Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения" (утв. приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 16 ноября 2011 г. N 555-ст) (отменен)

Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008
"Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения"
(утв. приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 16 ноября 2011 г. N 555-ст)

Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement

Дата введения 1 октября 2012 г.

Введен впервые

ГАРАНТ:

Приказом Росстандарта от 12 сентября 2017 г. N 1065-ст настоящий ГОСТ отменен с 1 сентября 2018 г. в связи с принятием и введением в действие ГОСТ 34100.3-2017/ISO/IEC Guide 98-3:2008 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения" для добровольного применения в РФ

См. ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло", утвержденный приказом Росстандарта от 16 ноября 2011 г. N 555-ст

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-ФЗ "О техническом регулировании", а правила применения национальных стандартов Российской Федерации - ГОСТ Р 1.0-2004 "Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения"

Аннотация к Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008

Руководство устанавливает общие правила оценивания и представления неопределенности измерения применительно к широкому спектру измерений. Основой Руководства является Рекомендация 1 (CI-1981) Международного комитета мер и весов (МКМВ) и Рекомендация INC-1 (1980) Рабочей группы по неопределенности. Рабочая группа по неопределенности была организована Международным бюро мер и весов (МБМВ) по поручению МКМВ. Рекомендация, разработанная Рабочей группой, является единственной рекомендацией в отношении выражения неопределенности измерения, одобренной межправительственной организацией.

Руководство разработано объединенной рабочей группой экспертов, назначенных МБМВ, ИСО, МЭК и МОЗМ.

Следующие семь организаций* поддержали разработку Руководства, которое публикуется от их имени:

- Международное бюро мер и весов (МБМВ);

- Международная электротехническая комиссия (МЭК);

- Международная федерация клинической химии (МФКХ)**;

- Международная организация по стандартизации (ИСО);

- Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК)**;

- Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП)**;

- Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ).

Пользователей Руководства приглашают присылать свои замечания и предложения в любую из семи указанных международных организаций, чьи адреса указаны на обратной странице обложки***.

______________________________

* Примечание к изданию 2008 г.: В 2005 г. к указанным семи международным организациям присоединилось Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК).

** Примечание к изданию 2008 г.: В 1995 г. наименования трех международных организаций были изменены. Теперь эти организации имеют следующие наименования: Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ); Международная организация по теоретической и прикладной химии (ИЮПАК); Международная организация по теоретической и прикладной физике (ИЮПАП).

*** Примечание к изданию 2008 г.: В настоящее время ссылка на адреса восьми международных организаций, поддержавших разработку Руководства, приведены на сайте Объединенного комитета по разработке руководств в области метрологии (JCGM) http://www.bipm.org/en/committees/jc/jcgm.

Предисловие к Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008

В 1978 г., признавая отсутствие международного единства по вопросу выражения неопределенности измерения, наиболее авторитетная международная организация в области метрологии МКМВ обратилась в МБМВ с просьбой рассмотреть эту проблему совместно с национальными метрологическими лабораториями и подготовить соответствующую рекомендацию.

МБМВ подготовило подробную анкету и разослало ее в 32 национальные метрологические лаборатории, заинтересованные в разрешении данной проблемы, а также, для сведения, в пять международных организаций. К началу 1979 г. были получены ответы из 21 лаборатории [1]. Почти в каждом ответе подчеркивалась важность установления признанной на международном уровне процедуры выражения неопределенности измерения и объединения частных составляющих неопределенности в одну общую неопределенность. Однако в том, какой должна быть эта процедура, единства достигнуто не было. Для решения этого вопроса МБМВ организовало встречу, на которой присутствовали представители 11 национальных метрологических лабораторий. Эта Рабочая группа по неопределенности разработала Рекомендацию INC-1 (1980) "Выражение экспериментальных неопределенностей" [2]. Рекомендация была одобрена МКМВ в 1981 г. [3] и подтверждена в 1986 г. [4].

Задачу разработки подробного Руководства, основанного на подготовленной Рабочей группой Рекомендации (которая является, скорее, краткой формулировкой общих принципов, чем детализированной инструкцией), МКМВ передал Международной организации по стандартизации ИСО, которая могла в большей степени учесть потребности, возникающие из широких интересов промышленности и торговли.

Ответственность за решение указанной задачи была возложена на Техническую консультативную группу по метрологии (ИСО/ТАГ 4), целью которой, в том числе, является координация разработки руководств в области измерений, представляющих общий интерес для ИСО и других шести организаций, которые вместе с ИСО участвуют в работе ИСО/ТАГ4: МЭК (партнера ИСО в области международной стандартизации); МКМВ и МОЗМ (двух всемирно признанных международных организаций в области метрологии); ИЮПАК и ИЮПАП (двух международных союзов в области физики и химии) и МФКХ.

ИСО/ТАГ 4, в свою очередь, учредила Рабочую группу 3 (ИСО/ТАГ 4/РГ 3), состоящую из экспертов, предложенных МБМВ, МЭК, ИСО и МОЗМ и утвержденных председателем ИСО/ТАГ 4. Перед ней была поставлена следующая задача: разработать руководящий документ, базирующийся на Рекомендации Рабочей группы по неопределенности МБМВ, в котором были бы сформулированы правила выражения неопределенности измерения и который использовался бы организациями и службами в области стандартизации, калибровки, аккредитации лабораторий, а также в метрологии.

Целью данного руководства должно было стать:

- обеспечение предоставления полной информации о том, как получены утверждения о неопределенности измерений;

- создание основы для международного сопоставления результатов измерений.

Настоящее первое издание Руководства ИСО/МЭК 98-3 отменяет и заменяет "Руководство по выражению неопределенности измерений", опубликованное совместно МБМВ, МЭК, МФКХ, ИСО, ИЮПАК, ИЮПАП и МОЗМ в 1993 г. и переизданное с исправлениями в 1995 г.*

______________________________

* Примечание к изданию 2008 г.: При разработке издания 2008 г. в версию 1995 г. были внесены необходимые исправления, подготовленные JCGM/WG 1. Эти исправления затрагивают пункты 4.2.2, 4.2.4, 5.1.2, В.2.17, С.3.2, С.3.4, Е.4.3, Н.4.3, Н.5.2.5 и Н.6.2.

Введение

0.1 Сообщению о результате измерения физической величины должна сопутствовать некоторая количественная характеристика качества результата измерений, чтобы при использовании данного результата возможно было оценить его достоверность. Без такой информации результаты измерений нельзя сопоставить ни друг с другом, ни со значениями, указанными в технических условиях или стандарте. Это требует наличия простой в применении, понятной и общепризнанной процедуры, позволяющей характеризовать качество результата измерений, т.е. оценивать и выражать его неопределенность.

0.2 Понятие неопределенности как количественной характеристики является относительно новым в истории измерений, хотя понятия погрешности и анализа погрешностей давно используются в метрологической практике. В настоящее время общепризнанно, что после того, как найдены оценки всех ожидаемых составляющих погрешности и в результат измерения внесены соответствующие поправки, все еще остается некоторая неопределенность в отношении полученного результата, т.е. сомнение в том, насколько точно он соответствует значению измеряемой величины.

0.3 Подобно тому, как Международная система единиц (СИ), будучи системой практически универсального использования, привнесла согласованность во все научные и технические измерения, международное единство в оценивании и выражении неопределенности измерения обеспечило бы должное понимание и правильное использование широкого спектра результатов измерений в науке, технике, торговле, промышленности и законодательстве. В условиях международного рынка чрезвычайно важно, чтобы метод оценивания и выражения неопределенности был единым во всем мире, а результаты измерений, проведенных в разных странах, были легко сопоставимы между собой.

0.4 Идеальный метод оценивания и выражения неопределенности результата измерения должен быть

- универсальным, т.е. применимым ко всем видам измерений и всем видам входной информации, используемой в измерениях.

Величина, непосредственно используемая для выражения неопределенности, должна быть:

- внутренне согласованной, т.е. непосредственно выводиться из составляющих ее компонентов и не зависеть от того, как эти компоненты группируются и как они делятся на подкомпоненты;

- переносимой, т.е. допускающей непосредственное использование неопределенности, полученной для одного результата измерения, в качестве составляющей неопределенности другого измерения, в котором используется первый результат.

Кроме того, зачастую в промышленности и торговле, а также в здравоохранении и в сфере обеспечения безопасности результат измерения должен быть представлен с указанием охватывающего его интервала, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Таким образом, идеальный метод оценивания и выражения неопределенности измерения должен предоставлять возможность указать такой интервал, в частности, который был бы действительно близок к доверительному интервалу с заданным уровнем доверия.

0.5 Подход, на котором базируется настоящий руководящий документ, изложен в Рекомендации INC-1 (1980) [2] Рабочей группы по неопределенности, организованной МБМВ по инициативе МКМВ (см. предисловие). Данный подход, обоснованность которого обсуждается в приложении Е, соответствует всем вышеуказанным требованиям. Этого нельзя сказать о большинстве других используемых в настоящее время методах. Рекомендация INC-1 (1980) была одобрена и вновь подтверждена МКМВ его собственными Рекомендацией 1 (CI-1981) [3] и Рекомендацией 1 (CI-1986) [4], перевод которых приведен в приложении А (разделы А.2 и А.3 соответственно). Поскольку основой для настоящего Руководства остается Рекомендация INC-1 (1980), ее перевод также приведен в приложении А (раздел А.1)*.

0.6 Краткое описание метода, установленного настоящим руководящим документом по оцениванию и выражению неопределенности измерений, приведено в разделе 8, а ряд подробных поясняющих примеров - в приложении Н. Остальные приложения посвящены: терминам, используемым в метрологии (приложение В), основным терминам и понятиям математической статистики (приложение С), сопоставлению понятий "истинное значение", "погрешность" и "неопределенность" (приложение D), практическому руководству по оцениванию составляющих неопределенности (приложение F), оцениванию степеней свободы и уровней доверия (приложение G), используемым основным математическим символам (приложение J). В конце документа приведена библиография.

______________________________

* В оригинале Рекомендация INC-1 (1980) приведена дважды: на французском языке в А.1 и на английском языке в 0.7. Во избежание дублирования подраздел 0.7 Введения из настоящего стандарта исключен.

1 Область применения

1.1 Настоящее Руководство устанавливает общие правила оценивания и выражения неопределенности измерения, которые следует соблюдать при измерениях разной точности и в разных областях - от технических измерений на производстве до фундаментальных научных исследований. Подход, установленный настоящим Руководством, распространяется на широкий спектр измерений, включая те, что используют для:

- обеспечения требуемого качества продукции и контроля качества на производстве;

- проверки выполнения требований законов и нормативных документов;

- проведения фундаментальных и прикладных исследований и разработок в науке и технике;

- калибровки эталонов и приборов, а также проведения испытаний в соответствии с национальной схемой обеспечения единства измерений (для обеспечения прослеживаемости к национальным эталонам);

- разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов единиц физических величин, включая стандартные образцы веществ и материалов.

1.2 Настоящее Руководство, в первую очередь, рассматривает выражение неопределенности измерения хорошо определенной физической величины, характеризуемой единственным значением. Если предмет изучения нельзя охарактеризовать единственным значением, а лишь некоторым распределением значений или если он характеризуется зависимостью от одного или более параметров (например, представляет собой временной процесс), то измеряемыми величинами, требуемыми для его описания, являются параметры распределения или зависимости.

1.3 Настоящее Руководство распространяется также на оценивание и выражение неопределенности результатов теоретических расчетов и испытаний, методов измерений, анализа сложных систем. Поскольку в таких приложениях результат оценивания величины и его неопределенность могут быть умозрительными и полностью основанными на гипотетических данных, то термин "результат измерений", используемый в настоящем Руководстве, следует толковать в этом более широком контексте.

1.4 Настоящее Руководство устанавливает общие правила оценивания и выражения неопределенности измерения и не содержит подробных указаний для конкретных измерений. В нем не рассматривается также вопрос, каким образом полученная оценка неопределенности результата конкретного измерения может быть использована в дальнейшем, например, для вывода о сопоставимости данного результата с результатами аналогичных измерений, для установления допусков в технологическом процессе, для заключения о соблюдении или несоблюдении установленных требований безопасности. Подобные вопросы, связанные со специфическими областями измерений или с конкретным использованием количественных оценок неопределенности, могут рассматриваться в других стандартах, основанных на настоящем Руководстве*. Такие стандарты могут представлять собой упрощенные версии настоящего Руководства, но они должны содержать в себе все необходимые сведения, исходя из требуемого уровня точности и сложности измерений, на которые они распространяются.

Примечание - Возможны случаи, когда концепция неопределенности измерения неприменима в полном объеме, например при определении точности метода испытаний (см., например, [5]).

2 Термины и определения

2.1 Общие метрологические термины

Определения ряда общих метрологических терминов по тематике настоящего Руководства, таких как "измеримая величина", "измеряемая величина" и "погрешность измерения", приведены в приложении В. Эти определения взяты из Международного словаря основных и общих терминов в метрологии [6]**. Кроме того, в приложении С приведены определения ряда основных статистических терминов, взятых большей частью из ИСО 3534-1 [7]. Когда один из этих метрологических или статистических терминов (или терминов, близко с ними связанных) встречается в тексте впервые (начиная с раздела 3), он выделяется полужирным шрифтом, а в скобках приводится номер подраздела, в котором дано его определение.

Ввиду особой важности для настоящего Руководства термина "неопределенность измерения" его определение дано как в приложении В, так и в 2.2.3. Определения других наиболее важных для настоящего Руководства терминов даны в 2.3.1-2.3.6. В этих подразделах так же, как и в приложениях В и С, выделение в термине слова скобками означает, что данное слово, если только это не приводит к путанице, может быть опущено.

2.2 Термин "неопределенность"

Понятие неопределенности подробно рассматривается в разделе 3 и приложении D.

2.2.1 Слово "неопределенность" означает сомнение, и, таким образом, в широком смысле "неопределенность измерения" означает сомнение в достоверности результата измерения. Специальные термины для величин, характеризующих количественную меру такого сомнения (например, стандартного отклонения), отсутствуют, поэтому слово "неопределенность" используют и в указанном широком смысле, и в смысле некоторой количественной меры.

2.2.2 В настоящем Руководстве слово "неопределенность", используемое без прилагательного, относится как к общему понятию неопределенности, так и к любым количественным мерам неопределенности. Если необходимо уточнить, какая количественная мера имеется в виду, то для этого используется соответствующее прилагательное.

2.2.3 Для применения в настоящем Руководстве и в международном словаре VIM [6] (VIM: 1993, словарная статья 3.9) принято следующее формальное определение термина "неопределенность измерения":

неопределенность (измерения) [uncertainty (of measurement)]: Параметр, относящийся к результату измерения и характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Примечание 1 - Параметром может быть, например, стандартное отклонение (или величина, пропорциональная стандартному отклонению) или полуширина интервала, которому соответствует заданный уровень доверия.

Примечание 2 - Неопределенность измерения, как правило, включает в себя много составляющих. Некоторые из них могут быть оценены из статистического распределения результатов ряда измерений и описаны выборочными стандартными отклонениями. Другие составляющие, которые также могут быть описаны стандартными отклонениями, оценивают, исходя из основанных на опыте предположений или иной информации о виде закона распределения.

Примечание 3 - Предполагается, что результат измерения является лучшей оценкой измеряемой величины, а все составляющие неопределенности, включая обусловленные систематическими эффектами (разного рода поправками, используемым эталоном сравнения), вносят вклад в разброс значений измеряемой величины.

2.2.4 Определение неопределенности измерения, приведенное в 2.2.3, является рабочим, привязанным, в первую очередь, к понятиям результата измерения и оценки его неопределенности. Однако оно не противоречит использованию понятия неопределенности измерений в других смыслах, таких как:

- мера возможной погрешности оценки измеряемой величины, полученной как результат измерения;

- оценка, характеризующая диапазон значений, в пределах которого находится истинное значение измеряемой величины (VIM:1984, 3.09).

Хотя оба эти традиционно используемые представления справедливы как идеализация, основной акцент в них сделан на неизвестные величины: "погрешность" результата измерения и "истинное значение" измеряемой величины (в противоположность известной оценке этой величины) соответственно. Тем не менее, независимо от того, какой смысл вкладывают в понятие неопределенности, для оценивания, составляющей неопределенности всегда используют одни и те же данные и имеющуюся информацию (см. также раздел Е.5).

2.3 Термины, вводимые Руководством

Как правило, пояснения терминов, вводимых настоящим Руководством, даны при их первом употреблении в тексте. Однако для удобства пользования Руководством определения этих терминов собраны в настоящем подразделе.

Примечание - Более полное рассмотрение вводимых в настоящем подразделе терминов содержится: для термина по 2.3.2 - в 3.3.3 и 4.2; для термина по 2.3.3 - в 3.3.3 и 4.3; для термина по 2.3.4 - в разделе 5 [см. также формулы (10) и (13)]; для термина по 2.3.6 - в разделе 6.

2.3.1 стандартная неопределенность (standard uncertainty): Неопределенность результата измерения, выраженная в виде стандартного отклонения.

2.3.2 оценивание (неопределенности) типа A [Type A evaluation (of uncertainty)]: Метод оценивания неопределенности путем статистического анализа ряда наблюдений.

2.3.3 оценивание (неопределенности) типа В [Туре В evaluation (of uncertainty)]: Метод оценивания неопределенности, отличный от статистического анализа ряда наблюдений.

2.3.4 суммарная стандартная неопределенность (combined standard uncertainty): Стандартная неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда других величин, равная положительному квадратному корню взвешенной суммы дисперсий или ковариаций этих величин, весовые коэффициенты при которых определяются зависимостью изменения результата измерения от изменений этих величин.

2.3.5 расширенная неопределенность (expanded uncertainty): Величина, определяющая интервал вокруг результата измерения, который, как ожидается, содержит в себе большую часть распределения значений, что с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине.

Примечание 1 - Долю распределения, охватываемую интервалом, можно рассматривать как вероятность охвата или уровень доверия для данного интервала.

Примечание 2 - Чтобы сопоставить интервалу, рассчитанному через расширенную неопределенность, некоторое значение уровня доверия, необходимо сделать в явном или неявном виде предположение о форме распределения, характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. Уровень доверия, поставленный в соответствие этому интервалу, может быть известен только в той мере, в которой оправдано сделанное предположение о форме распределения.

Примечание 3 - В параграфе 5 Рекомендаций INC-1 (1980) расширенная неопределенность названа общей неопределенностью.

2.3.6 коэффициент охвата (coverage factor): Коэффициент, на который умножают суммарную стандартную неопределенность для получения расширенной неопределенности.

Примечание - Коэффициент охвата обычно принимает значения от 2 до 3.

3 Основные понятия

Дополнительное рассмотрение основных понятий можно найти в приложении D, в котором основное внимание уделено вопросам сопоставления (в том числе, графического) "истинного" значения, погрешности и неопределенности, и в приложении Е, где исследуются необходимость разработки и статистическая база Рекомендации INC-1 (1980), на которой основано настоящее Руководство. В приложении J приведен словарь основных математических символов, используемых в настоящем Руководстве.

3.1 Измерение

3.1.1 Целью измерения (В.2.5) является определение значения (В.2.2) измеряемой величины (В.2.9), т.е. значения конкретной величины (В.2.1, примечание 1), которую надо измерить. Поэтому измерению предшествует определение измеряемой величины, метода измерения (В.2.7) и методики измерения (измерительной процедуры) (В.2.8).

Примечание - Термин "истинное значение" (см. приложение D) не используется в настоящем Руководстве по причинам, указанным в D.3.5. Термины "значение измеряемой величины" и "истинное значение измеряемой величины" рассматриваются как эквивалентные.

3.1.2 Обычно результат измерения (В.2.11) является только аппроксимацией или оценкой (С.2.26) значения измеряемой величины и, таким образом, будет полным только в том случае, если он сопровождается указанием неопределенности (В.2.18) этой оценки.

3.1.3 На практике определение (дефиниция) измеряемой величины зависит от требований к точности измерения (В.2.14). Измеряемую величину следует определять с достаточной полнотой (с учетом необходимой точности измерений), чтобы для всех практических целей, связанных с измерением, значение измеряемой величины было единственным. Именно в таком смысле выражение "значение измеряемой величины" используется в настоящем Руководстве.

Пример - Если длину стального стержня номинальной длины 1 м нужно узнать с точностью до микрона, то определение измеряемой величины должно включать температуру и давление, при которых длина стержня должна быть измерена. Таким образом, определение измеряемой величины должно иметь вид, например: длина стержня при температуре 25,00°С и давлении 101 325 Па (с указанием, возможно, других необходимых параметров, например способа опирания стержня при измерении). Однако если длина стержня должна быть получена с точностью до миллиметра, то определение измеряемой величины не требует указания температуры, давления и иных аналогичных факторов.

Примечание - Недостаточно полное определение измеряемой величины может привести к росту составляющей неопределенности, которая в этом случае должна быть включена в оценку неопределенности результата измерения (см. D.1.1, D.3.4 и D.6.2).

3.1.4 Во многих случаях результат измерения получают на основе ряда наблюдений, выполненных в условиях повторяемости (В.2.15, примечание 1).

3.1.5 Предполагается, что причиной изменчивости результатов повторных наблюдений являются влияющие величины (В.2.10), от которых может зависеть результат измерений и которые невозможно поддерживать в точности постоянными.

3.1.6 Очень важно правильно составить математическую модель, с помощью которой совокупность повторных наблюдений преобразуется в результат измерения, поскольку помимо наблюдений в нее обычно необходимо включать различные влияющие величины, точные значения которых неизвестны. Эта неизвестность вносит вклад в неопределенность результата измерений наряду с изменчивостью результатов повторных наблюдений и с неточностью самой математической модели.

3.1.7 В настоящем Руководстве измеряемая величина рассматривается как скаляр, т.е. ее значение выражается единственным числом. Распространение на случай связанных между собой величин, определяемых одновременно в одном измерении, требует перейти от рассмотрения измеряемой скалярной величины и ее дисперсии (С.2.11, С.2.20, С.3.2) к измеряемой векторной величине и ковариационной матрице (С.3.5). В настоящем Руководстве измерение векторной величины рассматривается только в примерах (см. Н.2, Н.3 и Н.4).

3.2 Погрешности, случайные и систематические эффекты, поправки

3.2.1 Погрешность (В.2.19) результата измерения обусловлена несовершенством измерительной процедуры. Традиционно погрешность рассматривают как сумму двух составляющих: случайной (В.2.20) и систематической (В.2.21).

Примечание - Погрешность является идеализированным понятием, поскольку на практике ее точное значение неизвестно.

3.2.2 Предполагается, что случайная погрешность возникает из непредсказуемых временных или пространственных изменений влияющих величин. Следствием таких изменений, называемых далее случайными эффектами, являются изменения измеряемой величины при повторных наблюдениях. Хотя случайную погрешность результата измерения нельзя компенсировать введением поправки, ее можно уменьшить, увеличив число наблюдений. Математическое ожидание (ожидаемое значение) (С.2.9, С.3.1) случайной погрешности равно нулю.

Примечание 1 - Выборочное стандартное отклонение среднего арифметического значения ряда наблюдений (см. 4.2.3) не является случайной погрешностью среднего значения, хотя такое толкование встречается в некоторых публикациях. На самом деле эта величина является мерой неопределенности среднего значения, обусловленной случайными эффектами. Точное значение погрешности среднего значения, обусловленной этими эффектами, не может быть известно.

Примечание 2 - В настоящем Руководстве уделяется большое внимание различию терминов "погрешность" и "неопределенность". Эти слова не являются синонимами, отражают разные понятия, и их не следует путать друг с другом или использовать в неправильном значении.

3.2.3 Систематическую погрешность, так же как и случайную, нельзя устранить полностью, но зачастую можно уменьшить. Если систематическая погрешность возникает в результате известного действия влияющей величины на результат измерения (далее - систематического эффекта), то это влияние можно количественно оценить и, если оно существенно по сравнению с требуемой точностью измерения, внести поправку (В.2.23) или поправочный коэффициент (В.2.24) для его компенсации. Предполагается, что после внесения поправки математическое ожидание погрешности, обусловленной систематическим эффектом, становится равным нулю.

Примечание - Неопределенность поправки, вносимой в результат измерения для компенсации систематического эффекта, не является систематической погрешностью (часто называемой смещением) результата измерения, связанной с этим эффектом, как ее иногда определяют. На самом деле она представляет собой меру неопределенности результата из-за неполного знания о требуемом значении поправки. Погрешность, появляющаяся от неполной компенсации систематического эффекта, не может быть известна точно. Термины "погрешность" и "неопределенность" следует использовать правильно и следить за тем, чтобы не путать их.

3.2.4 Далее предполагается, что приняты все меры для выявления значимых систематических эффектов и соответствующие поправки внесены в результат измерения.

Пример - В результат измерения падения напряжения (измеряемая величина) на высокоомном резисторе вносят поправку, обусловленную конечным электрическим сопротивлением вольтметра для уменьшения систематического эффекта, вызванного присоединением вольтметра. Для вычисления поправки используют значения сопротивлений вольтметра и резистора, которые получены в результате других измерений и сами содержат неопределенности. Эти неопределенности учитывают при оценивании составляющей неопределенности измерения падения напряжения, связанной с вносимой поправкой и, в конечном счете, с систематическим эффектом вследствие конечного электрического сопротивления вольтметра.

Примечание 1 - Часто с целью исключить систематические эффекты измерительные приборы и системы настраивают или калибруют с использованием эталонов и стандартных образцов, однако при этом следует учитывать составляющие неопределенности, вносимые эталонами и стандартными образцами.

Примечание 2 - Случай, когда поправку на известный значимый систематический эффект не вносят, рассмотрен в примечании к 6.3.1 и в F.2.4.5.

3.3 Неопределенность

3.3.1 Неопределенность результата измерения отражает отсутствие точного знания значения измеряемой величины (см. 2.2). Результат измерения после внесения в него поправки на известные систематические эффекты остается только оценкой значения измеряемой величины, поскольку содержит неопределенности, связанные со случайными эффектами и неточностью поправки результата на систематические эффекты.

Примечание - Может оказаться, что результат измерения (после внесения поправки) будет очень близким к значению измеряемой величины и тем самым иметь пренебрежимо малую погрешность. Эту неисключенную малую систематическую погрешность не следует путать с неопределенностью результата измерения.

3.3.2 Разнообразие источников неопределенности измерений включает в себя:

a) неполное определение измеряемой величины;

b) несовершенную реализацию определения измеряемой величины;

c) нерепрезентативность выборки (измерения проводят на образце, не представляющем измеряемую величину);

d) неточное знание влияния условий окружающей среды на результат измерения или неточное измерение величин, характеризующих эти условия;

e) субъективная систематическая погрешность (вносимая оператором при снятии показаний аналоговых приборов);

f) конечную разрешающую способность или порог чувствительности прибора;

g) неточные значения, приписанные эталонам и стандартным образцам;

h) неточные знания физических констант и других параметров, полученных из сторонних источников и используемых при обработке данных;

i) аппроксимации и предположения, используемые в методе и методике измерений (измерительной процедуре);

j) изменчивость в повторных наблюдениях при, казалось бы, неизменных условиях измерений.

Эти источники необязательно являются независимыми, например некоторые из источников, указанных в перечислениях а) - i), могут вносить вклад в источник, указанный в перечислении j). Если какой-либо систематический эффект не был выявлен, то он не может быть учтен в оценке неопределенности результата измерения, хотя и вносит вклад в погрешность измерения.

3.3.3 Рекомендация INC-1 (1980) Рабочей группы по неопределенности разделяет составляющие неопределенности на две категории в зависимости от метода оценивания: по типу А или В (см. 2.3.2 и 2.3.3). Эта классификация применима только к неопределенности и не является заменой классификации погрешности на случайную и систематическую. Неопределенность поправки на известный систематический эффект может в некоторых случаях быть оценена по типу А, а в других случаях - по типу В. То же самое относится к неопределенности, обусловленной случайными эффектами.

Примечание - В ряде публикаций составляющие неопределенности разделяют на "случайные" и "систематические", связывая их с погрешностями, возникающими, соответственно, из случайных и известных систематических эффектов. Такая классификация составляющих неопределенности может привести к неоднозначности толкования при ее практическом применении. Например, "случайная" составляющая неопределенности в одном измерении может стать "систематической" составляющей в другом измерении, в котором результат первого измерения используется в качестве входных данных. При классификации методов оценивания составляющих неопределенности, а не самих составляющих, такая неоднозначность устраняется. В то же время это не мешает объединять отдельные составляющие, оцененные двумя разными методами, в группы для конкретных целей (см. 3.4.3).

3.3.4 Классификация по типам А и В введена только для указания на наличие двух разных способов оценивания составляющих неопределенности и для удобства обсуждения. Ее не следует интерпретировать как различие в природе составляющих неопределенности, полученных разными методами оценивания. Оба способа оценивания основаны на распределении вероятностей (С.2.3), и независимо от способа оценивания составляющие неопределенности количественно характеризуются одним и тем же параметром: дисперсией или стандартным отклонением.

3.3.5 Оценку дисперсии для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу А, получают на основе ряда повторных наблюдений, и она совпадает с известной статистической характеристикой - выборочной дисперсией . Оценка стандартного отклонения (С.2.12, С.2.21, С.3.3) u, представляющая собой положительный квадратный корень из , совпадает таким образом с выборочным стандартным отклонением u=s, и для удобства ее иногда называют стандартной неопределенностью типа А. Оценку дисперсии для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу В, получают по имеющейся информации (см. 4.3), а оценку стандартного отклонения и иногда называют стандартной неопределенностью типа В.

Таким образом, стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения (С.2.5), полученной из распределения частот (С.2.18), а стандартную неопределенность типа В - по предполагаемой плотности распределения, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события [часто называемой субъективной вероятностью (С.2.1)]. Оба подхода являются общепринятой интерпретацией понятия вероятности.

Примечание - Оценивание составляющей неопределенности по типу В обычно основывается на всей имеющейся в распоряжении надежной информации (см. 4.3.1).

3.3.6 Стандартную неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда других величин, называют суммарной стандартной неопределенностью и обозначают . Она является оценкой стандартного отклонения результата измерения, равной положительному квадратному корню из суммарной дисперсии, т.е. суммы дисперсий и ковариаций (С.3.4) всех составляющих неопределенности, и полученной по правилу, названному в настоящем Руководстве законом трансформирования неопределенностей (см. раздел 5).

3.3.7 Для удовлетворения потребностей в ряде областей промышленности и торговли, а также требований в областях здравоохранения и обеспечения безопасности используют расширенную неопределенность U, получаемую умножением суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата k. Назначением U является построение интервала, охватывающего результат измерения, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Выбор коэффициента k, обычно принимающего значения от 2 до 3, зависит от вероятности охвата или уровня доверия, соответствующего данному интервалу (см. раздел 6).

Примечание - Вместе со значением расширенной неопределенности U следует всегда указывать коэффициент охвата k. Это позволит восстановить значение стандартной неопределенности измеряемой величины, которая впоследствии может быть использована для расчета суммарной стандартной неопределенности результата измерения другой величины, зависящей от первой.

3.4 Практические аспекты

3.4.1 Если все величины, от которых зависит результат измерения, обладают вариативностью, то их неопределенности могут быть получены посредством статистических процедур. Однако на практике такой подход редко может быть реализован вследствие ограничений на временные и иные ресурсы, поэтому неопределенность результата измерения обычно оценивают, используя математическую модель измерения и закон трансформирования неопределенностей. Это объясняет используемое в данном Руководстве допущение, что измерение можно моделировать математически с точностью, достаточной для обеспечения требуемой точности измерения.

3.4.2 Поскольку математическая модель может быть неполной, для оценивания неопределенности на основе данных наблюдений следует обеспечить диапазоны вариативности влияющих величин, соответствующие тем, что имеют место в практических условиях измерений. Для получения достоверных оценок неопределенности рекомендуется, по возможности, использовать эмпирические математические модели, основанные на долговременных измерениях количественных величин, а также эталоны сравнения и контрольные карты, позволяющие судить, находится ли измерение под статистическим контролем. Если данные наблюдений, включая результаты статистически независимых измерений одной и той же измеряемой величины, свидетельствуют о неполноте модели, то модель должна быть пересмотрена. Использование хорошо спланированных экспериментов позволяет существенно повысить достоверность оценок неопределенности, поэтому планирование эксперимента следует рассматривать как важную часть в технике проведения измерений.

3.4.3 Чтобы оценить правильность работы измерительной системы, часто сравнивают выборочное стандартное отклонение полученных с ее помощью результатов измерений с оценкой стандартного отклонения, полученной суммированием составляющих неопределенности от разных источников. В этом случае необходимо учитывать составляющие неопределенности (независимо от того, как получена их оценка - по типу А или В) только от тех источников, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента.

Примечание - Для этих целей все источники неопределенности разбивают на две группы: те, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента, и те, которые в ходе данного эксперимента на изменения значений измеряемой величины влияния не оказывают.

3.4.4 Если неопределенность поправки на систематический эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то ее при оценивании неопределенности результата измерения можно не учитывать. Если сама поправка на систематический эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то допускается не вносить эту поправку в результат измерения.

3.4.5 На практике, особенно в области законодательной метрологии, измерительный прибор часто поверяют сравнением с эталоном, и при этом неопределенности, связанные с эталоном и процедурой сравнения, пренебрежимо малы по сравнению с требуемой точностью поверки. Примером может служить использование эталонов массы при поверке весов. Если составляющими неопределенности вследствие их малости допустимо пренебречь, то разность между показанием прибора и эталоном можно рассматривать как погрешность поверяемого прибора (см. также F.2.4.2).

3.4.6 Иногда результат измерения выражают в единицах эталона, а не в соответствующих единицах Международной системы единиц физических величин (СИ). Т.е., по сути, результат измерения выражают в виде отношения к принятому значению эталона. При этом неопределенность, приписанная результату измерения, может быть существенно меньше неопределенности, которая имела бы место при выражении результата измерения в единицах СИ.

Пример - Прецизионный источник напряжения на диоде Зенера калибруют методом сравнения с эталоном постоянного напряжения на основе эффекта Джозефсона. Для расчета напряжения, создаваемого эталоном, используют значение постоянной Джозефсона, рекомендованное для международного применения МКМВ. Относительная суммарная стандартная неопределенность (см. 5.1.6) калибровки источника на диоде Зенера будет равна , если напряжение источника выражено в относительных единицах через напряжение, создаваемое эталоном, и , если оно выражено в единицах СИ (т.е. в вольтах). Разница в оценках обусловлена дополнительной неопределенностью, связанной с выражением постоянной Джозефсона в единицах СИ.

3.4.7 Ошибки при регистрации или анализе данных могут вносить значительную неизвестную погрешность в результат измерения. Если ошибка велика, то ее можно выявить проверкой данных, но небольшие ошибки могут быть замаскированы случайными изменениями измеряемой величины или даже быть приняты за случайные изменения. Такие ошибки не имеют отношения к неопределенности измерения.

3.4.8 Хотя настоящее Руководство устанавливает общую методологию оценивания неопределенности, его применение требует от пользователя критического мышления, интеллектуальной честности и компетентности. Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерения, зависит, в конечном счете, от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении.

4 Оценивание стандартной неопределенности

Дополнительное руководство преимущественно практического характера по оцениванию составляющих неопределенности приведено в приложении F.

4.1 Моделирование измерения

4.1.1 В большинстве случаев измеряемую величину Y не измеряют непосредственно, а определяют через N других величин посредством функциональной зависимости f:

. (1)

Примечание 1 - В настоящем Руководстве для упрощения записи один и тот же символ используется для обозначения как физической величины (измеряемой величины), так и случайной величины (см. 4.2.1), представляющей возможные значения этой физической величины. Если указано, что величина имеет некоторое распределение вероятностей, то она понимается как случайная переменная. При этом предполагается, что сама физическая величина характеризуется одним единственным значением (см. 1.2 и 3.1.3).

Примечание 2 - Если имеется ряд наблюдений случайной величины, то k-е наблюдение случайной величины обозначается . Например, если сопротивление резистора обозначить R, то его k-е наблюдение обозначается .

Примечание 3 - Оценка (строго говоря, оценка математического ожидания ) обозначается .

Пример - Если к клеммам терморезистора с линейной зависимостью сопротивления от температуры с температурным коэффициентом , имеющего при температуре сопротивление , приложена разность потенциалов V, то рассеиваемую на данном терморезисторе при температуре t мощность Р (измеряемую величину) рассчитывают по формуле

.

Примечание - Другим методам измерения P будут соответствовать другие математические модели.

4.1.2 Входные величины , от которых зависит выходная величина Y, также можно рассматривать как измеряемые величины, и они тоже могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты, что усложняет вид функциональной зависимости f, которая, таким образом, никогда не может быть в явном виде определена полностью. Кроме того, функциональная зависимость f может быть определена экспериментально или существовать только в виде алгоритма численного расчета. Поэтому в настоящем Руководстве функциональная зависимость f понимается в более широком смысле, а именно, как функция, которая включает в себя все величины, в том числе поправки и поправочные коэффициенты, способные существенно влиять на неопределенность измерения Y.

Таким образом, если данные показывают, что функциональная зависимость f не моделирует измерение с требуемой точностью, то для устранения неадекватности модели в нее должны быть включены дополнительные входные величины (см. 3.4.2). Включением дополнительной входной величины можно учесть неполноту знаний о явлении, влияющем на измеряемую величину. В примере 4.1.1 дополнительные входные величины могут потребоваться, например, чтобы учесть известную неравномерность распределения температуры по резистору, нелинейную зависимость сопротивления резистора от температуры или зависимость сопротивления от атмосферного давления.

Примечание - В то же время формула (1) может иметь самый простой вид, например, . Такая модель соответствует, к примеру, сравнению двух определений одной и той же величины X.

4.1.3 Входные величины могут быть разделены на две группы:

- величины, значения и неопределенности которых определяют непосредственно в текущем измерении. Эти значения и неопределенности можно получить, например, в результате однократного наблюдения, повторных наблюдений или по основанным на опыте суждениям. Они могут включать определения поправок к показаниям приборов и поправок на влияющие величины, такие как окружающая температура, атмосферное давление и влажность;

- величины, значения и неопределенности которых получены из сторонних источников. К ним относятся величины, связанные с аттестованными эталонами, стандартными образцами веществ и материалов, а также величины, значения которых указаны в справочниках.

4.1.4 Оценку измеряемой величины Y, обозначаемую y, получают из формулы (1), подставляя в нее входные оценки для N входных величин . Таким образом, выходная оценка y, являющаяся результатом измерения, имеет вид

. (2)

Примечание - В некоторых случаях оценку у получают как среднее арифметическое (см. 4.2.1) n независимых определений величины Y по формуле

,

когда каждое определение имеет одну и ту же неопределенность и каждое основано на полном наборе наблюдаемых значений N входных величин , полученных в одно и то же время. Этому способу усреднения следует отдать предпочтение перед расчетом по формуле , где - среднее арифметическое отдельных наблюдений , в тех случаях, когда функциональная зависимость f нелинейна. Для линейной зависимости f указанные два способа усреднения дают одинаковые результаты (см. Н.2 и Н.4).

4.1.5 Оценку стандартного отклонения результата измерения (оценки выходной величины) y в виде суммарной стандартной неопределенности, обозначаемой , получают из оценок стандартного отклонения результатов измерений (оценок) каждой входной величины в виде стандартных неопределенностей, обозначаемых (см. 3.3.5 и 3.3.6).

4.1.6 Каждую входную оценку и связанную с ней стандартную неопределенность получают из вероятностного распределения значений входной величины . Это вероятностное распределение можно интерпретировать как частотную вероятность, основанную на серии наблюдений величины , или как априорное распределение. Оценки составляющих стандартной неопределенности по типу А основаны на частотном представлении вероятности, а по типу В - на априорных распределениях. Следует понимать, что в обоих случаях распределения отражают некоторое модельное представление знаний о случайной величине.

4.2 Оценивание стандартной неопределенности типа А

4.2.1 В большинстве случаев наилучшей оценкой математического ожидания случайным образом изменяющейся величины q [случайной переменной (С.2.2)], для которой при постоянных условиях измерения (см. В.2.15) были получены n независимых наблюдений , является среднее арифметическое (или просто среднее) значение из n наблюдений:

. (3)

Поэтому для получения результата измерения у по формуле (2) в качестве оценки входной величины по результатам n независимых повторных наблюдений используют среднее арифметическое значение , вычисленное в соответствии с формулой (3). Оценку входных величин, относящихся ко второй группе по 4.1.3, для которых повторные наблюдения отсутствуют, получают другими методами (см. 4.1.3).

4.2.2 Разброс значений в наблюдениях обусловлен случайными изменениями влияющих величин (случайными эффектами, см. 3.2.2). Выборочную дисперсию , являющуюся оценкой дисперсии для данного распределения вероятностей величины q, получают по формуле

. (4)

Положительный квадратный корень из выборочной дисперсии называют выборочным стандартным отклонением (см. В.2.17). Эта величина характеризует изменчивость наблюдений или, точнее, их разброс относительно среднего значения .

4.2.3 Наилучшей оценкой дисперсии среднего значения , является

. (5)

Выборочная дисперсия среднего значения и выборочное стандартное отклонение среднего значения , равное положительному квадратному корню из , определяют количественно, насколько хорошей оценкой математического ожидания величины q является , и могут быть использованы в качестве меры неопределенности .

Таким образом, стандартную неопределенность оценки , полученную по n независимым повторным наблюдениям входной величины , определяют как с использованием формулы (5) для оценки . Для удобства и иногда называют, соответственно, дисперсией типа А и стандартной неопределенностью типа А.

Примечание 1 - Число наблюдений n должно быть достаточно большим, чтобы и являлись надежными оценками математического ожидания случайной величины q и дисперсии математического ожидания соответственно (см. примечание к 4.3.2). При построении доверительных интервалов (см. 6.2.2) следует учитывать различие между и . Если q распределена по нормальному закону (см. 4.3.4), то это различие учитывается применением t-распределения для выборочного среднего (см. G.3.2).

Примечание 2 - Хотя одной из основных характеристик распределения вероятностей является именно дисперсия, в данном случае , на практике удобнее использовать , поскольку эта величина имеет ту же размерность, что и q, и более проста для восприятия, чем дисперсия.

4.2.4 Для измерений, проводимых в хорошо известных условиях под статистическим контролем, может быть доступна объединенная оценка дисперсии (или объединенное выборочное стандартное отклонение ). Если значение измеряемой величины q определяют по n независимым наблюдениям, то в качестве оценки выборочной дисперсии среднего значения рекомендуется принимать , а не , а в качестве стандартной неопределенности, соответственно, (см. примечание к Н.3.6).

4.2.5 Часто для получения оценки входной величины используют функциональную зависимость, полученную по экспериментальным данным методом наименьших квадратов. Выборочные оценки дисперсий и стандартных отклонений параметров функциональной зависимости, а также значений, прогнозируемых по данной функциональной зависимости, обычно могут быть легко вычислены с помощью хорошо известных статистических процедур (см. Н.3 и [8]).

4.2.6 При заявлении оценки составляющей неопределенности типа А всегда необходимо указывать соответствующее ей число степеней свободы (С.2.31) - см. G.3. В простейшем случае n независимых наблюдений, когда и .

4.2.7 В случае коррелированной (например, во времени) последовательности наблюдений входной величины среднее значение и выборочное стандартное отклонение, полученные согласно 4.2.1 и 4.2.3, могут быть неадекватными оценками (С.2.25) соответствующих статистик (С.2.23). Для анализа таких наблюдений следует использовать статистические процедуры, специально разработанные для обработки рядов случайных коррелированных результатов измерений.

Примечание - Примером специальных процедур являются те, что используют для обработки результатов измерений эталонов частоты. Может оказаться, что измерения, проявляющие себя как некоррелированные на коротком интервале времени, должны рассматриваться как коррелированные на более длительных интервалах с применением специальных методов обработки (см., например, [9], где подробно рассматривается так называемая дисперсия Аллана).

4.2.8 Анализ оценивания неопределенности типа А в 4.2.1-4.2.7 не является исчерпывающим. Существует много ситуаций, иногда довольно сложных, требующих применения разных статистических методов. Важным примером является планирование эксперимента, часто основанное на применении метода наименьших квадратов, в целях калибровки для оценки неопределенностей, связанных с кратковременными и долговременными случайными изменениями результатов сличений материальных эталонов с неизвестными размерами единиц величин (например, концевых мер длины, эталонов массы) с эталонами сравнения с известными передаваемыми размерами единиц величин. В таких сравнительно простых измерительных задачах составляющие неопределенности часто можно оценить посредством дисперсионного анализа (см. Н.5) результатов иерархических экспериментов для заданного числа уровней иерархии.

Примечание - На низких ступенях поверочной схемы, когда размер единицы величины, передаваемый эталоном сравнения, считают известным точно (поскольку эти эталоны были калиброваны с использованием первичных эталонов), неопределенность результата калибровки может состоять только из стандартной неопределенности типа А, за которую принимают объединенное выборочное стандартное отклонение, полученное в условиях, полно характеризующих измерение.

4.3 Оценивание стандартной неопределенности типа В

4.3.1 Для оценки входной величины , которая не была определена в результате повторных наблюдений, значения оценки дисперсии или стандартной неопределенности получают в результате обобщения и анализа всей доступной информации о возможной вариативности . Такая информация может включать в себя:

- данные предшествующих измерений;

- полученные опытным или теоретическим путем сведения о свойствах материалов и характеристиках приборов;

- характеристики, заявляемые изготовителем;

- данные, приводимые в свидетельствах о калибровке и других документах;

- неопределенности величин, которые вместе со значениями этих величин приведены в справочниках.

Для удобства оценки и , полученные таким образом, называют, соответственно, дисперсией типа В и стандартной неопределенностью типа В.

Примечание - Если получено из известного априорного распределения вероятностей, то соответствующую этой величине дисперсию следует обозначать . Однако для упрощения в настоящем Руководстве используются обозначения и .

4.3.2 Правильное использование доступной информации для оценивания стандартной неопределенности типа В требует физической интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, которая приходит с накопленной практикой. Следует понимать, что оценка стандартной неопределенности по типу В может быть не менее надежной, чем оценка стандартной неопределенности по типу А, особенно если последняя получена в условиях небольшого числа статистически независимых наблюдений.

Примечание - Если распределение вероятностей q (см. примечание 1 к 4.2.3) является нормальным, то отношение приблизительно равно . Таким образом, если принять в качестве неопределенности , то для 10 наблюдений (n=10) относительная неопределенность будет равна 24%, а для 50 наблюдений (n=50) - 10% (дополнительная информация приведена в таблице Е.1 приложения Е).

4.3.3 Если оценка взята из технической документации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого документального источника, в котором значение неопределенности дано в виде стандартного отклонения, умноженного на некоторый коэффициент, то стандартную неопределенность можно получить, разделив справочное значение неопределенности на этот коэффициент, а оценку дисперсии - возведя полученный результат в квадрат.

Пример - Согласно сертификату о калибровке масса , эталона из нержавеющей стали с номинальным значением 1 кг равна 1000,000325 г, а его "неопределенность в виде утроенного стандартного отклонения равна 240 мкг". В этом случае стандартную неопределенность эталона массы получают как  мкг. Это соответствует относительной стандартной неопределенности (см. 5.1.6). Оценка дисперсии составляет .

Примечание - Как правило, источник информации, указывающий неопределенность измерения какой-либо величины, не приводит составляющие этой неопределенности. В большинстве случаев при выражении неопределенности измерения в соответствии с настоящим Руководством это не имеет значения, поскольку при вычислении суммарной стандартной неопределенности результата измерения единообразно суммируются стандартные неопределенности всех входных величин (см. раздел 5).

4.3.4 Приводимая в том или ином источнике информация о неопределенности не всегда имеет вид величины, кратной стандартному отклонению, как рассмотрено в 4.3.3. Часто такую неопределенность определяют в виде интервала с уровнем доверия 90%, 95% или 99% (см. 6.2.2). Если не указано иное, то можно предположить, что для расчета указанного интервала была использована гипотеза о нормальном распределении (С.2.14) величины . В этом случае стандартную неопределенность для , получают делением приведенного в источнике информации значения на соответствующий коэффициент для нормального распределения. Так вышеуказанным трем уровням доверия соответствуют следующие коэффициенты: 1,64; 1,96 и 2,58 (см. также таблицу G.1 приложения G).

Примечание - В таком предположении не было бы необходимости, если бы неопределенность была выражена в соответствии с рекомендациями настоящего Руководства, в котором подчеркивается необходимость при заявлении неопределенности всегда указывать используемый коэффициент охвата (см. 7.2.3).

Пример - Согласно свидетельству о калибровке, сопротивление эталонного резистора с номинальным значением 10 Ом равно  мкОм при температуре 23°С и "неопределенность 129 мкОМ соответствует интервалу с уровнем доверия 99%". В этом случае стандартную неопределенность сопротивления можно принять равной  мкОм. Это соответствует относительной стандартной неопределенности (см. 5.1.6). Оценка дисперсии равна .

4.3.5 Рассмотрим случай, когда на основе некоторого источника информации можно сделать заключение, что значение входной величины с равной вероятностью может находиться как в пределах интервала от до , так и вне этого интервала. Другими словами, вероятность того, что значение находится в интервале от до равно 0,5 или 50%. Если есть основания предположить, что распределение вероятностей близко к нормальному, то лучшей оценкой для будет средняя точка этого интервала. Обозначив а полуширину интервала, , можно принять , поскольку для нормального распределения с математическим ожиданием и стандартным отклонением интервал охватывает приблизительно 50% распределения.

Пример - Станочник, определяя размеры детали, решил, что ее длина l с вероятностью 0,5 находится в интервале от 10,07 до 10,15 мм и записал это в виде  мм, понимая под этим, что - интервал с уровнем доверия 50%. В этом случае a=0,04 мм, и в предположении нормального распределения возможных значений l стандартная неопределенность длины будет равна  мм. Оценка дисперсии будет .

4.3.6 Рассмотрим случай, подобный изложенному в 4.3.5, но когда на основе имеющейся информации можно утверждать, что в двух случаях из трех значение будет находиться в интервале от до . Другими словами, вероятность того, что значение находится в интервале от до равно приблизительно 0,67. Тогда с достаточным основанием можно принять , поскольку для нормального распределения с математическим ожиданием и стандартным отклонением интервал охватывает приблизительно 68,3% распределения.

Примечание - Точное значение стандартного отклонения , соответствующего интервалу с доверительной вероятностью p=2/3, равно 0,96742, тогда стандартную неопределенность следовало бы получить по формуле Однако столь высокая точность вычислений стандартной неопределенности, очевидно, не является оправданной.

4.3.7 В ряде случаев можно оценить только границы (верхний и нижний пределы) для , в частности, утверждать, что "для всех практических целей вероятность нахождения значения в интервале от до близка к единице, а вне пределов этого интервала - несущественна". Если дополнительная информация о возможных значениях внутри указанного интервала отсутствует, то остается предположить, что вероятность для принять любое значение в пределах интервала одинакова (что соответствует равномерному или прямоугольному распределению вероятностей, см. 4.4.5 и рисунок 2). Тогда , равное математическому ожиданию , будет средней точкой интервала, . Дисперсию такого распределения определяют по формуле

. (6)

Если разность между границами, , обозначить 2а, то формула (6) примет вид

. (7)

Примечание - Если составляющая неопределенности, полученная таким образом, дает значительный вклад в неопределенность результата измерения, то целесообразно рассмотреть возможность получения дополнительной информации для уточнения вида распределения.

Пример 1 - Согласно справочнику значение температурного коэффициента линейного расширения чистой меди при 20°С равно , а погрешность этого значения не превышает . На основании такой ограниченной информации можно только предположить, что значение равновероятно распределено в интервале от до и что вероятность нахождения вне пределов этого интервала очень мала. Дисперсию симметричного прямоугольного распределения возможных значений с полушириной можно получить по формуле (7): . Тогда стандартная неопределенность будет равна .

Пример 2 - В технических условиях изготовителем цифрового вольтметра указано, что "в промежутке от года до двух лет после калибровки прибора его погрешность состоит из относительной погрешности, равной , и погрешности, приведенной к пределу измерений (1 В), равной . Пусть спустя 20 месяцев после калибровки повторные измерения напряжения V в диапазоне до 1 В дали среднее значение  В. При этом известно, что стандартная неопределенность по типу А, связанная с изменчивостью при повторных наблюдениях,  мкВ. Оценку стандартной неопределенности по типу В по техническим условиям изготовителя можно получить в предположении, что указанная им погрешность определяет симметричные границы равномерного распределения аддитивной поправки к с нулевым математическим ожиданием. Тогда полуширину а диапазона возможных значений определяют как  В или 15 мкВ, и из формулы (7) получают   и  мкВ. Оценка значения измеряемой величины V, для простоты обозначаемая тем же символом V, равна  В. Суммарную стандартную неопределенность этой оценки получают суммированием стандартной неопределенности по типу А, равной 12 мкВ, и стандартной неопределенности по типу В, равной 8,7 мкВ. Общий метод суммирования составляющих стандартной неопределенности дан в разделе 5, а этот конкретный пример рассмотрен в 5.1.5.

4.3.8 В рассмотренном в 4.3.7 случае верхняя и нижняя границы диапазона изменений входной величины могут быть расположены несимметрично относительно лучшей оценки . Так, если нижнюю границу представить в виде , а верхнюю - в виде , то может быть справедливо условие . Поскольку в этом случае (математическое ожидание ) не находится посередине интервала от до , то распределение вероятностей не может быть равномерным в данном интервале. При этом имеющейся информации может быть недостаточно, чтобы сделать обоснованное заключение о виде распределения, а произвольный выбор разных моделей распределения даст разные оценки дисперсии. В этом случае простейшей оценкой дисперсии является

, (8)

которая совпадает с дисперсией прямоугольного распределения в интервале шириной (асимметричные распределения рассматриваются также в F.2.4.4 и G.5.3).

Пример - Пусть в примере 1 (4.3.7) в справочнике значение коэффициента дано как и указано, что "наименьшее возможное значение коэффициента равно °, а наибольшее - ° ". Тогда °, , и по формуле (8) получаем °.

Примечание 1 - Во многих практических измерительных ситуациях, когда границы асимметричны, целесообразно вносить поправку в оценку на величину , чтобы новая оценка величины находилась посередине диапазона, . Это сведет ситуацию к случаю, рассмотренному в 4.3.7, при новых значениях .

Примечание 2 - Основываясь на принципе максимума энтропии, можно показать, что в случае асимметричных границ плотность вероятности распределения с максимальной энтропией имеет вид , где А и являются решением системы уравнений: , ; в случае и в случае . Дисперсия такого распределения имеет вид .

4.3.9 В случае, рассмотренном в 4.3.7, отсутствие информации о возможных значениях величины в пределах границ ее изменения от до не позволило сделать иного предположения о плотности распределения вероятностей , кроме как принять ее постоянной в пределах интервала от до и нулевой вне этого интервала. Распределение вероятностей такого вида содержит разрывы (на границах интервала), что зачастую не имеет под собой ясной физической основы. Во многих случаях можно ожидать, что значения вблизи границ интервала гораздо менее вероятны, чем в его центре. Тогда симметричное прямоугольное распределение целесообразно заменить симметричным трапецеидальным распределением с шириной нижнего основания и шириной верхнего основания , где . При это распределение стремится к прямоугольному, рассмотренному в 4.3.7, а при - к треугольному (см. 4.4.6 и рисунок 2b). Математическое ожидание величины для такого трапецеидального распределения будет равно , дисперсия определяется по формуле

, (9а)

а в случае треугольного распределения :

. (9b)

Примечание 1 - Для нормального распределения с математическим ожиданием и стандартным отклонением в интервал попадают приблизительно 99,73% значений случайной величины. Таким образом, если принять что интервал от до охватывает не 100%, а 99,73% значений и что случайная величина распределена по закону, близкому к нормальному (это будет дополнительной информацией о распределении случайной величины по сравнению с той, что рассмотрена в 4.3.7), то . Для сравнения: дисперсия симметричного прямоугольного распределения на интервале полушириной а равна [формула (7)], а дисперсия симметричного треугольного распределения на интервале полушириной а равна [формула (9b)]. Различия в значениях дисперсий этих трех распределений довольно незначительны по сравнению с разницей в объемах информации, требуемой для обоснования выбора того или иного распределения.

Примечание 2 - Трапецеидальное распределение можно рассматривать как свертку двух прямоугольных распределений (см. [10]): одного с полушириной , равной длине средней линии трапеции, , другого - с полушириной , равной длине средней линии треугольника, образованного боковой линией, опущенной из нее высотой и частью нижнего основания трапеции, . Тогда дисперсию трапецеидального распределения можно представить в виде суммы дисперсий этих двух прямоугольных распределений: . Свертку распределений можно интерпретировать также как случайную величину, распределенную по равномерному закону на интервале , значение которого известно с некоторой неопределенностью, определяемой другим равномерным распределением на интервале , т.е. как равномерно распределенную случайную величину, границы распределения которой точно не известны. Но даже если составляет 30% , стандартное отклонение трапецеидального распределения и будет превышать менее чем на 5%.

4.3.10 Важно, чтобы одни и те же составляющие неопределенности не были учтены более одного раза. Если составляющая неопределенности, обусловленная конкретным эффектом, получена оцениванием типа В, то она должна войти как независимая составляющая при расчете суммарной стандартной неопределенности только в той части, в какой этот эффект не вызывает вариативности результатов измерения. Это обусловлено тем, что та часть эффекта, которая вносит вклад в вариативность, уже включена в составляющую неопределенности, полученную на основе статистического анализа наблюдений.

4.3.11 Обсуждение оценивания стандартной неопределенности типа В в 4.3.3-4.3.9 проведено на качественном уровне. Однако получение оценок неопределенности в максимально возможной мере должно быть основано на количественных данных, как подчеркивается в 3.4.1 и 3.4.2.

4.4 Графическая иллюстрация оценивания стандартной неопределенности

4.4.1 На рисунке 1 графически показана оценка значения входной величины и оценка неопределенности этой оценки по выборке (повторным наблюдениям) из генеральной совокупности с неизвестным законом распределения.

4.4.2 На рисунке 1а показан пример, когда входной величиной является температура t, а неизвестным распределением является нормальное распределение с математическим ожиданием °С и стандартным отклонением °С, плотность вероятности которого описывается формулой (см. С.2.14)

.

Примечание - Из определения плотности распределения вероятностей следует необходимость выполнения условия .

4.4.3 На рисунке 1b показана гистограмма n=20 повторных наблюдений температуры t, взятых, предположительно, из генеральной совокупности, которая описывается распределением, изображенным на рисунке 1а. Для построения гистограммы наблюдения, значения которых даны в таблице 1, были сгруппированы в классы шириной 1°С. (Гистограмма приведена в качестве иллюстрации; ее построение не входит в статистический анализ данных.)

Таблица 1 - Двадцать повторных наблюдений температуры t, сгруппированных в классы шириной 1°С

Границы классов		Результаты наблюдений t, °С
Нижняя граница класса , °С	Верхняя граница класса , °С
94,5	95,5	-
95,5	96,5	-
96,5	97,5	96,90
97,5	98,5	98,18; 98,25
98,5	99,5	98,61; 99,03; 99,49
99,5	100,5	99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42
100,5	101,5	100,68; 100,95; 101,11; 101,20
101,5	102,5	101,57; 101,84; 102,36
102,5	103,5	102,72
103,5	104,5	-
104,5	105,5	-

Среднее арифметическое (или среднее) значение из n=20 наблюдений, вычисленное по формуле (3), равно °С, и предполагается, что оно является лучшей оценкой математического ожидания величины t. Выборочное стандартное отклонение , вычисленное по формуле (4), равно °С, а выборочное стандартное отклонение среднего значения , вычисленное по формуле (5) и являющееся стандартной неопределенностью среднего значения , равно .

Примечание - Данные в таблице 1 выглядят как полученные с помощью высокоточного цифрового электронного термометра, широко применяющегося в измерениях в последнее время. Однако в действительности они не соответствуют реальному измерению и приведены только в качестве иллюстрации.

4.4.4 На рисунке 2 графически показана оценка значения входной величины и оценка неопределенности этой оценки для известного априорного распределения (распределения, выбранного на основе всей имеющейся информации о ). Как и в предыдущем примере, предполагается, что входной величиной является температура t.

4.4.5 Для случая, показанного на рисунке 2а, предполагается, что имеющаяся информация о входной величине t позволяет только сделать заключение, что она описывается симметричным прямоугольным распределением вероятностей в интервале с нижней границей и верхней границей , т.е. с полушириной (см. 4.3.7). Математическая запись этой плотности вероятности имеет вид

,

.

Как указано в 4.3.7, наилучшей оценкой t является ее математическое ожидание , что следует из С.3.1. Стандартная неопределенность этой оценки будет равна , что следует из С.3.2 [см. формулу (7)].

4.4.6 Для случая, показанного на рисунке 2b, предполагается, что о величине t имеется более обширная информация, позволяющая предположить, что данной величине соответствует симметричное треугольное распределение вероятностей с теми же нижней () и верхней () границами и с той же полушириной интервала (см. 4.3.9). Математическая запись этой плотности вероятности имеет вид

,

,

.

Как указано в 4.3.9, математическое ожидание величины t равно , что следует из С.3.1. Стандартная неопределенность этой оценки будет равна , что следует из С.3.2 [см. формулу (9b)].

Это последнее значение, , можно сравнить с , полученным в 4.4.5 для прямоугольного распределения на том же интервале шириной 8°С, а также с для нормального распределения, показанного на рисунке 1а, у которого 99% значений попадают в интервал от до той же ширины 8°С, и с , полученной в 4.4.3 по 20 наблюдениям, которые, как предполагалось, были взяты случайным образом из того же самого нормального распределения.

5 Определение суммарной стандартной неопределенности

5.1 Некоррелированные входные величины

В настоящем подразделе рассмотрен случай, когда все входные величины независимы (С.3.7). Случай, когда две или более входных величин связаны между собой, т.е. коррелированны (С.2.8), рассмотрен в 5.2.

5.1.1 Стандартную неопределенность оценки (результата измерения) у измеряемой величины Y получают путем соответствующего определенного суммирования стандартных неопределенностей входных оценок (см. 4.1). Эту суммарную стандартную неопределенность оценки у обозначают как .

Примечание - По тем же причинам, что указаны в примечании к 4.3.1, каждый из символов и используется в двух значениях.

5.1.2 Суммарная стандартная неопределенность представляет собой положительный квадратный корень из суммарной дисперсии, получаемой по формуле

, (10)

где f - функция, определенная в 4.1.1 [см. формулу (1)];

- стандартная неопределенность входной величины, оцененная по типу А (см. 4.2) или В (см. 4.3).

Суммарная стандартная неопределенность представляет собой оценку стандартного отклонения измеряемой величины У и характеризует разброс значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны этой величине (см. 2.2.3).

Формула (10), как и ее аналог для случая коррелированных входных величин - формула (13), основана на аппроксимации функциональной зависимости рядом Тейлора первого порядка и в терминах настоящего Руководства представляет собой закон трансформирования неопределенностей (см. Е.3.1 и Е.3.2).

Примечание - Если функциональная зависимость f существенно нелинейна, то в формуле (10) для должны быть учтены члены разложения в ряд Тейлора высших порядков. Если каждая из распределена по нормальному закону, то наиболее значимыми членами более высоких порядков, которые следует добавить в правую часть формулы (10), являются

.

Пример, когда необходимо учитывать члены разложения в ряд Тейлора высших порядков, приведен в Н.1.

5.1.3 Частные производные следует понимать как при (см. примечание 1 ниже). Эти производные, называемые также коэффициентами чувствительности, показывают, как изменяется выходная оценка y с изменением входных оценок . Так, при небольшом изменении входной оценки на величину оценка y изменится на . Если изменение входной оценки совпадает с ее стандартной неопределенностью, то соответствующее изменение в у будет равно . Поэтому суммарную дисперсию можно рассматривать как сумму дисперсий выходной оценки у, каждая из которых обусловлена дисперсией соответствующей входной оценки . Это позволяет записать формулу (10) в виде

, (11а)

где

. (11b)

Примечание 1 - Строго говоря, частные производные представляют собой значения в точке математических ожиданий величин . Однако на практике для их оценивания используют формулу

.

Примечание 2 - Суммарную стандартную неопределенность можно рассчитать численно, заменяя в формуле (11а) на

.

т.е. численную оценку получают, вычисляя изменения у при изменениях на и - и принимая равным . При этом соответствующий коэффициент чувствительности может быть представлен как .

Пример - Используя в примере к 4.1.1 в целях упрощения записи одно и то же обозначение как для величины, так и для ее оценки, можно получить следующие оценки коэффициентов чувствительности и суммарной дисперсии:

;

;

;

;

.

5.1.4 Иногда коэффициенты чувствительности , определяют не расчетным способом из вида функциональной зависимости f, а экспериментально, измеряя изменение Y, вызванное изменением заданной входной величины , когда значения остальных входных величин поддерживаются постоянными. В этом случае не требуется знания вида функциональной зависимости f (или части этой зависимости, если экспериментально определяют только некоторые коэффициенты чувствительности). Вместо этого достаточно получить разложение f в ряд Тейлора первого порядка через эмпирические коэффициенты чувствительности.

5.1.5 Если функциональную зависимость для измеряемой величины Y разложить в ряд в окрестности номинальных значений входных величин и ограничиться членами первого порядка (что в большинстве случаев будет достаточно хорошим приближением), то формула (1) преобразуется к виду , где в точках и . Таким образом, в целях анализа неопределенности измеряемую величину можно аппроксимировать линейной функцией, перейдя от входных величин к их приращениям (см. Е.3.1).

Пример - В примере 2 к 4.3.7 оценка значения измеряемой величины имеет вид , где В,  мкВ, и  мкВ. Поскольку и , то суммарную дисперсию для V можно получить по формуле

.

Суммарная стандартная неопределенность будет равна  мкВ, что соответствует относительной суммарной стандартной неопределенности (см. 5.1.6). В данном примере сама измеряемая величина (а не ее разложение) является линейной функцией величин, от которых она зависит, с коэффициентами . Из формулы (10) следует, что если , а коэффициенты чувствительности принимают значения плюс 1 или минус 1, то .

5.1.6 Если функциональная зависимость имеет вид , а степени представляют собой известные (с пренебрежимо малой неопределенностью) числа, то формулу (10) для суммарной дисперсии можно преобразовать к виду

. (12)

Эта формула имеет такой же вид, что и формула (11а), но вместо суммарной дисперсии в нее входит относительная суммарная дисперсия , а вместо оценок дисперсий входных величин - оценки относительных дисперсий . (Относительной суммарной стандартной неопределенностью и относительной стандартной неопределенностью для каждой входной оценки будут соответственно и ; ).

Примечание 1 - Если функциональная зависимость имеет вид произведения степенных функций от входных величин, то ее легко преобразовать в линейную зависимость (см. 5.1.5) путем подстановки , что позволяет получить приближенную формулу . Если же использовать операцию логарифмирования, то новые переменные и будут связаны точной линейной зависимостью: .

Примечание 2 - Если каждое имеет значение либо плюс 1, либо минус 1, то формула (12) принимает вид , т.е. в этом частном случае относительная суммарная дисперсия оценки у просто равна сумме относительных дисперсий входных оценок .

5.2 Коррелированные входные величины

5.2.1 Формула (10) и связанные с ней формулы, такие как (11а) и (12), справедливы только в том случае, если входные величины независимы или некоррелированны (в данном случае под понимают случайную величину, в то время как соответствующая ей физическая величина считается постоянной неизвестной - см. примечание 1 к 4.1.1). Если какие-либо из в значительной степени коррелированны, то эту корреляцию необходимо принимать в расчет.

5.2.2 Если входные величины коррелированны, то формула для суммарной дисперсии результата измерения будет иметь вид

, (13)

где и являются оценками, соответственно и , а - оценка ковариации и . Степень корреляции между и характеризуется оценкой коэффициента корреляции (С.3.6)

, (14)

где и . Если оценки и независимы, то , и по изменению значения одной из этих случайных величин нельзя прогнозировать изменение значения другой (более подробно данный вопрос рассматривается в С.2.8, С.3.6 и С.3.7).

При использовании коэффициентов корреляции, которые легче интерпретировать, чем ковариации, ковариационное слагаемое в формуле (13) можно представить в виде

. (15)

Тогда с учетом формулы (11b) формула (13) принимает вид

. (16)

Примечание 1 - В частном случае, когда все входные величины коррелированны с коэффициентами корреляции , формула (16) упрощается до вида

.

При этом суммарная стандартная неопределенность будет представлять собой просто сумму составляющих неопределенности выходной величины, каждое из которых обусловлено неопределенностью соответствующей входной оценки . [Эту сумму не следует путать с похожим по виду общим законом суммирования погрешностей - стандартные неопределенности не являются погрешностями (см. Е.3.2)].

Пример - Десять резисторов номинальным сопротивлением  Ом каждый калибруют методом сличения (неопределенностью сличения в данном примере пренебрегают) с эталоном того же номинального сопротивления  Ом. Стандартная неопределенность эталона и  мОм указана в его свидетельстве о сертификации. Резисторы соединяют последовательно проводами с пренебрежимо малым сопротивлением для получения эталона сопротивления номиналом 10 кОм.

Таким образом, . Поскольку для каждой пары резисторов (см. F.1.2.3, пример 2), то справедлива формула из примечания 1. Для каждого резистора и (см. F.1.2.3, пример 2) применение указанной формулы дает значение суммарной стандартной неопределенности  Ом. Результат  Ом, полученный с помощью формулы (10), будет неверен, поскольку он не учитывает корреляцию между сопротивлениями десяти резисторов, обусловленную процедурой калибровки эталона.

Примечание 2 - Оценки дисперсий и оценки ковариаций можно рассматривать как элементы ковариационной матрицы. Диагональными элементами такой матрицы будут дисперсии , а недиагональными - ковариации . Если две входные величины некоррелированны, то соответствующие элементы ковариационной матрицы и равны нулю. Если все входные величины некоррелированны, то все недиагональные элементы равны нулю, и ковариационная матрица будет диагональной (см. также С.3.5).

Примечание 3 - Для получения числовых оценок формулу (16) можно записать в виде

,

где - величина, определенная в примечании 2 к 5.1.3.

Примечание 4 - Если для функциональной зависимости, определенной в 5.1.6, все входные величины являются коррелированными, то в правую часть формулы (12) следует добавить слагаемые вида

.

5.2.3 Обозначим через и средние арифметические значения, являющиеся оценками математических ожиданий соответственно и двух случайных величин q и r и полученные из n независимых пар одновременных наблюдений q и r в одинаковых условиях измерений (см. В.2.15). Тогда ковариацию (см. С.3.4) и можно получить по формуле

, (17)

где и - отдельные наблюдения величин q и r соответственно, a и рассчитывают из наблюдений по формуле (3). Если в действительности величины q и r некоррелированны, то оценка, полученная по формуле (17), будет, как правило, близка к нулю.

Таким образом, оценку ковариации двух коррелированных входных величин и с оценками и , полученными из независимых пар повторных одновременных наблюдений, рассчитывают по формуле , где получают по формуле (17). Оценка ковариации, полученная в соответствии с формулой (17), будет оценкой по типу А. Выборочный коэффициент корреляции для и может быть получен из формулы (14): .

Примечание - Примеры, в которых необходимо использовать значения ковариации, рассчитанных по формуле (17), приведены в Н.2 и Н.4.

5.2.4 Значительная корреляция между двумя входными величинами может наблюдаться в случаях, когда для их оценивания используют один и тот же измерительный прибор, один и тот же эталон или одни и те же справочные данные, имеющие большую стандартную неопределенность. Например, если использовать один и тот же термометр для внесения температурной поправки в оценку входной величины и аналогичной поправки в оценку входной величины , то после внесения поправок эти входные величины могут стать сильно коррелированными. Однако в описанном примере корреляции входных величин можно избежать, если в функциональную зависимость (1) включить и без поправок, но дополнить ее функциональными зависимостями (с известными параметрами и известными стандартными неопределенностями этих параметров) указанных величин от температуры (калибровочными характеристиками) - см. F.1.2.3 и F.1.2.4.

5.2.5 Если между входными величинами имеется корреляция, и она значительна, то пренебрегать ею нельзя. Соответствующие ковариации при возможности варьирования значений входных величин (см. C.3.6, примечание 3) следует оценивать экспериментально или использовать всю доступную информацию о характере зависимости входных величин при их вариациях для оценивания типа В. При оценивании степени корреляции между входными величинами важную роль играет физическая интуиция, основанная на накопленном опыте и общих знаниях (см. 4.3.1 и 4.3.2), особенно в случаях, когда корреляция обусловлена влиянием общих факторов, таких как температура окружающей среды, атмосферное давление и влажность. Зачастую влияние таких факторов на взаимозависимость входных величин незначительно, и эти величины можно считать некоррелированными. Если же влиянием общих факторов пренебречь нельзя, то коррелированность входных переменных можно устранить, введя эти факторы в явном виде в функциональную зависимость (1) в качестве дополнительных независимых входных величин, как это описано в 5.2.4.

6 Определение расширенной неопределенности

6.1 Введение

6.1.1 Разработанная Рабочей группой по неопределенности Рекомендация INC-1 (1980), на которой основано настоящее Руководство (см. Введение), а также разработанные МКМВ Рекомендации 1 (CI-1981) и 1 (CI-1986), которыми INC-1 (1980) была одобрена и вновь подтверждена (см. А.2 и А.3), поддерживают использование суммарной стандартной неопределенности в качестве количественной характеристики неопределенности результата измерения. Во второй из вышеуказанных рекомендаций МКМВ содержится предложение, чтобы то, что сейчас называют суммарной стандартной неопределенностью , "использовалось всеми участниками при представлении результатов всех международных сличений и других работ, проводимых под эгидой МКМВ и консультативных комитетов".

6.1.2 Хотя параметр может служить универсальным средством выражения неопределенности результата измерения, зачастую в промышленности, торговле и законодательно регулируемых областях, например, связанных с охраной здоровья и обеспечением безопасности, результат измерений должен быть представлен с указанием охватывающего его интервала, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Важность такого требования была признана Рабочей группой, что привело к появлению параграфа 5 Рекомендации INC-1 (1980). Данное требование нашло также отражение в Рекомендации 1 (CI-1981) МКМВ.

6.2 Расширенная неопределенность

6.2.1 Дополнительной мерой неопределенности, которая удовлетворяет требованию представления интервала в смысле, указанном в 6.1.2, является расширенная неопределенность, обозначаемая символом U. Расширенную неопределенность получают умножением суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата k:

. (18)

При этом результат измерения удобно выражать в виде , означающем, что лучшей оценкой значения, приписываемого измеряемой величине Y, является у и что интервал от y-U до y+U содержит, как можно ожидать, большую часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать Y. Другой формой записи такого интервала будет .

6.2.2 Термины доверительный интервал (С.2.27, С.2.28) и доверительная вероятность (С.2.29), нашедшие применение в математической статистике и имеющие точную формулировку, могут быть применены к интервалу, определяемому через U, только при выполнении определенных условий. В частности, все составляющие неопределенности, входящие в , должны представлять собой оценки по типу А. Поэтому в настоящем Руководстве прилагательное "доверительный" применительно к интервалу, определяемому через U, и к вероятности нахождения измеряемой величины внутри этого интервала не используется. Вместо "доверительной вероятности" используется термин "уровень доверия". Более точно, U понимается как параметр, характеризующий интервал, в который попадает результат измерения и который содержит большую часть p распределения вероятностей, связанного с результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. При этом p является вероятностью охвата или уровнем доверия для этого интервала.

6.2.3 При необходимости для интервала, определяемого через U, оценивают и указывают уровень доверия р. Хотя умножение на некоторый коэффициент не дает новой информации, оно позволяет представить уже имеющуюся информацию в другом виде. Однако следует также признать, что в большинстве случаев уровень доверия p (особенно для значений p, близких к единице) будет весьма неопределенным не только из-за ограниченности знаний о распределении вероятностей, связанном с у и (особенно о форме "хвоста" распределения), но также вследствие неопределенности самого значения (см. примечание 2 к 2.3.5, 6.3.2, 6.3.3, а также приложение G, в частности G.6.6).

Примечание - Предпочтительные способы представления результата измерения в случаях, когда мерой неопределенности являются и U, указаны, соответственно, в 7.2.2 и 7.2.4.

6.3 Выбор коэффициента охвата

6.3.1 Значение коэффициента охвата k выбирают на основе уровня доверия, требуемого для интервала от y-U до y+U. Обычно k принимает значения от 2 до 3, однако в особых случаях значение k может находиться вне этих границ. Обоснованный выбор значения k требует большого опыта и четкого понимания, в каких целях будет использован результат измерения.

Примечание - Может оказаться так, что при представлении результата измерения в него не была внесена поправка b на известный систематический эффект, а вместо этого сделана попытка учесть данный эффект через увеличение неопределенности, приписанной результату измерения. Таких действий следует избегать. Поправки на известные значимые систематические эффекты не вносят в результат измерения только в крайне редких, особых случаях (один из примеров приведен в F.2.4.5). Оценивание неопределенности результата измерения не следует путать с приписыванием "гарантированных" границ для какой-либо величины.

6.3.2 В идеале было бы желательно иметь возможность определить значение k [и, соответственно, интервал ], отвечающее выбранному уровню доверия, например 95% или 99%, и, наоборот, для выбранного значения k и связанного с ним интервала определить соответствующий уровень доверия. Однако это не всегда легко реализовать на практике, поскольку требует точного знания вида распределения вероятностей, характеризуемого результатом измерения y его суммарной стандартной неопределенностью . Хотя эти параметры очень значимы, их знания недостаточно для определения интервалов с заданными уровнями доверия.

6.3.3 Рекомендация INC-1 (1980) не устанавливает способ определения соотношения между k и p. Этот вопрос рассматривается в приложении G, предпочтительный способ установления соотношения между k и p приведен в G.4, а общий вывод по результатам рассмотрения - в G.6.4. Однако зачастую можно признать допустимым упрощенный подход, изложенный в G.6.6 для ситуаций, когда распределение вероятностей с оценками его параметров у и близко к нормальному, а число эффективных степеней свободы при оценивании достаточно велико. В этом часто встречающемся на практике случае можно принять, что значение k=2 соответствует интервалу с уровнем доверия, близким к 95%, а значение k=3 - интервалу с уровнем доверия, близким к 99%.

Примечание - Метод определения числа эффективных степеней свободы для оценки приведен в G.4. Определить, применим ли данный метод для конкретного измерения можно с помощью таблицы G.2 приложения G (см. G.6.6).

7 Представление результатов оценивания неопределенности

7.1 Общие рекомендации

7.1.1 Как правило, по мере продвижения вверх по иерархии измерений требуется все больше информации о том, как были получены результат измерений и его неопределенность. Однако на любом уровне иерархии, будь то измерения в торговле или для проверки выполнения нормативных требований, технические измерения в промышленности, измерения на низших ступенях поверочной схемы, в научно-технических и академических исследованиях, при создании промышленных первичных эталонов, в национальных метрологических институтах (лабораториях) или в работах по инициативе МБМВ, должна быть доступна вся информация, необходимая для проверки качества выполненных измерений. Разница заключается в том, что на низших уровнях иерархии большую часть необходимой информации можно получить из отчетов о калибровке и испытаниях, методик испытаний, сертификатов калибровки, руководств по эксплуатации, международных и национальных стандартов, местных законодательных актов.

7.1.2 Когда информация об измерении, включая способ оценивания неопределенности, дается ссылкой на соответствующие документы (например, сертификат, составленный по результатам калибровки) крайне важно, чтобы эти документы поддерживались на современном уровне и соответствовали принятой на данный момент методологии измерений.

7.1.3 В промышленности и торговле каждый день проводится огромное число измерений без подробных описаний неопределенности. Однако многие из них выполняют с применением приборов, подлежащих периодической поверке или калибровке. Если известно, что приборы удовлетворяют техническим условиям или распространяющимся на них нормативным документам, то за неопределенности их показаний можно принять ту, что указана в этих документах.

7.1.4 Хотя на практике объем информации, необходимый для представления результата измерения, зависит от его предполагаемого использования, общий принцип остается неизменным: лучше, чтобы объем информации был избыточным, нежели недостаточным. В частности, следует

a) ясно описать методы, использованные для получения результата измерения и его неопределенности из экспериментальных наблюдений и иной доступной информации;

b) перечислить все составляющие неопределенности и подробно описать, как они были оценены;

c) представить анализ данных таким образом, чтобы можно было легко проследить все этапы вычислений и, при необходимости, их повторить;

d) указать все поправки и константы, использованные при анализе, и указать источники их получения.

При выполнении вышеуказанных требований следует задаваться вопросом, достаточен ли объем представляемой информации и достаточно ли ясно она изложена, чтобы приводимый результат впоследствии мог быть скорректирован в случае поступления новых данных.

7.2 Частные рекомендации

7.2.1 Если мерой неопределенности результата измерения является суммарная стандартная неопределенность , то при представлении результата измерения следует:

a) дать подробное определение измеряемой величины Y;

b) привести оценку у измеряемой величины Y и суммарной стандартной неопределенности с указанием единиц измерений;

c) при необходимости указать относительную суммарную стандартную неопределенность ;

d) дать информацию, указанную в 7.2.7, или сослаться на соответствующий опубликованный документ.

Если есть основания предполагать, что при использовании результатов измерения другими лицами им может потребоваться дополнительная информация об измерении, например для расчета коэффициента охвата или лучшего понимания условий измерения, то дополнительно рекомендуется указывать:

- оценку числа эффективных степеней свободы (см. G.4);

- суммарные стандартные неопределенности отдельно для оценок по типу А, , и по типу В, , а также число эффективных степеней свободы, соответственно, и (см. G.4.1, примечание 3).

7.2.2 При использовании в качестве меры неопределенности измерения предпочтительно во избежание разночтений использовать одну из четырех форм записи результатов измерения (в нижеследующих примерах представпения результата измерения предполагается, что измеряемой величиной является масса эталона с номинальным значением 100 г; если в документе, где указывается результат, величина уже была ранее определена, то слова "суммарная стандартная неопределенность" в скобках для краткости можно опустить):

1) " г (суммарная стандартная неопределенность);  мг";

2) " г, где число в скобках - (суммарная стандартная неопределенность) двух младших разрядов результата измерения";

3) " г, где число в скобках - (суммарная стандартная неопределенность) в тех же единицах измерения (г)";

4) " г, где число, стоящее после знака "", - (суммарная стандартная неопределенность) (а не доверительный интервал)".

Примечание - Представления с использованием знака "" следует по возможности избегать, поскольку его традиционно используют для указания интервала, соответствующего некоторому высокому уровню доверия, и поэтому число, следующее за этим знаком, легко спутать с расширенной неопределенностью (см. 7.2.4). Возможность неправильного истолкования не исключает даже пояснительный текст в скобках [см. перечисление 4)], тем более, что этот текст может быть, например по невнимательности, опущен. По сути, в данном случае запись может быть интерпретирована как указание расширенной неопределенности с коэффициентом охвата k=1 или интервала с определенным уровнем доверия p (по умолчанию связанного с нормальным распределением - см. G.1.3). Однако употребление в таком контексте (с малым значением уровня доверия) малооправдано (см. 6.3.2 и приложение G).

7.2.3 Если мерой неопределенности результата измерения является расширенная неопределенность , то при представлении результата измерения следует:

a) дать подробное определение измеряемой величины Y;

b) указать результат измерения в виде с указанием единиц измерений для у и U;

c) при необходимости указать относительную расширенную неопределенность ;

d) указать использованное для получения расширенной неопределенности значение k [или, для удобства пользователей результата измерения, привести и k, и ];

e) указать приблизительный уровень доверия для интервала и пояснить, как он был определен;

f) дать информацию, указанную в 7.2.7, или сослаться на соответствующий опубликованный документ.

7.2.4 При использовании U в качестве меры неопределенности измерения предпочтительно для наибольшей ясности использовать следующую форму записи результата измерения (в нижеследующем примере слова в скобках для краткости можно опустить, если перед этим в документе, представпяющем результаты измерения, U, и k уже были определены): " г, где число, стоящее после знака "", - (расширенная неопределенность) , полученная для (суммарной стандартной неопределенности)  мг и (коэффициента охвата) k=2,26, соответствующего уровню доверия 95% для t-распределения с степенями свободы".

7.2.5 Если в процессе измерения определяют более одной измеряемой величины, т.е. получают две или более выходных оценок (см. Н.2, Н.3 и Н.4), то в дополнение к значениям и следует указывать элементы ковариационной матрицы или элементы матрицы коэффициентов корреляции (С.3.6, примечание 2) (или, предпочтительно, и те, и другие).

7.2.6 Оценки у и стандартной неопределенности или расширенной неопределенности U не следует приводить с избыточной точностью. Обычно для и U, а также для стандартных неопределенностей входных оценок достаточно указывать две значащие цифры, хотя в некоторых случаях может оказаться необходимым сохранить больше значащих цифр, чтобы избежать погрешностей округления в последующих расчетах.

При сообщении окончательных результатов иногда может быть уместным округление к большему. Например,  мОм можно округлить до 11 мОм. Однако и здесь следует руководствоваться, в первую очередь, здравым смыслом. Так, в случае расчетного значения  кГц следует указывать  кГц. Входные и выходные оценки следует округлять таким образом, чтобы они соответствовали представлениям соответствующих неопределенностей. Например, если y=10,05762 Ом и  мОм, то результат измерения y следует указывать как 10,058 Ом. При представлении коэффициента корреляции, близкого по абсолютному значению к единице, следует указывать три значащие цифры.

7.2.7 При подробном описании того, как были получены результат измерения и его неопределенность, необходимо следовать рекомендациям 7.1.4, т.е. указывать:

a) значение каждой входной оценки и ее стандартной неопределенности , а также то, как они были получены;

b) оценки ковариаций или коэффициентов корреляции (лучше и те, и другие) для всех коррелированных входных величин, а также методы, использованные для получения этих оценок;

c) число степеней свободы для стандартной неопределенности каждой входной оценки, а также то, как это число степеней свободы было определено;

d) функциональную зависимость . При необходимости могут быть приведены частные производные (коэффициенты чувствительности) . Рекомендуется всегда указывать значения коэффициентов чувствительности, полученные экспериментальным путем.

Примечание - Поскольку функциональная зависимость f может быть весьма сложной или не допускать представления в явном виде, а только в виде расчетного алгоритма, то не всегда возможно указать вид этой зависимости и значения ее производных. В таких случаях функциональную зависимость f следует описать в самых общих чертах или дать ссылку на компьютерную программу, реализующую алгоритм расчета. В любом случае приводимая информация должна быть достаточной, чтобы понять, каким образом были получены оценка у измеряемой величины Y и ее суммарная стандартная неопределенность .

8 Краткое описание процедуры оценивания и представления неопределенности

Процедуру оценивания и представления неопределенности измерения согласно настоящему Руководству можно представить в виде последовательности следующих этапов:

1) Выражают связь между измеряемой величиной Y и входными величинами , от которых она зависит, в виде функциональной зависимости . Функция f должна содержать все величины, включая поправки и поправочные коэффициенты, которые могут существенно повлиять на неопределенность результата измерения (см. 4.1.1 и 4.1.2).

2) Получают оценку входной величины либо на основе статистического анализа ряда наблюдений, либо другими способами (см. 4.1.3).

3) Оценивают стандартную неопределенность каждой входной оценки . Для входной оценки, полученной из статистического анализа ряда наблюдений, оценку стандартной неопределенности получают согласно 4.2 (оценивание стандартной неопределенности типа А). Для входной оценки, полученной другими способами, оценку стандартной неопределенности получают согласно 4.3 (оценивание стандартной неопределенности типа В).

4) Если среди входных величин есть коррелированные между собой, то оценивают их ковариации (см. 5.2).

5) Рассчитывают результат измерения, т.е. находят оценку у измеряемой величины по функциональной зависимости f, используя в качестве аргументов оценки , полученные на этапе 2 (см. 4.1.4).

6) Определяют суммарную стандартную неопределенность результата измерения y по стандартным неопределенностям и ковариациям входных оценок, как описано в разделе 5. Если в результате измерения определяют оценки двух и более выходных величин, то рассчитывают их ковариации (см. 7.2.5, Н.2, Н.3 и Н.4).

7) Если требуется знать расширенную неопределенность U для определения интервала от y-U до y+U, в пределах которого, предположительно, находится большая часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать измеряемой величине Y, то суммарную стандартную неопределенность умножают на коэффициент охвата k, обычно принимающий значения в диапазоне от 2 до 3, чтобы получить значение U по формуле . Значение k выбирают, исходя из желаемого уровня доверия для интервала y-U до y+U (см. 6.2, 6.3 и особенно приложение G, где рассматривается выбор значения k, обеспечивающего уровень доверия, близкий к заданному).

8) Представляют результат измерения y вместе с его суммарной стандартной неопределенностью или расширенной неопределенностью U согласно 7.2.1 или 7.2.3 с использованием одной из форм представления согласно 7.2.2 или 7.2.4. Указывают (см. раздел 7) способ получения y и или U.

______________________________

* Примечание к изданию 2008 г.: Ряд таких документов общего и частного характера уже опубликован. Не претендующий на полноту перечень подобных документов можно найти на сайте http://www.bipm.org/en/committees/ jc/jcgm/wg1_bibliography.html. Кроме того, перечень действующих документов, ссылающихся на Руководство по выражению неопределенности измерений, можно получить, воспользовавшись полнотекстовым поиском на сайтах http://www.iso.org/ и http://www.iec.ch/.

** Примечание к изданию 2008 г.: Третье издание словаря опубликовано в 2007 г. как Руководство ИСО/МЭК 99 "Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины" [ISO/IEC Guide 99, International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)].

Библиография

[1]	CIPM (1980), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1-C30 (in French); BIPM (1980), Rapport BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on error statements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sevres, France) (in English)
[2]	Kaarls, R. (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12 (in French); Giacomo, P. (1981), Metrologia 17, 73-74 (in English)
Примечание - Английский перевод Рекомендации INC-1 (1980), приведенный в приложении А (раздел А.1), представляет собой окончательную редакцию этих Рекомендаций в том виде, в каком они были изложены во внутреннем отчете МБМВ. Он аутентичен французскому тексту Рекомендаций, приведенному в BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49. Английский перевод Рекомендации INC-1 (1980), приведенный в Metrologia 17, представляет собой проект, слегка отличающийся от варианта, изложенного во внутреннем отчете МБМВ и, соответственно, в приложении А (раздел А.1) настоящего Руководства
[3]	CIPM (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 (in French); Giacomo, P. (1982), Metrologia 18, 43-44 (in English)
[4]	CIPM (1986), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 54, 14, 35 (in French); Giacomo, P. (1987), Metrologia 24, 49-50 (in English)
[5]	ИСО 5725:1986 Точность методов испытаний. Определение повторяемости и воспроизводимости стандартного метода испытаний по результатам межлабораторных испытаний.
Примечание - В настоящее время данный стандарт пересматривается*(1). Пересмотренный стандарт имеет новое наименование "Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений" и состоит из шести частей.
[6]	Международный словарь основных и общих терминов в метрологии*(2), второе издание, 1993 Аббревиатура наименования словаря - VIM.
Примечание 1 - Определения терминов, приведенных в приложении В, взяты из пересмотренного английского текста VIM в его окончательной редакции перед опубликованием. Примечание 2 - Второе издание VIM выпущено Международной организацией по стандартизации (ИСО) от имени семи организаций, участвовавших в работе ИСО/ТАГ 4 (группе, поддержки разработки VIM): Международного бюро мер и весов (МБМВ), Международной электротехнической комиссии (МЭК), Международной федерации клинической химии (МФКХ), ИСО, Международного союза теоретической и прикладной химии (ИЮПАК), Международного союза теоретической и прикладной физики (ИЮПАП), Международной организации законодательной метрологии (МОЗМ). Примечание 3 - Первое издание VIM опубликовано ИСО в 1984 г. от имени МБМВ, ИСО, МЭК и МОЗМ.
[7]	ИСО 3534-1:1993*(3) Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины
[8]	Fuller, W.A. (1987), Measurement error models, John Wiley (New York, N.Y.)
[9]	Allan, D.W. (1987), IEEE Trans. Instrum. Meas. IM-36, 646-654
[10]	Dietrich, C.F. (1991), Uncertainty, calibration and probability, second edition, Adam-Hilger (Bristol)
[11]	Muller, J.W. (1979), Nucl. Instrum. Meth. 163, 241-251
[12]	Muller, J.W. (1984), in Precision measurement and fundamental constants II, Taylor, B. N., and Phillips, W. D., eds., Natl. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 617, US GPO (Washington, D.C.), 375-381
[13]	Jeffreys, H. (1983), Theory of probability, third edition, Oxford University Press (Oxford)
[14]	Press, S.J. (1989), Bayesian statistics: principles, models, and applications, John Wiley (New York, N.Y.)
[15]	Box, G.E.P., Hunter, W.G., and Hunter, J.S. (1978), Statistics for experimenters, John Wiley (New York, N.Y.)
[16]	Welch, B.L. (1936), J. R. Stat. Soc. Suppl. 3, 29-48; (1938), Biometrika 29, 350-362; (1947), ibid. 34, 28-35
[17]	Fairfield-Smith, H. (1936), J. Counc. Sci. Indust. Res. (Australia) 9(3), 211
[18]	Satterthwaite, F.E. (1941), Psychometrika 6, 309-316; (1946) Biometrics Bull. 2(6), 110-114
[19]	Руководство ИСО 35:1989*(4) Аттестация стандартных образцов. Общие и статистические принципы
[20]	Barker, Т.В. (1985), Quality by experimental design, Marcel Dekker (New York, N.Y.)

______________________________

*(1) Примечание к изданию 2008 г.: ИСО 5725:1986 был заменен серией из шести частей ИСО 5725 под общим наимнованием "Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений:

Часть 1. Основные положения и определения

Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений

Часть 3. Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений

Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений

Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений

Часть 6. Использование значений точности на практике"

*(2) Примечание к изданию 2008 г.: Третье издание словаря было опубликовано в 2007 г. как Руководство ИСО/МЭК 99 "Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM)".

*(3) Примечание к изданию 2008 г.: ИСО 3534-1:1993 отменен и заменен на ИСО 3534-1:2006. При этом были изменены формулировки ряда терминов и определений. За более подробной информацией следует обращаться к последней редакции международного стандарта.

*(4) Примечание к изданию 2008 г.: Руководство ИСО 35:1989 отменено и заменено на Руководство ИСО 35:2006. За более подробной информацией следует обращаться к последней редакции международного руководства.