Приложение С (справочное). Основные термины и понятия математической статистики

Приложение С
(справочное)

Основные термины и понятия математической статистики

С.1 Использованный источник

Определения основных статистических терминов, приведенных в настоящем приложении, заимствованы из ИСО 3534-1:1993* [7]. Данный международный стандарт является основным источником, к которому рекомендуется обращаться относительно определений терминов, не включенных в настоящее приложение. Некоторые из терминов, определения которых даны в разделе С.2, и соответствующие им понятия более подробно рассмотрены в разделе С.3, в котором содержится также ряд дополнительных терминов с соответствующими определениями. Содержащиеся в разделе С.3 разъяснения даны для облегчения использования настоящего Руководства и не основаны непосредственно на ИСО 3534-1:1993.

С.2 Определения

Как и в разделе 2 настоящего Руководства, использование в терминах скобок означает, что выделенные скобками слова могут быть опущены, если применение краткого термина не вызовет путаницы.

Термины С.2.1-С.2.14 определены для генеральной совокупности, а термины С.2.15-С.2.31 - для выборки наблюдений.

С.2.1 вероятность Действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию. Примечание - Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений или степень уверенности в том, что некоторое событие произойдет. При высокой степени уверенности вероятность близка к единице. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.1]		en probability
С.2.2 случайная величина Переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей (С.2.3). Примечание 1 - Случайную величину, которая может принимать только отдельные значения, называют дискретной. Случайную величину, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала, называют непрерывной. Примечание 2 - Вероятность события А обозначают Pr(A) или P(A). Комментарий Руководства: В настоящем Руководстве применяется обозначение Pr(A) вместо , используемого в ИСО 3534-1:1993. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.2]		en random variable, variate
С.2.3 распределение (вероятностей) (случайной величины) Функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений. Примечание - Вероятность того, что случайная величина находится в области ее изменения, равна единице. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.3]		en probability distribution (of a random variable)
С.2.4 функция распределения Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина X меньше или равна x: . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.4]		en distribution function
С.2.5 плотность распределения (вероятностей) Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины: .		en probability density function (for a continuous random variable)
Примечание - f(x)dx называется элементом вероятности, . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.5]
С.2.6 дискретное распределение (вероятностей) Функция, дающая для каждого значения дискретной случайной величины X вероятность того, что случайная величина равна : . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.6]		en probability mass function
С.2.7 параметр (распределения) Величина, используемая в описании распределения вероятностей некоторой случайной величины. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.12]		en parameter
С.2.8 корреляция Взаимодействие двух или нескольких случайных величин в распределении двух или нескольких случайных величин. Примечание - Большинство статистических мер корреляции измеряют только степень линейной зависимости. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.13]		en correlation
С.2.9 математическое ожидание (случайной величины) 1) Для дискретной случайной величины X, принимающей значения с вероятностью , математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой , где суммируют все значения , которые может принимать случайная величина X. 2) Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения f(X), математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой , где интеграл берут по всему интервалу (интервалам) изменения X. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.18]		en expectation (of a random variable or of a probability distribution), expected value, mean
С.2.10 центрированная случайная величина Случайная величина, математическое ожидание которой равно нулю. Примечание - Если случайная величина X имеет математическое ожидание , то соответствующая центрированная случайная величина равна . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.21]		en centred random variable
С.2.11 дисперсия (случайной величины) Математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.22]		en variance (of a random variable or of a probability distribution)
С.2.12 стандартное отклонение (случайной величины) Положительный квадратный корень из значения дисперсии . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.23]		en standard deviation (of a random variable or of a probability distribution)
С.2.13 центральный момент** порядка q Математическое ожидание центрированной случайной величины в степени q для одномерного распределения . Примечание - Центральный момент второго порядка - дисперсия (С.2.11) (ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.22) случайной величины. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.28)		en central moment of order q
С.2.14 нормальное распределение; распределение (Лапласа-)Гаусса Распределение вероятностей непрерывной случайной величины такое, что плотность распределения вероятностей при принимает действительное значение . Примечание - - математическое ожидание, - стандартное отклонение нормального распределения. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.37]		en normal distribution, Laplace-Gauss distribution
С.2.15 признак Свойство, которое помогает идентифицировать или различать объекты данной генеральной совокупности. Примечание - Признак может быть количественным или качественным (альтернативным). [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.2]		en characteristic
С.2.16 (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых объектов. Примечание - Для случайной величины распределение вероятностей (С.2.3) (ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.3) рассматривают как определение совокупности этой случайной величины. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.3]		en population
С.2.17 частота Число наступлений события данного типа или число наблюдений, попавших в данный класс. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.11]		en frequency
С.2.18 распределение частот Эмпирическое отношение между значениями признака и его частотами или его относительными частотами. Примечание - Это распределение можно представить графически в виде гистограммы (ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.17), столбиковой диаграммы (ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.18), полигона кумулятивных частот (ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.19) или как таблицу сопряженности двух признаков (ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.22). [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.15]		en frequency distribution
С.2.19 среднее арифметическое Сумма значений, деленная на их число. Примечание 1 - Термин "среднее" обычно используют, когда имеют в виду параметр совокупности, а термин "среднее арифметическое" - когда имеют в виду результат вычислений по данным, полученным из выборки. Примечание 2 - Среднее арифметическое простой случайной выборки, взятой из совокупности, - это несмещенная оценка арифметического среднего генеральной совокупности. Однако другие формулы для оценки, такие как геометрическое или гармоническое среднее, медиана или мода, иногда тоже используют. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.26]		en arithmetic mean, average
С.2.20 (выборочная) дисперсия Одна из мер рассеяния, представляющая собой сумму квадратов отклонений наблюдений от их среднего арифметического, деленную на число наблюдений минус единица Пример - Для серии из n наблюдений со средним арифметическим выборочная дисперсия . Примечание 1 - Выборочная дисперсия представляет собой несмещенную оценку дисперсии совокупности. Примечание 2 - Выборочная дисперсия представляет собой n/(n-1)-кратный центральный момент второго порядка (см. примечание к словарной статье 2.39 ИСО 3534-1:1993). [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.33] Комментарий Руководства: Определенную таким образом дисперсию точнее назвать выборочной оценкой дисперсии генеральной совокупности. А дисперсию выборки обычно определяют как выборочный центральный момент второго порядка (см. С.2.13 и С.2.22).		en variance
С.2.21 (выборочное) стандартное отклонение Положительный квадратный корень из выборочной дисперсии. Примечание - Выборочное стандартное отклонение представляет собой смещенную оценку стандартного отклонения совокупности. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.34]		en standard deviation
С.2.22 (выборочный) центральный момент порядка q Среднее арифметическое разностей между наблюдаемыми значениями и их средним арифметическим в степени q в распределении единственного признака: , где n - число наблюдений. Примечание - Выборочный центральный момент первого порядка равен нулю. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.37]		en central moment of order q
С.2.23 статистика Функция от выборочных значений. Примечание - Статистика, будучи функцией значений случайной величины, сама является случайной величиной, значения которой могут изменяться от выборки к выборке. Значение статистики, как получаемое по наблюдаемым значениям, может быть использовано при проверке статистических гипотез или в качестве оценки параметра совокупности, например среднего арифметического или стандартного отклонения. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.45]		en statistic
С.2.24 оценивание (параметра) Операция определения на основе выборочных данных числовых значений параметров распределения, принятого в качестве статистической модели генеральной совокупности, из которой извлечена выборка. Примечание - Результат этой операции может быть выражен как одним числовым значением [точечная оценка - см. ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.51 (С.2.26)], так и доверительным интервалом [см. ИСО 3534-1:1993, словарные статьи 2.57 (С.2.27) и 2.58 (С.2.28)]. [ИСО 3534-1:1993. словарная статья 2.49]		en estimation
С.2.25 оценка Статистика, используемая для оценивания параметра совокупности. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.50]		en estimator
С.2.26 значение оценки Значение параметра, полученное в результате оценивания. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.51]		en estimate
С.2.27 двусторонний доверительный интервал Интервал, определенный при заданной доверительной вероятности [где - положительная постоянная, меньшая единицы] для подлежащего оцениванию параметра совокупности , между двумя функциями наблюдаемых значений и такими, что вероятность больше или равна . Примечание 1 - Границы и доверительного интервала являются статистиками [см. ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.45 (С.2.23)], и, таким образом, их значения в общем случае будут изменяться от выборки к выборке. Примечание 2 - В длинном ряду выборок относительная частота случаев, когда доверительный интервал накрывает истинное значение параметра совокупности , больше или равна . [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.57]		en two-sided confidence interval
С.2.28 односторонний доверительный интервал Интервал, определенный при заданной доверительной вероятности [где - положительная постоянная, меньшая единицы] для подлежащего оцениванию параметра совокупности , между наименьшим возможным значением и функцией наблюдаемых значений T (или между T и наибольшим возможным значением ) такой, что вероятность {или вероятность } больше или равна . Примечание 1 - Граница доверительного интервала является статистикой [см. ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.45 (С.2.23)], и, таким образом, ее значения в общем случае будут изменяться от выборки к выборке. Примечание 2 - См. примечание 2 к словарной статье 2.27. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.58]		en one-sided confidence interval
С.2.29 доверительная вероятность Значение вероятности, связанной с доверительным интервалом или толерантным интервалом [см. ИСО 3534-1:1993, словарные статьи 2.57 (С.2.27), 2.58 (С.2.28) и 2.61 (С.2.30)]. Примечание - Значение часто выражают в процентах. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.59]		en confidence coefficient, confidence level
С.2.30 толерантный интервал Интервал, для которого можно утверждать с определенной доверительной вероятностью, что он содержит долю генеральной совокупности, не меньшую заданной. Примечание 1 - Если по выборочным данным определены обе границы интервала, то интервал двусторонний. Если одна из границ лежит в бесконечности или совпадает с наименьшим (наибольшим) возможным значением случайной величины, то интервал односторонний. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.61]		en statistical coverage interval
С.2.31 число степеней свободы Число слагаемых в сумме за вычетом числа налагаемых на них ограничений. [ИСО 3534-1:1993, словарная статья 2.85]		en (number of) degrees of freedom

С.3 Пояснения к терминам и понятиям

С.3.1 Математическое ожидание

Математическое ожидание функции g(z) от спучайной величины z, имеющей плотность распределения вероятностей p(z), получают по формуле

,

где, согласно определению p(z), .

Математическое ожидание случайной величины z, обозначаемое , которое называют также ожидаемым значением или средним значением z, получают по формуле

.

Его оценкой является - среднее арифметическое значение из n независимых наблюдений случайной величины z, плотность распределения вероятностей которой p(z):

.

С.3.2 Дисперсия

Дисперсия случайной величины представляет собой математическое ожидание квадратичного отклонения от ее математического ожидания. Таким образом, дисперсия случайной величины z, имеющей плотность распределения вероятностей p(z), попучают по формуле

,

где - математическое ожидание z.

Оценку дисперсии можно получить по формуле

,

где

,

a - элемент выборки из n независимых наблюдений z.

Примечание 1 - Множитель в выражении для обусловлен корреляцией между и и отражает тот факт, что среди слагаемых есть только (n-1) независимых членов.

Примечание 2 - Если математическое ожидание случайной величины z известно, то оценку дисперсии получают по формуле

.

Надлежащей мерой неопределенности результата измерения является не дисперсия наблюдаемой величины, а дисперсия среднего арифметического по выборке наблюдений. Необходимо четко различать дисперсию случайной величины z и дисперсию ее среднего арифметического значения . Дисперсия среднего арифметического по ряду из n независимых наблюдений определяется как , а ее оценка может быть получена на основе выборочных дисперсий по формуле

.

С.3.3 Стандартное отклонение

Стандартное отклонение представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии. В то время как оценку стандартной неопределенности по типу А получают, извлекая квадратный корень из выборочной дисперсии, при получении оценок неопределенности по типу В зачастую удобнее сначала нестатистическими методами получить оценку стандартного отклонения, а потом - оценку дисперсии, возводя оценку стандартного отклонения в квадрат.

С.3.4 Ковариация

Ковариация двух случайных величин является мерой их взаимной зависимости. Ковариацию случайных величин у и z получают по формуле

или

,

где p(у, z) - совместная функция плотности распределения вероятностей двух случайных величин y и z.

Оценка s(у, z) ковариации cov(у, z) [обозначаемой также может быть получена из n независимых пар одновременных наблюдений y и z по формуле

,

где

и

.

Примечание - Оценку ковариации двух средних арифметических и получают по формуле .

С.3.5 Ковариационная матрица

В случае многомерного распределения вероятностей матрица V, элементами которой являются дисперсии и ковариации случайных величин, называется ковариационной матрицей. Диагональные элементы или являются дисперсиями, а недиагональные или - ковариациями.

С.3.6 Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции является мерой относительной взаимной зависимости двух случайных величин, равной отношению их ковариации к положительному квадратному корню из произведения их дисперсий. Таким образом

,

а его оценка может быть получена по формуле

.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, удовлетворяющей неравенствам (или ).

Примечание 1 - Поскольку и r являются безразмерными числами в диапазоне от минус 1 до плюс 1 включительно, а ковариации, как правило, представляют собой размерные величины с трудными для интерпретации числовыми значениями, то коэффициенты корреляции обычно более употребительны, чем ковариации.

Примечание 2 - Для многомерного распределения вероятностей вместо ковариационной матрицы обычно применяют матрицу коэффициентов корреляции. Т.к. и , то диагональные элементы этой матрицы равны единице.

Примечание 3 - Если входные оценки и коррелированны (см. 5.2.2) и если изменение на величину вызывает изменение на величину , то приближенную оценку коэффициента корреляции между и можно получить по формуле

.

Это соотношение может служить основой для экспериментального оценивания коэффициента корреляции. Оно может быть также использовано для приблизительного расчета изменения одной из входных оценок, обусловленного изменением другой, если их коэффициент корреляции известен.

С.3.7 Независимость

Две случайные величины являются статистически независимыми, если их совместное распределение вероятностей является произведением одномерных распределений вероятностей этих величин.

Примечание - Если две случайные величины независимы, то их ковариация и коэффициент корреляции равны нулю, но обратное утверждение в общем случае не является справедливым.

С.3.8 t-распределение (распределение Стьюдента)

t-распределение, иначе называемое распределением Стьюдента, представляет собой распределение вероятностей непрерывной случайной величины t, для которой функция плотности распределения вероятностей имеет вид

,

где Г(.) - гамма-функция, .

Математическое ожидание t-распределения равно нулю, а его дисперсия равна для .

При t-распределение стремится к нормальному распределению с и (см. С.2.14).

Если случайная величина z распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и - среднее арифметическое и выборочное стандартное отклонение соответственно, по выборке из n независимых наблюдений величины z, a - выборочное стандартное отклонение среднего арифметического с степенями свободы, то случайная величина будет иметь t-распределение.

______________________________

* Примечание к изданию 2008 г.: ИСО 3534-1:1993 отменен и заменен на ИСО 3534-1:2006. При этом были изменены формулировки ряда терминов и определений. За более подробной информацией следует обращаться к последней редакции международного стандарта.

** Если при определении моментов значения случайных величин X, X-а, Y, Y-b и т.д. заменяют их абсолютными значениями и т.д., то моменты называют "абсолютными моментами".