов является четкое кинематическое представление о характере возникающей циклической пластической деформации, ее механизме. Они используются лишь для определения условий прогрессирующего формоизменения, поскольку знакопеременное течение носит локальный характер и соответствующее предельное условие определяется на основании указанного выше приближенного критерия (изменение упругих напряжений в точке конструкции превышает ).

В основе приближенного кинематического метода лежит предположение о возможном (удовлетворяющем условиям совместности деформаций) распределении приращений пластической деформации за цикл. Обычно удобно такое распределение (механизм разрушения) находить, задавая некоторое распределение приращений остаточных перемещений в точках конструкции, и тогда приращения деформаций могут быть вычислены с помощью известных соотношений (типа соотношения Коши). При этом иногда могут быть использованы результаты решения аналогичных задач предельного равновесия, поскольку механизмы "мгновенного" и прогрессирующего разрушений в общем однотипны, отличие состоит в их реализации ("мгновенно" в условиях предельного равновесия и поэтапно в течение цикла при прогрессирующем формоизменении).

Наиболее просто использовать приближенные кинематические методы в осесимметричных задачах, поскольку распределения приращений перемещений здесь часто могут быть представлены в виде функций одной координаты (диск, круглая пластина, труба), иногда с применением дополнительных параметров, которые определяются в ходе решения путем минимизации искомых нагрузок. В задачах этого типа иногда удается с помощью элементарного метода получить точные решения, удовлетворяющие не только кинематическим (реализация некоторого механизма прогрессирующего формоизменения), но и статическим (отсутствие точек, в которых напряжения в течение цикла превышали бы ) условиям.

При заданном (принятом) механизме разрушения параметры предельного цикла при использовании кинематического метода определяются с помощью неравенства типа приведенного в п. 5.6.5, в необходимых случаях дополненного членами, учитывающими постоянные внешние нагрузки.

Другой вариант кинематического метода (так называемый метод догрузки) позволяет применить условия равновесия, записанные в обычной форме; для этого предварительно должна быть использована связь между приращениями пластической деформации за цикл и действующими напряжениями (напряжения, вызывающие соответствующую пластическую деформацию, должны достигать предела текучести, при этом вектор деформации должен быть перпендикулярен соответствующей грани шестиугольника, определяющего условия текучести при использовании критерия максимальных касательных напряжений).

5.7. На втором этапе рекомендуется рассчитывать кинетику упругопластического деформирования, если прекращение прогрессирующего формоизменения по данным первого этапа невозможно и необходимо обосновать возможность работы конструкции за пределами приспособляемости.

При этом проверяют, не приведет ли прогрессирующее формоизменение или комбинация его со знакопеременным пластическим течением (знакопеременное пластическое течение характеризуется тем, что приращение пластической деформации за цикл равно нулю) к нарушению нормальных условий эксплуатации конструкции в течение заданного срока службы. С этой целью найденные из расчета значения деформаций сопоставляют с допускаемыми, установленными на основании эксплуатационных требований.

При расчете деформаций необходимо учитывать изменение механических характеристик материала вследствие знакопеременного пластического течения (в том числе ускорение ползучести вследствие предшествующей пластической деформации противоположного знака, нейтронного облучения, структурных превращений, влияния поверхностно-активных сред).

В тех случаях, когда проверка на прогрессирующее формоизменение конструкции расчетным путем затруднительна, рекомендуются натурные испытания или испытания на моделях.

5.8. В частных случаях для конструкционных элементов типа стержней с сечением в виде круга или правильного многоугольника, толстостенных и тонкостенных труб постоянной толщины с аналогичными сечениями, свободных пластин постоянной толщины, изготовленных из материалов, указанных в табл. П4.1 и работающих при теплосменах в пароводяной среде или в натрии при максимальных температурах, не превышающих указанные в табл. П4.1 значения , накопленная деформация за цикл не превышает значений в зонах, где краевой эффект практически не влияет на значение напряжений.

Таблица П4.1. Значения характеристик формоизменения при теплосменах и нейтронном облучении в различных средах

Основной металл и равнопрочные сварные соединения	Состояние	, К (°C)			,
		Пароводяная среда	Натрий, К (200°C)	Натрий, К (400°C)
08Х16Н11М3	Аустенизация	773 (500)	803 (530)	823 (550)
12Х18Н9 12Х18Н10Т	"	773 (500)	803 (530)	823 (550)
08Х16Н11М3 12Х18Н9 12Х18Н10Т	Наклеп 15% + стабилизация	823 (550)	853 (580)	853 (580)
ХН35ВТ	Аустенизация + старение	873 (600)	873 (600)	873 (600)
1Х16Н36-МБТЮР	Аустенизация + стабилизация
10Х2М 12Х2М1ФБ	Нормализация + отпуск	793 (520)	823 (550)	833 (560)	-
15Х2МФА 15Х2НМФА	Закалка + отпуск	793 (520)	-	-	0

Если для данного конструкционного элемента деформация, накопленная за ресурс, является допустимой, дальнейшие расчеты на формоизменение могут не проводиться. Этот вывод справедлив при следующих условиях:

а) напряжения от механических нагрузок несущественны

; ;

б) температура среды, омывающей конструкцию, изменяется во всем объеме настолько быстро, что градиенты во всех сечениях деталей цилиндрической формы (соответственно для всех нормалей к пластинке) оказываются одинаковыми; градиенты температур в осевом направлении (для деталей цилиндрической формы) или вдоль поверхности (для пластинки) таковы, что соответствующие термоупругие напряжения составляют не более ;

в) отсутствуют условия, которые смогли бы привести к изгибной деформации, т.е. начальная форма деталей и температурные поля строго симметричны относительно продольных осей (или срединной плоскости - для пластины); в деталях нет начальных технологических напряжений, релаксация которых привела бы к изгибу; отсутствует опасность коробления в связи с тонкостенностью.

Для перечисленных выше конструкционных элементов при максимальных температурах цикла, превышающих значения , указанные в табл. П4.1, но не более 923 К (650°C), а также для стержней и труб, имеющих регулярные продольные ребра, выточки или кольцевые выточки с геометрическими параметрами , при числе ребер или выточек не более 10 и К (650°C), верхняя оценка накопленной за один цикл деформации (продольной или поперечной без учета изгиба) может быть найдена с помощью приближенной эмпирической зависимости

,

где - температура приспособляемости по допуску ; К (50°С) для стержней и толстостенных труб; К (0°С) для пластин и тонкостенных труб (оболочек); H - толщина трубы, мм; - минимальный внутренний диаметр трубы (для сплошных стержней ), мм; К (-5°С); - число ребер или выточек; - глубина выточек или высота ребра, мм; - радиус закругления выточек, мм; - максимальная температура теплосмен, К (°C).

При нестационарных режимах теплосмен величина необратимого формоизменения определяется линейным суммированием.

6. Пример расчета цилиндрической оболочки

6.1. Данный пример иллюстрирует порядок проведения расчета на прогрессирующее формоизменение. В примере условно выбраны характеристики конструкции и параметры нагружения (в частности, задан простейший - линейный закон распределения температуры).

6.2. Рассчитываем участок длиной цилиндрической оболочки (рис. П4.1), расположенный вдали от ее краев. Оболочка подвергается действию внутреннего давления p(t) (не изменяющегося по ее длине) и температуры T(t), изменяющейся по линейному закону по толщине оболочки в каждый момент времени t:

.

Здесь - температура срединной поверхности; - разность температур наружной и срединной поверхностей оболочки.

Целью расчета является проверка допустимости заданного внутреннего давления и температур оболочки с точки зрения прогрессирующего формоизменения.

6.3. Размеры оболочки приведены на рис. П4.1. Изменение давления и температуры в течение рабочего цикла иллюстрирует рис. П4.2. В стационарном режиме в процессах пуска и остановки температуры наружной и внутренней поверхностей оболочки и принимаются одинаковыми. Значения , и p(t) для ряда моментов времени, указанных на рис. П4.2, приведены в табл. П4.2.

Таблица П4.2. Параметры нагружения

t
,	К (°C)	573 (300)	573 (300)	873 (600)	873 (600)	856 (583)	867,5 (594,5)	794 (521)	765,5 (492,5)	734 (461)	709 (436)	667 (394)	639 (366)	573 (300)	573 (300)
,	К (°C)	273 (0)	273 (0)	273 (0)	273 (0)	277,5 (4,50)	284,25 (11,25)	289,56 (16,56)	292,55 (19,55)	293 (20,00)	289,56 (16,56)	285 (12,00)	281,75 (8,75)	273 (0)	273 (0)
p,	МПа	0 0	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	1,2 (0,12)	0 0

Механические характеристики материала оболочки даны в табл. П4.3. При температуре 293 К (20°C) модуль упругости МПа (), температурный коэффициент линейного расширения ( 1/°C) и коэффициент Пуассона . Расчетный срок службы оболочки 100 000 ч.

Таблица П4.3. Механические характеристики материала оболочки

T,	К (°C)	293 (20)	573 (300)	623 (350)	673 (400)	723 (450)	773 (500)	823 (550)	873 (600)
	МПа	210 (21)	150 (15)	150 (15)	140 (14)	140 (14)	130 (13)	120 (12)	120 (12)
,	МПа	-	-	-	-	181 (18,1)	169 (16,9)	137 (13,7)	100 (10,0)

6.4. Определяем предельные напряжения :

а) для стационарного режима работы в соответствии с разд. 3.2

МПа (8,0 );

б) для режимов пуска, срабатывания аварийной защиты и остановки найденные согласно разд. 3.1 предельные напряжения

приведены в зависимости от температуры в табл. П 4.4.

Таблица П4.4. Предельные напряжения

, К (°C)	293 (20)	573 (300)	623 (350)	673 (400)	723 (450)	773 (500)	823 (550)	873 (600)
	140,0 (14,00)	100,0 (10,00)	100,0 (10,00)	93,3 (9,33)	93,3 (9,33)	86,7 (8,67)	80,0 (8,00)	80,0 (8,00)

6.5. Определяем условные упругие напряжения в рабочем цикле. Кольцевые напряжения от внутреннего давления при p = 1,2 МПа (0,12 ) (см. рис. П4.2) равны 60 МПа (6 ), осевые напряжения от механической нагрузки равны нулю.

Термоупругие напряжения при линейном распределении температуры по толщине стенки находим по формуле

.

Здесь , - кольцевые и осевые термоупругие напряжения; координата z отсчитывается от срединной поверхности оболочки по нормали к ней; z = h на наружной поверхности оболочки и z = -h на внутренней поверхности.

В стационарном режиме, при пуске и остановке термоупругие напряжения равны нулю [поскольку ]. Значения напряжений для ряда моментов времени режима срабатывания аварийной защиты приведены в табл. П4.5 для точек, лежащих на внутренней (z = -h) поверхности оболочки.

Таблица П4.5. Термоупругие напряжения

t
, МПа	0 (0)	21,8 (2,18)	54,6 (5,46)	80,4 (8,04)	95,0 (9,50)	97,1 (9,71)	80,4 (8,04)	58,3 (5,83)	42,5 (4,25)	0 (0)

6.6. Сопоставляем приведенные условные упругие напряжения с предельными напряжениями. Приведенные условные упругие напряжения подсчитываем согласно критерию наибольших касательных напряжений:

,

где ; .

В момент времени на внутренней поверхности оболочки МПа (15,71 ). Температура точек внутренней поверхности оболочки в этот момент, определенная по данным табл. П4.1, составляет 714 К (441°C); соответствующее предельное напряжение , найденное по данным табл. П4.3 с помощью линейной интерполяции, составляет 93,3 МПа (9,33 ). Таким образом, приведенное напряжение превышает предельное. Сопоставления приведенных напряжений с предельными в других точках оболочки и в другие моменты времени проводить не нужно, поскольку полученный выше результат требует перехода к следующему этапу расчета: проверка, может ли пластическая деформация прекратиться за счет перераспределения напряжений по толщине оболочки.

6.7. Определяем экстремальные значения разностей предельных и условных упругих напряжений. Чтобы проверить, выполняются ли неравенства, записанные в п. 5.5а, вычисляем величины

, ,

, .

Таблица П4.6. Разности предельных и условных упругих напряжений

Режим	Пуск							Стационарный			Остановка
t
T, К (°C)	573 (300)			573 (300)		873 (600)			873 (600)		573 (300)	573 (300)
, МПа	100 (10)			100 (10)		80 (8)			80 (8)		100 (10)	100 (10)
, МПа	100 (10)			100 (10)		80 (8)			80 (8)		100 (10)	100 (10)
, МПа	-100 (-10)			-100 (-10)		-80 (-8)			-80 (-8)		-100 (-10)	-100 (-10)
, МПа	100 (10)			40 (4)		20 (2)			20 (2)		40 (4)	100 (10)
, МПа		-100 (-10)		-160 (-16)		-140 (-14)			-140 (-14)		-16 (-160)		-100 (-10)

Значения стоящих в скобках величин для стационарного режима и ряда моментов времени режимов пуска и остановки [тех, в которые ] приведены в табл. П 4.6. По толщине оболочки эти значения не изменяются для указанных режимов. Экстремальные для данных режимов значения рассматриваемых величин обведены рамками [нетрудно убедиться, что при в моменты времени, не указанные в табл. П 4.6, экстремальные значения не достигаются].

Далее отыскиваем разности предельных и условных упругих напряжений для ряда моментов режима срабатывания аварийной защиты . Для определения экстремальных значений этих разностей достаточно рассмотреть моменты времени , , , , причем условные упругие и предельные напряжения в момент совпадают с соответствующими значениями в момент (см. табл. П4.6). В моменты времени , и условные упругие напряжения падают, а предельные напряжения возрастают по сравнению с (см. табл. П4.1, П4.3 и П4.4), поэтому указанные моменты времени не рассматриваем. Результаты расчета приведены в табл. П4.6.

Для сохранения общности методики в табл. П4.6 учтена температурная зависимость предельных напряжений . Ввиду малости перепадов температуры по толщине в данном примере эта зависимость слабо влияет на результаты расчета, однако в других задачах (в частности, при параболических законах распределения температуры) она оказывается иногда существенной.

Расчет разностей предельных и упругих напряжений для ряда моментов времени иллюстрируют рис. П4.3 и П4.4; жирными линиями выделены соответствующие минимальные (максимальные) за цикл значения.

Значения разностей предельных и условных упругих напряжений за весь рабочий цикл приведены в табл. П4.6 и П4.7, а экстремальные значения этих разностей - в табл. П4.8.

Таблица П4.7. Разности предельных и условных упругих напряжений в зависимости от z/h

	z/h	-1,0		-0,8	-0,6	-0,4		-0,2			0	0,2			0,4		0,6		0,8	1,0
	T, К (°C)	714 (441)		718 (445)	722 (449)	726 (453)		730 (457)			734 (461)	738 (465)			742 (469)		746 (473)		750 (477)	754 (481)
	#, МПа	93,3 (9,33)		93,3 (9,33)	93,3 (9,33)	92,6 (9,26)		92,4 (9,24)			91,8 (9,18)	91,3 (9,13)			90,8 (9,08)		90,3 (9,03)		89,7 (8,97)	89,2 (8,92)
	, МПа	97,1 (9,71)		77,7 (7,77)	58,3 (5,83)	38,8 (3,88)		19,4 (1,94)			0 (0)	-19,4 (-1,94)			-38,8 (-3,88)		-58,3 (-5,83)		-77,7 (-7,77)	-97,1 (-9,71)
	, МПа	-3,8 (-0,38)		15,6 (1,56)	35,0 (3,50)	53,8 (5,38)		73,0 (7,30)			91,8 (9,18)	110,7 (11,07)			129,6 (12,96)		148,6 (14,86)		167,4 (16,74)	186,3 (18,63)
	, МПа	-190,4 (-19,04)		-171,0 (-17,10)	-151,6 (-15,16)	-131,4 (-13,14)		-111,8 (-11,18)			-91,8 (-9,18)	-71,9 (-7,19)			-52,0 (-5,20)		-32,0 (-3,20)		-12,0 (-1,20)	7,9 (0,79)
	, МПа	157,1 (15,71)		137,7 (13,77)	118,3 (11,83)	98,8 (9,88)		79,4 (7,94)			60,0 (6,00)	40,6 (4,06)			21,8 (2,18)		1,7 (0,17)		-17,7 (-1,77)	-37,1 (-3,71)
	, МПа	-63,8 (-6,38)		-44,4 (-4,44)	-25,0 (-2,50)	-6,2 (-0,62)		13,0 (1,30)			31,8 (3,81)	50,7 (5,07)			69,6 (6,96)		88,6 (8,86)		107,6 (10,76)	126,3 (12,63)
	, МПа	-250,4 (-25,04)		-231,0 (-23,10)	-211,6 (-21,16)	-191,4 (-19,14)		-171,8 (-17,18)			-151,8 (-15,18)	-131,9 (-13,19)			-112,0 (-11,20)		-92,0 (-9,20)		-72,0 (-7,20)	-52,1 (-5,21)
	T, К (°C)	746 (473)		750 (477)	754 (481)	758 (485)		762 (489)			765,5 (492,5)	769 (496)			773 (500)		777 (504)		781 (508)	785 (512)
	, МПа	90,3 (9,03)		89,7 (8,97)	89,2 (8,92)	88,7 (8,87)		88,2 (8,82)			87,7 (8,77)	87,2 (8,72)			86,7 (8,67)		86,2 (8,62)		85,6 (8,56)	85,1 (8,51)
	, МПа	95,0 (9,50)		76,0 (7,60)	57,0 (5,70)	38,0 (3,80)		19,0 (1,90)			0 (0)	-19,0 (-1,90)			-38,0 (-3,80)		-57,0 (-5,70)		-76,0 (-7,60)	-95,0 (-9,50)
	, МПа		-4,7 (-0,47)	13,7 (1,37)	32,2 (3,22)	50,7 (5,07)		69,2 (6,92)			87,7 (8,77)	106,2 (10,62)			124,7 (12,47)		143,2 (14,32)		161,6 (16,16)	180,1 (18,01)
	, МПа	-185,3 (-18,53)		-165,7 (-16,57)	-146,2 (-14,62)	-126,7 (-12,67)		-107,2 (-10,72)			-87,7 (-8,77)	-68,2 (-6,82)				-48,7 (-4,87)	-29,2 (-2,92)		-9,6 (-0,96)	9,9 (0,99)
	, МПа	155,0 (15,50)		136,0 (13,60)	117,0 (11,70)	98,0 (9,80)		79,0 (7,90)			60,0 (6,00)	41,0 (4,10)			22,0 (2,20)		3,0 (0,30)		16,0 (1,60)	-35,0 (-3,50)
	, МПа		-64,7 (-6,47)	-46,3 (-4,63)	-27,8 (-2,78)	-9,3 (-0,93)		9,2 (0,92)			27,7 (2,77)	46,2 (4,62)			64,7 (6,47)		83,2 (8,32)		101,6 (10,16)	120,1 (12,01)
	, МПа	-245,3 (-24,53)		-225,3 (-22,53)	-266,2 (-26,62)	-186,7 (-18,67)		-167,2 (16,72)			-147,7 (-14,77)	-128,2 (-12,82)			-108,7 (-10,87)			-89,2 (-8,92)	-69,6 (-6,96)	-50,1 (-5,01)
	T, К (°C)	777 (504)		781 (508)	784 (511)	787 (514)		791 (518)			794 (521)	797 (524)			801 (528)		804 (531)		807 (534)	811 (538)
	, МПа	86,2 (8,62)		85,6 (8,56)	85,2 (8,52)	84,8 (8,48)		84,3 (8,43)			83,9 (8,39)	83,5 (8,35)			82,9 (8,29)		82,5 (8,25)		82,1 (8,21)	81,6 (8,16)
	, МПа	80,4 (8,04)		64,3 (6,43)	48,2 (4,82)	32,2 (3,22)		16,1 (1,61)			0 (0)	-16,1 (-1,61)			-36,6 (-3,66)		-48,2 (-4,82)		-64,3 (-6,43)	-80,4 (-8,04)
	, МПа	5,8 (0,58)		21,3 (2,13)	37,0 (3,70)	52,6 (5,26)			68,2 (6,82)		89,3 (8,93)	99,6 (9,96)			115,1 (11,51)		130,7 (13,07)		146,4 (14,64)	162,0 (16,20)
	, МПа	-166,6 (-16,66)		-149,9 (-14,99)	-133,4 (-13,34)	-117,0 (-11,70)		-100,4 (-10,04)			-83,9 (-8,39)		-67,4 (-6,74)		-50,7 (-5,07)		-34,3 (-3,43)		-17,8 (-1,78)	-1,2 (-0,12)
	, МПа	140,4 (14,04)		124,3 (12,43)	108,2 (10,82)	92,2 (9,22)		76,1 (7,61)			60,0 (6,00)	43,9 (4,39)			27,8 (2,78)		11,8 (1,18)		-4,3 (-0,43)	-20,4 (-2,04)
	, МПа	-54,2 (-5,42)		-38,7 (-3,87)	-23,0 (-2,30)	-7,4 (-0,74)			8,2 (0,82)		23,9 (2,39)	39,6 (3,96)			55,1 (5,51)		70,7 (7,07)		86,4 (8,64)	102,0 (10,20)
	, МПа	-226,6 (-22,66)		-209,9 (-20,99)	-193,4 (-19,34)	-167,0 (-16,70)		-160,4 (-16,04)			-143,9 (-14,39)	-127,4 (-12,74)			-110,7 (-11,07)		-94,3 (-9,43)		-77,8 (-7,78)	-61,2 (-6,12)

Таблица П4.8 Экстремальные значения разностей напряжений

z/h	-1,0	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
МПа	-4,7 (-0,47)	13,7 (1,37)	32,2 (3,22)	50,7 (5,07)	68,2 (6,82)	80,0 (8,00)	80,0 (8,00)	80,0 (8,00)	80,0 (8,00)	80,0 (8,00)	80,0 (8,00)
МПа	-80,0 (-8,00)	-80,0 (-8,00)	-80,0 (-8,00)	-80,0 (-8,00)	-80,0 (-8,00)	-80,0 (-8,00)	-67,4 (-6,74)	-48,7 (-4,87)	-29,2 (-2,92)	-9,6 (-0,96)	9,9 (0,99)
МПа	-64,7 (-6,47)	-46,3 (-4,63)	-27,8 (-2,78)	-9,3 (-0,93)	8,2 (0,82)	20,0 (2,00)	20,0 (2,00)	20,0 (2,00)	20,0 (2,00)	20,0 (2,00)	20,0 (2,00)
МПа	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-100,0 (-10,00)	-89,2 (-8,92)	-69,6 (-6,96)	-50,1 (-5,01)

6.8. Выполнение условий отсутствия прогрессирующего формоизменения, приведенных в разд. 5.5а, проверяется численным интегрированием с использованием данных табл. П4.8:

Н/мм (12,16 кгс/мм) > 0;

Н/мм (-11,62 кгс/мм) < 0;

(8 ) > 0;

(-2,56 ) < 0;

Н/мм (0,09 кгс/мм) > 0;

Н/мм (-18,55 кгс/мм) < 0;

(6 ) > 0;

(-2,07 ) < 0;

В итоге приходим к выводу, что прогрессирующего формоизменения оболочки при заданных условиях работы не будет.

7. Диаграммы приспособляемости для некоторых типовых расчетных схем

7.1. Формулы и диаграммы приспособляемости для цилиндрических и сферических оболочек, толстостенных сферических сосудов и круглых пластинок при повторных механических и тепловых воздействиях приведены ниже. Диаграммы построены для различных типов механических нагрузок (распределенных, сосредоточенных) и полей температуры (температура изменяется по толщине, вдоль образующей), различных программ изменения температуры и нагрузок во времени, а также различных условий закрепления оболочки или пластинки. При этом принималось и .

Основные обозначения:

T	-	температура, К (°C);
p	-	давление, Па ;
P	-	сосредоточенная сила, Н (кгс);
n, m, f, q	-	параметры нагрузки;
	-	параметры температуры;
R	-	радиус срединной поверхности оболочки (радиус пластинки), мм:
.

Приведенные здесь формулы и диаграммы могут быть использованы в тех случаях, когда нагрузки, температуры и геометрические характеристики элемента конструкции соответствуют условиям, для которых приведены соответствующие графики и формулы.

Для использования формул и диаграмм следует вычислить параметры механических и тепловых воздействий m, p, q, n, для заданной конструкции и условий работы и сопоставить их значения с предельными, указанными на диаграмме или вычисленными с помощью приведенной здесь формулы. Конструкция приспособится к заданным внешним воздействиям, если параметры нагрузок и температура, отвечающие заданным условиям работы, не превышают предельных значений.

При использовании приведенных ниже формул и диаграмм расчеты условий формоизменения по разд. 5 не проводятся.

7.2. Цилиндрические сосуды и трубопроводы нагружены постоянно действующим давлением и циклически изменяющейся температурой (вдоль оси давление и температура не изменяются), ползучесть материала отсутствует. Предельные значения размахов температурных напряжений определяются из следующих соотношений:

а) при линейном изменении температуры по толщине

для ;

для ;

б) при параболическом постоянном увеличении или уменьшении температуры по толщине стенки

при ;

если , то

при ;

при ;

при .

Для промежуточных значений допускается линейная интерполяция.

7.3. Цилиндрическая труба (рис. П4.5) подвержена воздействию температурного фронта (рис. П4.6 - П4.8). Температурный фронт движется в любом направлении вдоль оси трубы. По толщине трубы температура не изменяется.

Повторные проходы температурного фронта, показанного на рис. П4.6, приводят к уменьшению диаметра трубы и увеличению ее длины при .

Повторные проходы температурного фронта, показанного на рис. П4.7, приводят к увеличению диаметра трубы и уменьшению ее длины при .

Если , повторные проходы температурного фронта, показанного на рис. П4.8, делают поведение трубы неустойчивым. Изменение характера зависимости T(x) или изменение предельного напряжения ведет либо к увеличению, либо к уменьшению диаметра трубы после каждого прохода температурного фронта.

7.4. Цилиндрическая оболочка конечной длины (рис. П4.9) нагружена внутренним давлением и перепадом температуры по толщине стенки

;

,

где ; ; ; .

Параметры нагружения ; ; ; .

Диаграммы приспособляемости цилиндрической оболочки конечной длины со свободными краями приведены на рис. П4.10, со свободно опертыми краями - на рис. П4.11, П4.12, с защемленными краями - на рис. П4.13 - П4.15.

7.5. Цилиндрическая оболочка (рис. П4.16) нагружена внутренним давлением и перепадом температуры по толщине стенки; на краю приложены краевые изгибающий момент M(t) и перерезывающая сила Q(t):

; ;

; ,

где ; ; ; .

Параметры нагружения:

; ; .

Диаграммы приспособляемости для края цилиндрической оболочки при различных значениях параметров f и приведены на рис. П4.17 - П4.20.

7.6. Длинная цилиндрическая оболочка (рис. П4.21) нагружена распределенным по круговому сечению усилием P и перепадом температуры по толщине стенки:

P = const; ,

где ; ; ; .

Параметры нагружения:

; .

Диаграммы приспособляемости приведены на рис. П4.22.

7.7. Замкнутая сферическая оболочка (рис. П4.23) нагружена внутренним давлением и перепадом температуры по толщине стенки:

; ,

где ; ; ; .

Параметры нагружения:

; .

Диаграммы приспособляемости для замкнутой сферической оболочки приведены на рис. П4.24.

7.8. Опертая сферическая оболочка (рис. П4.25) нагружена внутренним давлением и перепадом температуры по толщине стенки:

p* = const; ,

где ; ; ; .

Параметры нагружения:

; .

На рис. П4.26 приведены диаграммы приспособляемости для опертой сферической оболочки .

7.9. Защемленная сферическая оболочка (рис. П4.27) нагружена внутренним давлением и перепадом температуры по толщине стенки:

p* = const; ;

где ; ; ; .

Параметры нагружения и температурный перепад - см. разд. 7.8.

На рис. П4.28 приведены диаграммы приспособляемости для защемленной сферической оболочки.

7.10. Толстостенный замкнутый сферический сосуд нагружен внутренним давлением p* = const и перепадом температуры по толщине стенки:

,

где ; ; ; k = a/b; ;

- температура на наружной поверхности; - температура на внутренней поверхности; r - текущий радиус; b - наружный радиус; a - внутренний радиус.

Параметры нагружения:

; .

На рис. П4.29 приведены диаграммы приспособляемости для сферического толстостенного сосуда для ряда значений k.

7.11. Круглая свободно опертая пластинка (рис. П4.30) нагружена равномерно распределенным давлением и температурным полем:

; ,

где .

Параметры нагружения:

;

.

На рис. П4.31 приведены диаграммы приспособляемости для круглой свободно опертой пластинки, нагруженной равномерно распределенным давлением и температурным полем.

7.12. Круглая свободно опертая пластинка (рис. П4.32) нагружена попеременно распределенным давлением и изгибающим моментом:

; .

Параметры нагружения:

; .

На рис. П4.33 приведена диаграмма приспособляемости для круглой свободно опертой пластинки, нагруженной попеременно распределенным давлением и изгибающим моментом.

7.13. Круглая пластинка, защемленная по краю, нагружена равномерно распределенным давлением и температурным полем (рис. П4.34). Давление изменяется в следующих пределах: ; параметр нагружения по давлению .

На рис. П4.35 и П4.36 приведены диаграммы приспособляемости для круглой пластинки, защемленной по краю, для следующих температурных полей:

; ; ;

параметр температуры (рис. П4.35);

;

; параметр температуры (рис. П4.36).

7.14. Свободно опертая круглая пластинка (рис. П4.37) нагружена усилием P = const, распределенным по кольцу, и температурным полем.

Параметры нагружения:

; .

На рис. П4.38, П4.39 приведены диаграммы приспособляемости для свободно опертой круглой пластинки с распределенным по кольцу усилием для следующих температурных полей:

(рис. П4.38);

(рис. П.4.39).

Здесь при ;

при ;

; k = a/R.

7.15. Свободно опертая круглая пластинка со ступенчатым изменением толщины (рис. П4.40) нагружена сосредоточенной силой P* и температурным полем:

P* = const; при и

при .

Здесь ; .

Параметры нагружения:

; ,

где ; ; k = a/R.

Условие знакопеременного течения:

;

при ;

; при .

Здесь ; ; .

Условие прогрессирующего формоизменения:

при x(k) < 1;

при x(k) > 1.

Здесь .

На рис. П4.41 приведены диаграммы приспособляемости для свободно опертой круглой пластинки со ступенчатым изменением толщины, нагруженной сосредоточенной силой.

7.16. Для цилиндрических труб, нагруженных внутренним давлением (или осевой силой) без изгиба при циклических изменениях температуры, равномерно распределенной вдоль оси трубы и изменяющейся по толщине, условия начала формоизменения (допуск ) и деформации, накапливаемые за цикл, могут быть определены в диапазоне рабочих температур до 925 К (650°C) при из рис. П4.42 в зависимости от . Здесь - предел ползучести при ч и накопленной пластической деформации 0,2%; - размах температурных напряжений; - напряжения от давления.

8. Метод определения значения необратимого формоизменения в условиях нейтронного облучения

8.1. Метод распространяется на детали, перечисленные в п. 5.8.

8.2. При оценке, составляющей значения необратимого формоизменения от действия нейтронного излучения, не учитывается различие интегральных доз облучения по сечению детали.

8.3. Необратимое накопленное изменение размеров при флюенсе нейтронов не должно превышать допускаемые необратимое изменение размеров и флюенс нейтронов , определяемые приближенно в интервале рабочих температур 623-923 К (350-650°C) по эмпирической формуле

,

где , °C; - характеристика распухания материала при облучении нейтронами с энергией более 0,1 МэВ (см. табл. П4.1); - наибольшее приведенное напряжение от механической нагрузки , МПа ; 1/МПа (0,24 ).

8.4. Осевое формоизменение при нейтронном облучении деталей при стационарных осевых температурных градиентах определяется путем линейного суммирования.

8.5. При определении значения необратимого формоизменения в условиях совместного или раздельного действия теплосмен, механической нагрузки и нейтронного излучения изменения размеров линейно суммируются.

9. Пример расчета верхней и нижней оценок параметров предельного цикла

9.1. Данный пример иллюстрирует порядок расчета верхней и нижней оценок параметров предельного цикла с помощью общих методов теории приспособляемости. Характеристики конструкции и условия нагружения выбраны условно с целью наиболее отчетливого изложения этапов расчета. Особенности решений при более сложных условиях нагружения рассматриваются в конце каждого этапа.

9.2. Рассчитываем цилиндрическую оболочку, закрепленную по краям так, как показано на рис. П4.43. К такой схеме приводится, в частности, расчет оболочки, имеющей на концах достаточно жесткие фланцы, температура которых равна температуре средней поверхности оболочки. Длина оболочки l, радиус R и толщина 2h заданы. Оболочка подвергается действию постоянного внутреннего давления p и температуры T(t), изменяющейся по линейному закону по толщине оболочки в каждый момент времени t:

; .

Здесь - температура срединной поверхности; - разность температур внутренней и наружной поверхности оболочки.

Цель расчета - определение верхней и нижней оценок параметров предельного цикла и последующее сопоставление их с заданными параметрами рабочего цикла в соответствии с разд. 5.4.

9.3. При выполнении расчета свойства материала оболочки (модуль упругости E, температурный коэффициент линейного расширения , коэффициент Пуассона и предельные напряжения ) определяются в соответствии с разд. 6.3, 3.1 и 3.2 так же, как это было сделано в предыдущем примере. Числовые данные здесь не приводятся, поскольку в приведенном ниже примере расчета принимается, что величина является постоянной, и расчет верхней и нижней оценок ведется в общем виде без использования конкретных числовых значений. Изменения в методике расчета при численном задании переменной величины указываются в конце каждого этапа расчета.

Условные упругие напряжения от неравномерного нагрева определяем по формуле

.

Здесь , - кольцевые и осевые напряжения соответственно; координата z отсчитывается от срединной поверхности оболочки по нормали к ней; ось z направлена к оси оболочки, .

9.4. Расчет верхней оценки условий прогрессирующего формоизменения.

Расчет проводится в следующем порядке:

а) в соответствии с п. 5.6.8 задается распределение приращений радиальных перемещений за цикл , показанное на рис. П4.44,

,

а также равные нулю приращения осевых перемещений за цикл 

.

В соответствии со схемой, приведенной на рис. П4.44, в сечениях A, B и C имеют место разрывы приращений осевых перемещений за цикл : в сечениях A и C ; в сечении B ;

б) находим с помощью условий совместности деформаций приращения окружных и осевых деформаций за цикл , , соответствующие заданным приращениям перемещений при 0 < x < 0,5L.

Для цилиндрической оболочки

; .

Подставляя сюда значения приращений перемещений, получаем

; ;

в) записываем условия существования прогрессирующего формоизменения согласно п. 5.6.5.

Для данной задачи a = 1, b = 0, поскольку , . При этом: ; , так как приращения окружных пластических деформаций положительны;

, для сечений A и C при z > 0;

, для сечений A и C при z < 0;

, для сечения B при z > 0;

, для сечения B при z < 0.

С учетом симметрии распределения приращений пластических деформаций и постоянства величин , и по длине оболочки условие существования прогрессирующего формоизменения, приведенное в п. 5.6.5, принимает вид

. (П4.1)

Индексы A и B указывают, что соответствующие величины относятся к сечениям A и B (см. рис. П4.44).

Найдем минимальные за время цикла значения подынтегральных выражений левой части этого неравенства. Учитывая, что

, x > 0, ,

а значения условных упругих напряжений , определяются в соответствии с выражениями, приведенными в разд. 9.3 и 9.2, получаем:

а) при

.

Отметим, что при z > 0 минимум достигается, если , а при z < 0 - если ;

б) при

,

он достигается, если ;

в) при

для ;

г) при

для ;

д) при

для .

Подставляя полученные значения в неравенство (П4.1), получаем после интегрирования условие существования прогрессирующего формоизменения в виде

. (П4.2)

Отметим, что в общем случае, когда величина изменяется в течение цикла в зависимости от температуры (и является переменной по объему оболочки), а температурное поле оболочки нелинейное и задано численно, последовательность расчета отличается от приведенной выше тем, что интегрирование в неравенстве (П4.1) проводится для всей длины оболочки (симметрия отсутствует), а минимальные значения подынтегральных выражений находятся численно из сопоставления соответствующих величин, полученных для ряда моментов времени.

Полученный результат является верхней оценкой параметров предельного цикла: он определяет условия реализации в предельном цикле поля приращений перемещений, изображенного на рис. П4.44.

9.5. Расчет нижней оценки условий прогрессирующего формоизменения.

В соответствии с п. 5.6.2 приспособляемость оболочки обеспечена, если можно задать не зависящие от времени напряжения , , удовлетворяющие:

а) условиям равновесия

; ; (П4.3)

; ; (П4.4)

(положительные направления усилий показаны на рис. П4.45);

б) неравенству п. 5.6.2, которое с учетом п. 5.6.3 применительно к данной задаче имеет следующий вид:

;

;

.

Подставляя в эту систему значения условных упругих напряжений (разд. 9.3) и учитывая пределы изменения температуры (разд. 9.2), получаем при

; (П4.5)

; (П4.6)

. (П4.7)

Для получения нижней оценки условий приспособляемости следует задаться значениями напряжений , так, чтобы выполнялись неравенства (П4.5) - (П4.7), и найти из условий (П4.3), (П4.4) соответствующее значение p. Для задания напряжений , могут быть использованы введенные ранее (при расчете верхней оценки условий прогрессирующего формоизменения) предположения о распределении приращений пластических деформаций (рис. П4.44):

а) в соответствии с рис. П4.44 повсюду в оболочке имеет место растяжение в окружном направлении, поэтому можно предположить, что окружные напряжения всюду достигают предельных (верхних) значений, определяемых неравенствами (П4.5), т.е.

; (П4.8)

(это распределение напряжений иллюстрирует рис. П4.46, а);

б) симметричному распределению приращений перемещений, показанному на рис. П4.44, отвечает предположение о равенстве изгибающих моментов при x = 0, x = L:

;

в) предположим, что осевые напряжения распределяются по толщине оболочки по линейному закону (рис. П4.46, б, в):

.

Величины могут быть разными в разных сечениях оболочки. Их численные значения пока не задаются. В ходе дальнейшего расчета отыскиваются такие значения при которых величина p принимает наибольшее значение при выполнении условий (П4.3) - (П4.7). Отметим, что предполагаемый закон распределения напряжений не связан непосредственно с распределением приращений перемещений, изображенным на рис. П4.44;

г) преобразуем систему ограничений (П4.3) - (П4.7) с учетом предположений а), б) и в). Подставляя предполагаемые значения напряжений в выражения (П4.4), получаем

; ; .

Подставляем полученные значения усилий в уравнение равновесия (П4.3). После двукратного интегрирования с учетом предполагаемого равенства изгибающих моментов при x = 0 и x = L это уравнение принимает вид

. (П4.9)

Неравенства (П4.5) выполняются повсюду в оболочке в соответствии с предположением а). Для выполнения неравенств (П4.6), (П4.7) во всех точках любого поперечного сечения оболочки достаточно, чтобы они выполнялись при z = h и z = -h (поскольку с учетом предполагаемых распределений напряжений и левая и правая части каждого из этих неравенств содержат линейные функции координаты z и, кроме того, при z = 0). При этом условия (П4.6) принимают следующий вид:

, (П4.10)

а условия (П4.7) - такой вид:

при z = h и z = -h.

Это неравенство преобразуется с учетом соотношений

при z = h и при z = -h

к следующему:

; (П4.11)

д) для выполнения неравенств (П4.10), (П4.11) во всех сечениях оболочки достаточно, чтобы они выполнялись там, где напряжения достигают экстремальных (наибольших и наименьших) значений. В соответствии с уравнением (П4.9) такие значения могут достигаться на краях оболочки (при x = 0 и x = L; напряжения ) либо при x = 0,5L, поскольку в этом сечении

;

при этом

;

е) из последнего уравнения находим значение давления p:

.

Подставляя сюда значения напряжений , , удовлетворяющие неравенствам (П4.10) и (П4.11), получаем значение давления p, являющееся нижней оценкой условий приспособляемости. Наилучшая из получаемых таким путем оценок имеет вид

. (П4.12)

Наибольшее значение напряжений , при котором выполняются все неравенства (П4.10) и (П4.11), равно

, если ;

, если .

Наименьшее значение напряжений , при котором выполняются неравенства (П4.10) и (П4.11), равно

, если ;

, если .

Подставляя эти значения в уравнение (П4.12), получаем, что приспособляемость оболочки гарантирована, если

при ; (П4.13)

при . (П4.14)

Эти результаты иллюстрируют при линии 2 и 3 на рис. П4.47; верхней оценке условий прогрессирующего формоизменения (П4.2) соответствует здесь линия 1.

Отметим, что в общем случае, когда величины изменяются в течение цикла в зависимости от температуры, а температурное поле оболочки нелинейное и задано численно, последовательность расчета отличается от приведенной выше тем, что:

а) при получении уравнения (П4.9) из условий равновесия (П4.3) интегрирование окружных сил проводится численно;

б) расположение сечений, в которых напряжения достигают экстремальных значений, а также величины напряжений , обеспечивающие выполнение ограничений-неравенств, находятся подбором.

9.6. Сопоставление верхней и нижней оценок параметров предельного цикла с параметрами рабочего цикла. Уточнение верхней и нижней оценок.

После получения верхней и нижней оценок параметров предельного цикла они сопоставляются с параметрами рабочего цикла в соответствии с разд. 5.4.

Если параметры рабочего цикла выше верхней оценки параметров предельного цикла, то приспособляемость невозможна.

Если параметры рабочего цикла ниже нижней оценки параметров предельного цикла, то конструкция приспособится к заданным воздействиям.

Если параметры рабочего цикла ниже верхней, но выше нижней оценки параметров предельного цикла (это возможно при существенном различии верхней и нижней оценок), то выполняется уточненный расчет параметров предельного цикла.

Рассмотрим три примера расчета, различающихся заданным давлением в рабочем цикле при одинаковых геометрических характеристиках оболочки и одинаковых температурах . Пусть для заданных условий работы оболочки

a) ; b) ; c) .

Указанным значениям параметров рабочего цикла отвечают точки A, B и C на рис. П4.47. В соответствии с условием (П4.2) приспособляемость для рассматриваемого случая невозможна, если

.

Следовательно, при приспособляемость невозможна.

В соответствии с условием (14) разд. 9.5 приспособляемость обеспечена, если . Следовательно, при оболочка приспособится к заданным воздействиям.

Наконец, при полученные верхняя и нижняя оценки не позволяют ответить на вопрос о возможности приспособляемости. Заметим, что при расчете в разд. 9.5 уточненной нижней оценки распределение окружных напряжений принималось таким, каким оно действительно является в предельном цикле, если изгиб отсутствует. Поэтому полученная выше нижняя оценка в пределе (при ) совпадала с верхней оценкой, но для коротких оболочек, в формоизменении которых изгиб играет существенную роль, эта нижняя оценка далека от точного решения. Чтобы получить лучшую нижнюю оценку для коротких оболочек, зададим

; .

В одном сечении используется только верхний либо только нижний знак.

Решение, аналогичное рассмотренному в разд. 9.5, приводит тогда к следующему условию приспособляемости:

(ему соответствует линия 4 на рис. П4.47).

Сопоставление этого результата с верхней оценкой (2) показывает, что разница между ними убывает с уменьшением величины и для достаточно коротких оболочек становится пренебрежимо малой. Однако при

и

полученная здесь нижняя оценка дает , т.е. оказывается хуже нижней оценки, полученной в разд. 9.5.

Для улучшения нижней оценки для оболочек средней длины следует задать ненулевые окружные напряжения , обеспечивающие получение больших изгибающих моментов , чем те, которые были получены в разд. 9.5. Пусть, например,

,

где k - неизвестный множитель, который подбирается в ходе решения так, чтобы получить наилучшую нижнюю оценку . Результат расчета, аналогичного рассмотренному в разд. 9.5, иллюстрирует линия 5 на рис. П4.47 при ; соответствующее условие приспособляемости имеет вид

.

Таким образом, при прогрессирующего формоизменения оболочки не будет.