Приложение G (рекомендуемое). Число степеней свободы и уровни доверия

Приложение G
(рекомендуемое)

Число степеней свободы и уровни доверия

G.1 Введение

G.1.1 В настоящем приложении рассматривается общий вопрос получения из оценки у измеряемой величины Y и суммарной стандартной неопределенности этой оценки расширенной неопределенности , которая определяет интервал , соответствующий некоторой высокой заданной вероятности охвата или уровню доверия р. Таким образом, задача состоит в получении значения коэффициента охвата , определяющего интервал вокруг результата измерения, который предположительно охватывает большую заданную долю р распределения значений, обоснованно приписываемых измеряемой величине Y (см. раздел 6).

G.1.2 В большинстве практических измерительных ситуаций расчет интервалов с заданными уровнями доверия (фактически, оценивание наиболее характерных составляющих неопределенности для конкретных измерительных ситуаций) может быть выполнен только в некотором приближении. Так даже выборочное стандартное отклонение среднего арифметического по 30 повторным наблюдениям нормально распределенной величины имеет собственную неопределенность около 13% (см. таблицу Е.1 приложения Е).

В большинстве случаев не имеет смысла различать интервал с уровнем доверия 95% (один шанс из 20, что значение измеряемой величины Y находится вне этого интервала) и интервал с уровнем доверия 94% или 96% (один шанс из 17 или 25, соответственно). Особенно трудно получить обоснованные оценки интервалов с уровнями доверия 99% (один шанс из 100) и выше (даже если допустить, что все систематические эффекты были приняты во внимание), поскольку это требует детальной информации о "хвостах" распределения входных величин, которая обычно недоступна.

G.1.3 Чтобы получить значение коэффициента охвата , образующего интервал с заданным уровнем доверия р, необходимо иметь подробные сведения о законе распределения, характеризуемом результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. Например, для величины z, описываемой нормальным распределением с математическим ожиданием и стандартным отклонением , легко можно рассчитать значение коэффициента охвата , который образует интервал , включающий долю р этого распределения и, следовательно, имеющий вероятность охвата и уровень доверия р. Некоторые примеры приведены в таблице G.1.

Таблица G.1 - Значения коэффициента охвата , образующего интервал с уровнем доверия p для нормально распределенной случайной величины

Уровень доверия p, %	Коэффициент охвата		Уровень доверия p, %	Коэффициент охвата
68,27	1		95,45	2
90	1,645		99	2,576
95	1,960		99,73	3

Примечание - Для сравнения, если z описывается прямоугольным распределением вероятностей с математическим ожиданием и стандартным отклонением , где а - полуширина распределения, то уровень доверия p будет равен 57,74% для ; 95% для ; 99% для и 100% для . Прямоугольное распределение "уже" нормального в том смысле, что оно обладает конечной протяженностью и не имеет "хвостов".

G.1.4 Если известны распределения вероятностей входных величин [их математические ожидания, дисперсии, а также если эти величины не являются нормальными, моменты высших порядков (см. С.2.13 и С.2.22)], от которых зависит измеряемая величина Y, и если Y является линейной функцией входных величин, , то распределение вероятностей Y может быть получено сверткой распределений вероятностей входных величин (см. [10]). Таким образом, значения , образующие интервалы с заданным уровнем доверия p, могут быть рассчитаны по этой свертке.

G.1.5 Если функциональная зависимость между Y и входными величинами нелинейна, и ограничение членами первого порядка разложения в ряд Тейлора этой зависимости не может рассматриваться в качестве допустимого приближения (см. 5.1.2 и 5.1.5), то распределение вероятностей Y не является сверткой распределений входных величин. В таких случаях необходимо использовать другие аналитические или численные методы расчета.

G.1.6 На практике процедура свертки при расчете интервалов с заданными уровнями доверия не используется или используется крайне редко по следующим причинам: параметры распределения входной величины обычно не известны точно, а являются лишь оценками; трудно ожидать, что уровень доверия для данного интервала может быть известен с высокой точностью; реализация этой процедуры сложна с математической точки зрения. Вместо этого применяют приближения, основанные на центральной предельной теореме.

G.2 Центральная предельная теорема

G.2.1 Если измеряемая величина представляет собой линейную функцию входных величин и все входные величины распределены по нормальному закону, то распределение Y, являющееся сверткой распределений входных величин, также будет нормальным. Однако даже если распределения не являются гауссовыми, распределение Y все равно часто может быть аппроксимировано нормальным распределением, что следует из центральной предельной теоремы. Эта теорема гласит, что распределение Y будет приблизительно нормальным с математическим ожиданием и дисперсией , если - независимые случайные величины, а много больше, чем вклад в общую сумму от любой случайной величины , распределение которой отлично от нормального.

G.2.2 Особое значение центральной предельной теоремы обусловлено тем, что она демонстрирует очень важную роль, которую играют дисперсии распределений вероятностей входных величин по сравнению с моментами более высокого порядка при формировании свертки распределений, т.е. результирующего распределения вероятностей выходной величины Y. Более того, из центральной предельной теоремы следует, что свертка распределений стремится к нормальному распределению при увеличении числа элементов свертки, т.е. числа входных величин, вносящих свой вклад в ; что эта сходимость будет тем быстрее, чем ближе значения друг к другу (на практике это означает, что все оценки входных величин вносят сравнимую неопределенность в неопределенность оценки у измеряемой величины Y); и что чем ближе распределения к нормальному, тем меньшее число входных величин требуется, чтобы получить нормальное распределение для Y.

Пример - Прямоугольное распределение (см. 4.3.7 и 4.4.5) является примером распределения, весьма далекого от нормального, но свертка всего трех таких распределений, имеющих одинаковую ширину, позволяет получить почти нормальное распределение. Если обозначить полуширину такого прямоугольного распределения через а, так что его дисперсия будет равна , то дисперсия свертки трех прямоугольных распределений будет иметь дисперсию , а границы интервалов с доверительной вероятностью 95% и 99% равны и , соответственно, в то время как для нормального распределения с тем же стандартным отклонением эти границы определяются как и (см. таблицу G.1) [10].

Примечание 1 - Для интервала с уровнем доверия p, превышающим приблизительно 91,7%, соответствующее значение для нормального распределения будет больше, чем для свертки любого количества прямоугольных распределений произвольной ширины.

Примечание 2 - Из центральной предельной теоремы следует, что распределение вероятностей среднего арифметического по n наблюдениям случайной величины q с математическим ожиданием и конечным стандартным отклонением при приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием и стандартным отклонением независимо от вида распределения вероятностей q.

G.2.3 Практическим следствием центральной предельной теоремы является то, что, убедившись в соблюдении ее требований, в частности, подтвердив на основе всего лишь нескольких наблюдений (для получения оценок стандартных неопределенностей по типу А) или на основе предположения о равномерном распределении (для получения оценок стандартных неопределенностей по типу В), что ни одна из составляющих неопределенности не является доминирующей, можно в качестве разумного первого приближения для расчета расширенной неопределенности , определяющей интервал с уровнем доверия р, использовать значения для нормального распределения. Наиболее часто применяемые значения для нормального распределения приведены в таблице G.1.

G.3 t-распределение и число степеней свободы

G.3.1 Чтобы получить приближение лучшее, чем обеспечивает использование значения для нормального распределения (см. G.2.3), следует понять, что расчет интервала с заданным уровнем доверия требует знания распределения не величины , а величины . Это связано с тем, что на практике известными являются не параметры распределения, а значения статистик: y - оценки Y, полученной по формуле где - оценка ; и суммарной дисперсии оценки Y, полученной по формуле , где - стандартная неопределенность (оценка стандартного отклонения) оценки .

Примечание - Строго говоря, в выражении под Y следует понимать E(Y). Для упрощения такая строгая запись была использована только в некоторых местах настоящего Руководства. Таким образом, в настоящем Руководстве одно и то же обозначение может использоваться для обозначения физической величины, для обозначения случайной величины, представляющей данную физическую величину, и для обозначения математического ожидания этой случайной величины.

G.3.2 Если z - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и стандартным отклонением - среднее арифметическое n независимых наблюдений величины z, a - выборочное стандартное отклонение от [см. формулы (3) и (5)], то случайная величина описывается t-распределением, иначе называемым распределением Стьюдента, (С.3.8) с степенями свободы.

Если рассмотреть простейший случай, когда измеряемая величина Y совпадает с нормапьно распределенной величиной , в качестве оценки X берется среднее арифметическое по n независимым наблюдениям величины X с выборочным стандартным отклонением , наилучшей оценкой Y является , а выборочное стандартное отклонение этой оценки есть , то величина будет иметь t-распределение, и, соответственно,

(G.1a)

или

, (G.1b)

что можно записать в виде

, (G.1c)

где Pr[.] обозначает вероятность выполнения условия в квадратных скобках, a - значение величины t, зависящее от числа степеней свободы (см. G.3.3), такое что доля р распределения Стьюдента попадает в интервал от до . Таким образом, расширенная неопределенность

(G.1d)

определяет интервал от до , что удобно записать как , предположительно охватывающий долю р распределения значений, которые можно обоснованно приписать Y, а р представляет собой вероятность охвата или уровень доверия для данного интервала.

G.3.3 Если по n независимым наблюдениям получена оценка одного единственного параметра - среднего арифметического, как это имело место в случае, рассмотренном в G.3.2, то число степеней свободы будет равно n-1. Если n независимых наблюдений используют для попучения оценок свободного члена и коэффициента наклона в уравнении прямой линии методом наименьших квадратов, то число степеней свободы для определения выборочных стандартных отклонений этих оценок будет . При вычислении методом наименьших квадратов m параметров кривой по n экспериментальным точкам число степеней свободы для определения выборочного стандартного отклонения оценки каждого параметра составит . (Более подробно вопрос определения числа степеней свободы рассмотрен в [15]).

G.3.4 Некоторые значения для разных v и разных р приведены в таблице G.2 в конце настоящего приложения. По мере того, как t-распределение приближается к нормальному и , где - коэффициент охвата, позволяющий получить интервал с уровнем доверия р для переменной, распределенной по нормальному закону. Таким образом, значение для данного р, приведенное в таблице G.2, совпадает со значением для того же р в таблице G.1.

Примечание - Часто t-распределение задают в виде табличных значений квантилей , где представляет собой значение функции t-распределения в точке , т.е. квантиль можно определить формулой

,

где - плотность распределения вероятностей t для заданного числа степеней свободы . Отсюда следует, что и связаны между собой через соотношение
. Например, значение квантиля для и, соответственно, совпадает со значением для p=0,95.

G.4 Число эффективных степеней свободы

G.4.1 В общем случае t-распределение нельзя применять к случайной величине
, если представляет собой сумму двух и более оценок даже в том случае, когда каждое является оценкой нормально распределенной входной величины . Однако эту случайную величину можно приближенно описать t-распределением с некоторым числом эффективных степеней свободы , определяемым формулой Уэлча-Саттертуэйта [16], [17], [18]:

(G.2a)

или

(G.2b)

при

, (G.2c)

где (см. 5.1.3). Таким образом, расширенная неопределенность обеспечивает интервал с приблизительным уровнем доверия p.

Примечание 1 - Если значение , полученное по формуле (G.2b), не является целым числом, как обычно случается на практике, то соответствующее значение может быть получено из таблицы G.2 путем интерполяции или путем уменьшения до ближайшего целого числа.

Примечание 2 - Если входная оценка сама получена из двух или более других оценок, то значение , которое следует использовать с в знаменателе выражения в правой части формулы (G.2b), есть число эффективных степеней свободы, рассчитанное тем же способом, что определен формулой (G.2b).

Примечание 3 - В зависимости от нужд потенциальных пользователей результата измерения может оказаться полезным дополнительно к рассчитать и указать значения и , полученные согласно формуле (G.2b) раздельно для оценок стандартных неопределенностей по типу А и по типу В. Если вклады в стандартных неопределенностей по типу А и типу В, оцененных раздельно, обозначить, соответственно, и , то имеют место следующие соотношения:

,

.

Пример - Пусть , оценки нормально распределенных входных величин суть арифметические средние по и независимым повторным наблюдениям соответственно с относительными стандартными неопределенностями . Для данной функциональной зависимости должны быть определены коэффициенты чувствительности в точке (см. примечание 1 к 5.1.3), что позволяет получить %% (см. примечание 2 к 5.1.6). Тогда формула (G.2b) приобретает вид

и

.

Из таблицы G.2 для p=95% и получаем . Следовательно, относительная расширенная неопределенность для данного уровня доверия будет . Таким образом, можно утверждать, что (значение у получают на основании измерений входных величин по формуле ) или что с уровнем доверия приблизительно 95%.

G.4.2 На практике зависит от стандартных неопределенностей оценок входных величин, имеющих как нормальное, так и иное распределение, причем оценки получают как на основе частотной интерпретации вероятности, так и на основе априорных распределений (оценивание типа А и В, соответственно). Аналогичное утверждение справедливо в отношении оценки у и входных оценок , от которых y зависит. Тем не менее, если функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности математического ожидания и ограничиться членами разложения первого порядка малости, то распределение величины t можно аппроксимировать t-распределением с использованием формулы Уэлча-Саттертуэйта, а также формул (G.2a) и (G.2b).

При этом остается вопрос, каким образом в формуле (G.2b) для определить число степеней свободы для оценки стандартной неопределенности по типу В. Поскольку определение числа степеней свободы исходит из того, что в t-распределении выполняет функции меры неопределенности выборочной дисперсии , то для определения числа степеней свободы может быть использована формула (Е.7):

. (G.3)

Величина в квадратных скобках в правой части формулы (G.3) представляет собой относительную неопределенность . В случае оценок стандартной неопределенности по типу В значение этой величины получают на основе субъективных суждений с использованием всей доступной информации.

Пример - Пусть имеющаяся информация о том, как были получены входные оценки и их стандартные неопределенности , позволяет оценить возможную неточность полученного значения в 25%. Это суждение может быть истолковано таким образом, что , тогда из формулы (G.3) следует . Если же возможная неточность полученного значения оценена в 50%, то это будет соответствовать . (См. также таблицу Е.1 приложения Е).

G.4.3 При рассмотрении в 4.3 и 4.4 оценок по типу В на основе априорного распределения вероятностей неявно предполагалось, что полученное значение известно точно. Например, если была получена из прямоугольного распределения вероятностей с полушириной , как в 4.3.7 и 4.4.5, то оценка рассматривалась как числовое значение, не обладающее неопределенностью, поскольку именно в качестве таких же числовых значений рассматривались и , а следовательно и a (другая возможность интерпретации априорного распределения, как известного с некоторой неопределенностью рассмотрена в примечании 2 к 4.3.9). Если данную точку зрения применить к формуле (G.3), то из нее будет следовать, что или, что то же самое, , однако это обстоятельство не создает никаких препятствий для применения формулы (G.2b). Кроме того, предположение нельзя считать совершенно неправдоподобным, поскольку общепринятым является такой выбор граничных значений и и чтобы вероятность нахождения соответствующей случайной величины за пределами этих границ была крайне мала.

G.5 Дополнительные замечания

G.5.1 В литературе, посвященной вопросам оценивания неопределенности, часто можно встретить следующую математическую формулу для неопределенности, соответствующей интервалу с уровнем доверия 95%:

, (G.4)

где - коэффициент, взятый из таблицы t-распределения для p=95% и числа степеней свободы ; - число эффективных степеней свободы, рассчитанное по формуле Уэлча-Саттертуэйта [формула (G.2b)] с учетом только тех составляющих стандартной неопределенности, которые были получены в результате статистической обработки повторных наблюдений в текущем измерении; ; ; - сумма дисперсий всех остальных составляющих неопределенности, где - полуширина интервала равномерного распределения входной величины с точно известными верхней и нижней границами относительно ее наилучшей оценки (т.е. ).

Примечание - Составляющая неопределенности, полученная по повторным наблюдениям вне текущего измерения, оценивается так же, как и любая другая составляющая, дающая вклад в . Чтобы иметь возможность корректно сравнить формулу (G.4) с формулой (G.5) в G.5.2, предполагается, что вклад таких составляющих, если они присутствуют, пренебрежимо мал.

G.5.2 Формула для расчета расширенной неопределенности, соответствующая интервалу с уровнем доверия 95% и полученная согласно G.3 и G.4, имеет вид, отличный от формулы (G.4):

, (G.5)

где рассчитывают по формуле (G.2b) с учетом всех составляющих неопределенности.

Если при расчете по формуле (G.5) оценки всех дисперсий по типу В получены из априорных прямоугольных распределений с теми же значениями полуширины , что использованы при расчете по формуле (G.4), то в большинстве случаев значение , полученное по формуле (G.5), будет больше значения , полученного по формуле (G.4). Это можно объяснить следующим образом. Хотя в большинстве случаев будет несколько больше, чем , оба этих коэффициента близки к двум, т.е. разница между ними несущественна; в то же время в формуле (G.5) умножается на , тогда как в формуле (G.4) эта же величина умножается на три. Если в случае формулы (G.4) и (G.5) дают одинаковые значения и соответственно, то при выполнении условия значение будет на 13% меньше, чем . Таким образом, в общем случае формула (G.4) дает неопределенность, которой соответствует интервал с меньшим уровнем доверия, чем у интервала, получаемого на основе расширенной неопределенности по формуле (G.5).

Примечание 1 - В предельном случае и при имеем , тогда как . Т.е. значение обеспечивает интервал с уровнем доверия всего 91,7%, в то время как значение - с уровнем доверия 95%. Можно считать, что такой случай на практике имеет место, когда преобладающими и численно, и по размеру являются составляющие, рассчитанные на основе известных границ распределения, и, кроме того, значения близки друг к другу.

Примечание 2 - Для нормального распределения коэффициент охвата обеспечивает интервал с уровнем доверия p - 91,673...%. Это значение р является устойчивым в том смысле, что для него вариации значения коэффициента охвата при небольших отклонениях формы распределения от гауссовой являются минимальными.

G.5.3 Возможны ситуации, когда входная величина имеет асимметричное распределение, когда отклонения от математического ожидания в одну сторону более вероятны, чем в противоположную (см. 4.3.8). Это не влияет на расчет стандартной неопределенности оценки входной величины и поэтому не имеет значения при оценивании , но может повлиять на оценивание U.

Если отклонения измеряемой величины от результата измерения в ту или иную сторону имеют приблизительно одинаковую значимость, то обычно результат измерения представляют в виде симметричного интервала . Если асимметрия распределения вызывает лишь небольшую асимметрию в распределении, характеризуемом результатом измерения у и его суммарной стандартной неопределенностью , то установление симметричного интервала ведет к некоторому занижению вероятности нахождения измеряемой величины по одну сторону от у за счет некоторого завышения по другую сторону. Альтернативное решение состоит в указании интервала, симметричного по вероятности (и, таким образом, несимметричного по U), так чтобы вероятность нахождения Y ниже нижней границы была равна вероятности нахождения Y выше верхней границы . Однако для установления таких несимметричных границ необходимо больше информации, чем знание только у и [и, следовательно, больше информации, чем только оценки и ) для каждой входной величины ].

G.5.4 Оценка расширенной неопределенности через значения и , полученного из t-распределения, является только приближением, имеющим свои ограничения. Случайную величину можно считать имеющей t-распределения только в том случае, если распределение Y гауссово, оценки у и получены независимо друг от друга, и распределением выборочной дисперсии является распределение хи-квадрата. Введение числа эффективных степеней свободы [формула (G.2b)] позволяет решить только последнюю проблему, обеспечивая для распределение, близкое к распределению хи-квадрата. Проблема же, связанная с отличием распределения Y от гауссова, требует включения в рассмотрение моментов более высокого порядка, чем дисперсия.

G.6 Заключение

G.6.1 Значение коэффициента охвата , обеспечивающее получение интервала с уровнем доверия p, близким к заданному, может быть известно только в том случае, если имеются подробные сведения о распределении вероятностей каждой входной величины, и если эти распределения преобразованы в распределение выходной величины. Знания одних только оценок и их стандартных неопределенностей для этих целей недостаточно.

G.6.2 Поскольку надежность и количество имеющейся информации лишь в редких случаях способны оправдать те громоздкие вычисления, которые необходимы для преобразования распределений входных величин в распределение выходной величины, последнюю допустимо заменить ее приближением. Исходя из центральной предельной теоремы, обычно достаточно принять, что случайная величина имеет t-распределение c числом степеней свободы, равным числу эффективных степеней свободы для согласно формуле Уэлча-Саттертуэйта [формула (G.2b)], и .

G.6.3 Чтобы использовать формулу (G.2b) для получения , необходимо знать число степеней свободы для каждой составляющей стандартной неопределенности. В случае оценивания неопределенности типа A определяют по числу независимых повторных наблюдений, на основе которых получена эта оценка, и числу независимых статистик, сформированных по этим наблюдениям (см. G.3.3). В случае оценивания неопределенности типа В получают на основе суждения о надежности этой оценки [см. G.4.2 и формулу (G.3)].

G.6.4 Таким образом, рекомендуемый метод расчета расширенной неопределенности , предназначенной для определения интервала с уровнем доверия, приблизительно равным заданному p, включает следующие этапы:

1) согласно рекомендациям разделов 4 и 5 получают значения y и ;

2) по повторяемой ниже для удобства формуле Уэлча-Саттертуэйта [формула (G.2b)]

находят число эффективных степеней свободы . Если получена как оценка по типу А, то определяют согласно G.3.3 . Если получена как оценка по типу В и ее можно считать известной точно, что часто бывает на практике, то ; в противном случае следует оценить , по формуле (G.3);

3) по таблице G.2 находят для требуемого уровня доверия p. Если - нецелое число, то получают по таблице t-распределения либо интерполяцией, либо уменьшая до ближайшего целого числа;

4) принимают и вычисляют .

G.6.5 В некоторых ситуациях, которые, по-видимому, достаточно редко встречаются на практике, условий центральной предельной теоремы могут выполняться недостаточно хорошо, и подход, изложенный в G.6.4, может привести к неприемлемому результату. Например, если в преобладающий вклад вносит составляющая неопределенности, оцениваемая из предположения существования прямоугольного распределения с точно известными границами, то возможно [при ], что верхняя и нижняя границы интервала, определяемого , будут лежать за пределами области распределения вероятностей выходной величины Y. Каждая из подобных ситуаций должна рассматриваться особо, но зачастую в их отношении можно использовать известные аналитические методы (например, для получения свертки нормального распределения с прямоугольным [10]).

G.6.6 Часто в широком диапазоне практических приложений можно считать выполняющимися следующие условия:

- оценка у измеряемой величины Y получена на основе оценок большого числа входных величин , описываемых регулярными (т.е. не имеющими особенностей) распределениями вероятностей (такими как нормальное и прямоугольное);

- соответствующие входным оценкам стандартные неопределенности , которые могут быть получены либо как оценки по типу А, либо как оценки по типу В, вносят сопоставимые вклады в оценку суммарной стандартной неопределенности результата измерения y;

- допустимо линейное приближение, предполагаемое законом трансформирования неопределенностей (см. 5.1.2 и Е.3.1);

- неопределенность оценки достаточно мала вследствие достаточно большого числа эффективных степеней свободы (например, более 10).

Это означает соблюдение условий центральной предельной теоремы, что дает основание считать распределение вероятностей, характеризуемое результатом измерения y и его суммарной стандартной неопределенностью , нормальным, и (вследствие большого значения ) можно рассматривать как надежную оценку стандартного отклонения этого распределения. Тогда, принимая во внимание изложенное в настоящем приложении, в частности, вывод о приблизительности процедуры оценки неопределенности и практической нецелесообразности различения интервалов, чьи уровни доверия отличаются на 1-2%, можно поступить следующим образом:

- принять k=2 и предположить, что определяет интервал с уровнем доверия приблизительно 95%

или (в более ответственных ситуациях)

- принять k=3 и предположить, что определяет интервал с уровнем доверия приблизительно 99%.

Хотя указанный подход пригоден для многих измерительных ситуаций, его применимость для каждого конкретного измерения будет зависеть от того, насколько близким будет соответствие между k=2 и или между k=3 и . Другими словами, насколько близок будет уровень доверия для интервала, определенного через или , к 95% или 99%, соответственно. Хотя, например, при k=2 будет меньше (11) всего на 10%, а k=3 будет меньше всего на 4% (см. таблицу G.2), в ряде случаев такое расхождение может быть признано неприемлемым. Следует иметь в виду, что при значение k=3 дает интервал с уровнем доверия более 99% (см. таблицу G.2, из которой также видно, что при уровни доверия интервалов, образуемых k=2 и k=3, равны 95,45% и 99,73%, соответственно). Таким образом, практическая применимость изложенного подхода определяется значением , а также требованиями, предъявляемыми к расширенной неопределенности.

Таблица G.2 - Значения t-распределения с числом степеней свободы v, определяющие интервал от до , в пределах которого находится доля р-распределения случайной величины

Число степеней свободы	Доля p, %
	68,27 (а)	90	95	95,45 (а)	99	99,73 (а)
1	1,84	6,31	12,71	13,97	63,66	235,80
2	1,32	2,92	4,30	4,53	9,92	19,21
3	1,20	2,35	3,18	3,31	5,84	9,22
4	1,14	2,13	2,78	2,87	4,60	6,62
5	1,11	2,02	2,57	2,65	4,03	5,51
6	1,09	1,94	2,45	2,52	3,71	4,90
7	1,08	1,89	2,36	2,43	3,50	4,53
8	1,07	1,86	2,31	2,37	3,36	4,28
9	1,06	1,83	2,26	2,32	3,25	4,09
10	1,05	1,81	2,23	2,28	3,17	3,96
11	1,05	1,80	2,20	2,25	3,11	3,85
12	1,04	1,78	2,18	2,23	3,05	3,76
13	1,04	1,77	2,16	2,21	3,01	3,69
14	1,04	1,76	2,14	2,20	2,98	3,64
15	1,03	1,75	2,13	2,18	2,95	3,59
16	1,03	1,75	2,12	2,17	2,92	3,54
17	1,03	1,74	2,11	2,16	2,90	3,51
18	1,03	1,73	2,10	2,15	2,88	3,48
19	1,03	1,73	2,09	2,14	2,86	3,45
20	1,03	1,72	2,09	2,13	2,85	3,42
25	1,02	1,71	2,06	2,11	2,79	3,33
30	1,02	1,70	2,04	2,09	2,75	3,27
35	1,01	1,70	2,03	2,07	2,72	3,23
40	1,01	1,68	2,02	2,06	2,70	3,20
45	1,01	1,68	2,01	2,06	2,69	3,18
50	1,01	1,68	2,01	2,05	2,68	3,16
100	1,005	1,660	1,984	2,025	2,626	3,077
	1,000	1,645	1,960	2,000	2,576	3,000
(а) Если случайная величина z распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и стандартным отклонением , то интервал будет накрывать долю р-распределения, равную 68,27%, 95,45% и 99,73% при значениях k, равных 1, 2 и 3 соответственно.