Приложение Е (справочное). Мотивы и основы для разработки Рекомендации INC-1 (1980)

Приложение Е
(справочное)

Мотивы и основы для разработки Рекомендации INC-1 (1980)

В настоящем приложении кратко изложены мотивы и статистические основы для разработки Рабочей группой по неопределенности Рекомендации INC-1 (1980), на которую опирается настоящее Руководство (см. также [1], [2], [11], [12]).

Е.1 Понятия "безопасного", случайного и систематического

Е.1.1 Настоящим Руководством установлен широко применяемый метод оценивания и представления неопределенности результата измерения. Этот метод обеспечивает получение не "безопасных" или "консервативных" (т.е. взятых с некоторым запасом), а реалистичных границ неопределенности, основываясь на представлении, что не существует никаких принципиальных различий между составляющими неопределенности, обусловленными случайными эффектами, и составляющими, связанными с вносимыми поправками на систематические эффекты (см. 3.2.2 и 3.2.3). В этом смысле данный метод отличается от применявшихся ранее подходов, которые имели в общей основе два нижеследующих представления.

Е.1.2 Первое представление заключалось в том, что неопределенность необходимо выражать с некоторым запасом, т.е. лучше ошибиться, заявив завышенную неопределенность, чем слишком малую. На самом деле, поскольку в вопросе оценивания неопределенности результата измерения всегда существуют некоторые неясности, то сомнения зачастую разрешались посредством преднамеренного завышения оценки.

Е.1.3 Второе представление заключалось в том, что источники, вносящие вклад в неопределенность, всегда должны подразделяться на "случайные" и "систематические", что природа этих источников различна, и поэтому их вклады в неопределенность должны объединяться по разному и быть представлены по отдельности (а в случае необходимости представления единой оценки неопределенности - объединяться неким специальным способом). Зачастую способ объединения неопределенностей этих двух видов выбирался таким образом, чтобы удовлетворить представлению о "безопасности".

Е.2 Обоснование реалистичного подхода к оцениванию неопределенности

Е.2.1 При представлении результата измерения необходимо указывать лучшую оценку измеряемой величины и лучшую оценку неопределенности оценки измеряемой величины, поскольку если вносить в оценку неопределенности какие-либо поправки, то, как правило, невозможно указать, какие поправки (в сторону увеличения или в сторону уменьшения) сделают оценку неопределенности более "безопасной". Занижение оценки неопределенности может привести к чрезмерному доверию к представленным результатам измерений, что иногда способно привести к нежелательным и даже к роковым последствиям. Преднамеренное завышение оценки неопределенности также может быть нежелательно. Это может вынудить пользователей измерительной аппаратуры приобретать излишне дорогие приборы, привести к необоснованной отбраковке дорогостоящей продукции или к отказу от услуг калибровочной лаборатории.

Е.2.2 Сказанное не следует понимать как запрет для лиц, использующих результат измерения в конкретных целях, по собственному усмотрению выбрать множитель, позволяющий по заявленной стандартной неопределенности получить расширенную неопределенность и, соответственно, интервал с заданным уровнем доверия, удовлетворяющий указанным целям, или как отрицание того, что в определенных обстоятельствах при представлении результата измерения может быть использован заранее установленный множитель, позволяющий получить расширенную неопределенность, которая соответствует нуждам конкретного круга пользователей. Однако такой множитель (который, кстати, всегда должен быть указан) следует применять только в отношении неопределенности, полученной в рамках реалистичного подхода, чтобы интервалу, определенному через расширенную неопределенность, соответствовал известный уровень доверия и чтобы значение стандартной неопределенности результата измерения всегда можно было легко восстановить.

Е.2.3 При проведении измерения часто необходимо включать в анализ результаты измерений, полученные из сторонних источников, причем каждый из этих результатов будет иметь свою неопределенность. Чтобы иметь возможность на основе такого анализа построить оценку неопределенности измерения, необходимо, чтобы данные этих сторонних источников были представлены в виде наилучших, а не "безопасных" оценок. Кроме того, должен существовать логичный и простой способ объединения "заимствованных" оценок неопределенности с неопределенностями, полученными в результате собственных наблюдений. Рекомендация INC-1 (1980) указывает такой способ.

Е.3 Обоснование единообразного обращения со всеми составляющими неопределенности

Настоящий раздел построен на простом примере, показывающем, как согласно настоящему Руководству в целях получения оценки неопределенности результата измерения единым образом обрабатываются составляющие неопределенности, природа которых обусловлена случайными эффектами и оставшимися после внесения поправок систематическими эффектами. Тем самым иллюстрируется принятая Руководством и сформулированная в Е.1.1 точка зрения, что нет принципиальных различий в природе разных составляющих неопределенности и что все эти составляющие должны обрабатываться одинаково. Отправной точкой рассмотрения будет служить упрощенный вывод математического выражения для получения неопределенности выходной оценки через неопределенности входных оценок, называемый в настоящем Руководстве законом трансформирования неопределенностей.

Е.3.1 Пусть выходная величина зависит от N входных величин , и каждая из входных величин описывается соответствующим распределением вероятностей. Разложение функции f в точке математических ожиданий в ряд Тейлора первого порядка позволяет получить выражение для малого отклонения z относительно через малые отклонения относительно по формуле

, (Е.1)

где все члены высших порядков принимаются пренебрежимо малыми, и . Квадрат отклонения может быть получен по формуле

, (Е.2а)

которую можно записать также в виде

. (E.2b)

Математическим ожиданием квадрата отклонения будет дисперсия величины z, т.е. , и формулу (Е.2b) можно представить в виде

, (E.3)

где - дисперсия ; - коэффициент корреляции и ; - ковариация и .

Примечание 1 - и , являются центральными моментами второго порядка (см. С.2.13 и С.2.22) распределений вероятностей для, соответственно, z и . Распределение вероятностей может быть полностью описано через свое математическое ожидание, дисперсию и центральные моменты высших порядков.

Примечание 2 - Формула (Е.3) идентична формуле (13) в 5.2.2 [совместно с формулой (15)] для расчета суммарной стандартной неопределенности, за исключением того, что в формуле (13) используются не дисперсии, стандартные отклонения и коэффициенты корреляции, а их оценки.

Е.3.2 Согласно традиционной метрологической терминологии формулу (Е.3) часто называют законом суммирования погрешностей, что более уместно для формулы , где - изменения величины z, вызванные малыми изменениями величины [см. формулу Е(8)]. Поэтому формулу (Е.3) лучше назвать законом трансформирования неопределенностей (как это сделано в настоящем Руководстве), поскольку она показывает, как происходит преобразование неопределенностей входных величин , выраженных в виде стандартных неопределенностей распределений вероятностей случайной величины , в неопределенность выходной величины z, выраженную через стандартную неопределенность распределения вероятностей случайной величины z.

Е.3.3 Формула (Е.3) пригодна также для преобразования величин, пропорциональных стандартному отклонению, поскольку, если каждое стандартное отклонение заменить пропорциональной ему величиной , где k - один и тот же множитель для всех , в левой части формулы (Е.3) вместо будет, соответственно, . Однако эту формулу нельзя трактовать как правило преобразования доверительных интервалов. В самом деле, если в правой части формулы (Е.3) каждую заменить величиной , определяющей интервал с соответствующим заданным уровнем доверия p, то получаемая в левой части величина не будет определять интервал, соответствующий тому же значению р, за исключением частного случая, когда все распределены по нормальному закону. Между тем, при выводе формулы (Е.3) никаких условий на нормальность распределения входных величин не налагалось. Точнее, если в формуле (10) (см. 5.1.2) полученную на основе повторных наблюдений оценку каждого стандартного отклонения умножить на соответствующий коэффициент, полученный из t-распределения для заданного значения p (например, p=95%), то полученная в левой части оценка неопределенности выходной величины у не будет соответствовать интервалу с тем же уровнем доверия p (см. G.3 и G.4).

Примечание - Требование нормальности входных величин, при соблюдении которого формула (Е.3) может быть распространена на преобразование интервалов с заданным уровнем доверия, может быть одной из причин исторически сложившегося разделения составляющих неопределенности на те, что получены по результатам повторных наблюдений предположительно нормально распределенных величин, и те, оценка которых состояла в определении верхней и нижней границ возможного значения случайной величины.

Е.3.4 Рассмотрим пример, когда z зависит только от одной входной величины w, z=f(w), где w оценивается усреднением по выборке из n значений случайной величины w, и эти n значений получены на основе n независимых повторных наблюдений случайной величины q по формуле

. (Е.4)

В этой формуле представляет собой постоянное "систематическое" смещение или сдвиг, общий для каждого наблюдения, а - общий масштабный коэффициент. И смещение , и масштабный коэффициент , хотя и проявляют себя как постоянные значения в пределах данной серии наблюдений, предполагаются принадлежащими некоторым априорным распределениям вероятностей и являющимися наилучшими оценками математических ожиданий этих распределений.

Наилучшей оценкой для w будет среднее арифметическое , полученное по формуле

. (Е.5)

Тогда оценкой значения величины z будет , а оценку ее дисперсии получают по формуле (Е.3). Если для простоты предположить z=w, так чтобы наилучшей оценкой z была , то можно легко найти . Заметив из уравнения (Е.5), что

,

,

,

обозначив оценку дисперсий и , соответственно, через и и предположив, что отдельные наблюдения некоррелированны, из формулы (Е.3) можно получить

, (Е.6)

где - выборочная дисперсия наблюдений , рассчитываемая по формуле (4) (см. 4.2.2), a - выборочная дисперсия среднего арифметического [см. формулу (5) в 4.2.3].

Е.3.5 В традиционной метрологии третье слагаемое в правой части формулы (Е.6) называют "случайным" вкладом в оценку , поскольку оно обычно уменьшается с ростом числа наблюдений n, в то время как первые два слагаемых называют "систематическими", т.к. они не зависят от n.

Что еще важнее, в рамках традиционного подхода существует точка зрения, что формулой (Е.6) пользоваться вообще нельзя, поскольку она не учитывает различие между неопределенностями, являющимися следствием систематических эффектов, от тех, что вызваны случайными эффектами. С этой точки зрения недопустимым является суммирование дисперсий, полученных из априорных распределений вероятностей, с теми, что получены экспериментальным путем, поскольку вероятность рассматривается исключительно в рамках частотного подхода, требующего наличия возможности многократного наблюдения событий в существенно одинаковых условиях. При этом вероятность p для какого-либо события будет характеризовать относительную частоту его наступления.

В противовес данной "частотной" концепции существует и другая, не менее обоснованная позиция, заключающаяся в том, что вероятность следует рассматривать как меру степени уверенности в том, что событие произойдет [13], [14]. Например, предположим, что некий рационально мыслящий человек собирается выиграть небольшую сумму денег D, заключив пари в отношении наступления некоторого события А. Тогда степень уверенности этого человека в наступлении события А можно описать вероятностью p=0,5, если он не может отдать предпочтения ни одному из следующих сценариев:

1) получить сумму D, если событие А произойдет, но остаться ни с чем в противоположном случае;

2) получить сумму D, если событие А не произойдет, но остаться ни с чем в противоположном случае.

Рекомендация INC-1 (1980), на которой основывается настоящее Руководство, подразумевает именно такой взгляд на вероятность, поскольку рассматривает формулу (Е.6) и ей подобные в качестве допустимого способа расчета суммарной стандартной неопределенности результата измерения.

Е.3.6 Можно отметить три несомненных преимущества в подходе, реализованном в настоящем Руководстве и основанном на представлении о вероятности как степени уверенности в наступлении события, получении стандартных неопределенностей и применении закона трансформирования неопределенностей [формула (Е.3)] для расчета и выражения неопределенности результата измерения:

a) закон трансформирования неопределенностей позволяет простым способом включить суммарную стандартную неопределенность одного измерения в оценку суммарной стандартной неопределенности другого измерения, использующего результат первого измерения;

b) суммарная стандартная неопределенность может служить основой для практического способа расчета интервалов с заданным уровнем доверия;

c) отпадает необходимость в разделении составляющих на "случайные" и "систематические" (или в какой-либо иной классификации) при оценивании неопределенности измерения, поскольку все составляющие неопределенности обрабатываются единым образом.

Последний аргумент особенно важен, поскольку указанное разделение часто являлось источником недоразумений. Составляющие неопределенности нельзя изначально отнести к "случайным" или "систематическим". Ее природа зависит от условий использования соответствующих величин или, более строго, от контекста, в котором данная величина входит в математическую модель, описывающую измерение. Если ту же самую величину использовать в другом контексте, то "случайная" составляющая может превратиться в "систематическую" и наоборот.

Е.3.7 По причине, указанной в Е.3.6, перечисление с), Рекомендация INC-1 (1980) не подразделяет составляющие неопределенности на "случайные" и "систематические". В сущности, когда дело доходит до расчета суммарной стандартной неопределенности результата измерения, в таком разделении нет необходимости, и, следовательно, нет необходимости в самой этой классификации. Тем не менее, поскольку краткие обозначения могут быть удобны при обсуждении тех или иных вопросов в данной области, Рекомендация INC-1 (1980) вводит другую классификацию, основанную на двух существенно разных методах оценивания составляющих неопределенности: А и В (см. 2.3.2 и 2.3.3).

Разделение по методам оценивания составляющих неопределенности позволяет избежать принципиальной проблемы, связанной с классификацией самих составляющих и заключающейся в зависимости этой классификации от условий использования соответствующих величин. Однако введение классификации по методам оценивания, а не по виду составляющих, не исключает объединения составляющих, оцениваемых разными методами, в группы, исходя из практической целесообразности этого для данного конкретного измерения. Примером может служить сравнение расчетных и экспериментальных значений выходной величины сложной измерительной системы (см. 3.4.3).

Е.4 Стандартное отклонение как мера неопределенности

Е.4.1 Формула (Е.3) требует, чтобы независимо от способа оценивания неопределенности входной величины она была представлена в виде стандартной неопределенности, т.е. как оценка стандартного отклонения. Если в качестве характеристики неопределенности взята другая, например, "безопасная" величина, то ее нельзя использовать в формуле (Е.3). В частности, если такой характеристикой является "верхняя граница погрешности" (т.е. максимально возможное отклонение от предполагаемой лучшей оценки входной величины), то полученная по формуле (Е.3) оценка не будет иметь ясного физического смысла и окажется непригодной для последующего использования в расчетах неопределенности других величин, если в этом возникнет необходимость (см. Е.3.3).

Е.4.2 Если стандартную неопределенность входной величины нельзя оценить на основе статистического анализа результатов достаточного числа повторных наблюдений, то необходимо принять предположение о виде распределения вероятностей этой величины на основе имеющейся информации, которая, как правило, гораздо более скудна, чем хотелось бы. Это, однако, не означает, что данное распределение будет "нереалистичным" или "неполноценным". Как и все распределения вероятностей, оно будет представлять собой выражение имеющихся на данный момент знаний.

Е.4.3 Оценки, полученные на основе повторных наблюдений, не обязательно будут превосходить по качеству полученные иными методами. Пусть - выборочное стандартное отклонение среднего арифметического по n независимым наблюдениям нормально распределенной случайной величины q [см. формулу (5)]. Величина представляет собой статистику (см. С.2.23) для оценки - стандартного отклонения случайной величины , и она совпадала бы со стандартным отклонением распределения , если бы число наблюдений было бесконечным. Дисперсию оценки стандартного отклонения можно получить по приближенной формуле

, (Е.7)

где - число степеней свободы для (см. G.3.3). Таким образом, задаваемое отношением относительное стандартное отклонение , которое можно взять за меру относительной неопределенности , составляет приблизительно . Такая "неопределенность неопределенности" величины q, обусловленная чисто статистической причиной ограниченности объема выборки, может быть на удивление высока. Так для n=10 она составляет 24%. Это и другие значения отношения для разных n приведены в таблице Е.1, из которой видно, что для встречающихся на практике значений n стандартное отклонение оценки стандартного отклонения нельзя считать пренебрежимо малым. Отсюда следует вывод, что оценка стандартной неопределенности по типу А не обязательно будет более надежной, чем по типу В, и что во многих практических измерительных ситуациях, когда число наблюдений ограничено, составляющие с оценкой по типу В могут быть известны лучше, чем составляющие с оценкой по типу А.

Таблица Е.1 - Отношение стандартного отклонения выборочного стандартного отклонения среднего арифметического по n независимым наблюдениям нормально распределенной случайной величины q к стандартному отклонению среднего арифметического

Число наблюдений n	, %	Число наблюдений n	,%
2	76	10	24
3	52	20	16
4	42	30	13
5	36	50	10
(а) Значения в правом столбце получены из точного выражения , а не его приближения . (b) в выражении знаменатель является математическим ожиданием , а числитель - квадратным корнем из дисперсии , где S - случайная величина, равная оценке стандартного отклонения по выборке объема n гауссовой случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией : , . Математическое ожидание и дисперсия величины S имеют вид , , где Г(.) - гамма-функция. Следует отметить, что при .

Е.4.4 В качестве аргумента в пользу существования составляющих неопределенности принципиально разной природы выдвигалось соображение, что неопределенности для конкретных методов измерений являются статистическими характеристиками случайных величин, тогда как есть примеры "чисто систематических эффектов", которые должны обрабатываться иным способом. В качестве такого примера называлось неизвестное, но постоянное смещение результатов, полученных с помощью некоторого метода измерений, причиной которого могло быть несовершенство либо самого принципа измерений, либо предположений, положенных в основу метода. Однако если возможность такого смещения подтверждена, и признано, что его значение может быть значительным, то данное смещение может быть описано через вероятностное распределение, причем в основу выбора распределения должна быть положена та же информация, которая позволила прийти к заключению о существовании данного смещения и о его значительности. Поэтому, если подходить к вероятности как к степени уверенности в том, что некоторое событие произойдет, то вклад подобного систематического эффекта может быть учтен при расчете суммарной стандартной неопределенности результата измерения через оценку стандартной неопределенности априорного распределения вероятностей, связанного с этим эффектом, и, следовательно, этот вклад будет суммирован единым образом со стандартными неопределенностями других входных величин.

Пример - Описание методики выполнения измерений требует, чтобы входная величина рассчитывалась через разложение в степенной ряд, члены высшего порядка которого известны неточно. Систематический эффект, связанный с невозможностью точно учесть члены высших порядков, приводит к неизвестному постоянному смещению, значение которого невозможно установить экспериментально посредством повторных измерений. Поэтому, если строго следовать "частотному" подходу к интерпретации вероятности, неопределенность, связанную с данным эффектом, нельзя оценить и включить в неопределенность окончательного результата измерений. Вместе с тем интерпретация вероятности как степени уверенности позволяет описать неопределенность, связанную с систематическим эффектом, через априорное распределение вероятностей (выбранное на основе имеющихся сведений о неточно известных членах разложения), и включить ее в расчет суммарной стандартной неопределенности результата измерений подобно любой другой неопределенности.

Е.5 Сравнение двух взглядов на неопределенность

Е.5.1 Основное внимание в настоящем Руководстве уделено не непознаваемым "истинному" значению величины и погрешности ее определения (см. приложение D), а результату измерения и оцениванию его неопределенности. Приняв за рабочую гипотезу, что результат измерения является просто значением, приписанным измеряемой величине, и что неопределенность результата измерения есть мера разброса значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине, настоящее Руководство, в сущности, устраняет зачастую неверно истолковываемую связь между неопределенностью и непознаваемыми "истинным" значением величины и погрешностью.

Е.5.2 Эту связь можно понять, рассматривая вывод формулы (Е.3), т.е. закон трансформирования неопределенностей, с позиций "истинного" значения и погрешности. В этом случае может быть истолкована как неизвестное, единственное "истинное" значение входной величины , и каждая предполагается связанной с истинным значением соотношением , где - погрешность наблюдения . Математическое ожидание случайной величины предполагается равным нулю, , а дисперсия - . Тогда формулу (Е.1) можно представить в виде

, (E.8)

где - погрешность, содержащаяся в выходной величине z. Если теперь взять математическое ожидание квадрата , то можно получить формулу, идентичную (Е.3), но в которой под будет пониматься дисперсия , под - коэффициент корреляции и , а под - ковариация и . Таким образом, дисперсии и коэффициенты корреляции будут связаны не с самими входными величинами, а с их погрешностями.

Примечание - Здесь предполагается, что вероятность представляет собой степень уверенности в наступлении того или иного события, что подразумевает возможность одинаковой интерпретации систематических и случайных погрешностей, так что может быть погрешностью любого вида.

Е.5.3 На практике разница в двух взглядах на неопределенность измерения не приводит к разнице в числовых оценках результата измерения и неопределенности, приписываемой этому результату.

Во-первых, в обоих случаях для получения наилучшей оценки z на основе функциональной зависимости f используются наилучшие оценки входных величин . Следствием этого является отсутствие различия в расчетах наилучших оценок независимо от того, связывают ли их с самими величинами или с "истинными" значениями величин.

Во-вторых, поскольку и каждое представляет собой единственное, фиксированное значение, т.е. не имеющее неопределенности, дисперсии и стандартные отклонения для и будут равны между собой. Это означает, что в обоих случаях стандартные неопределенности, используемые в качестве оценок стандартных отклонений для получения суммарной стандартной неопределенности результата измерения, одинаковы и дают одно и то же числовое значение для неопределенности. И опять нет никакой разницы при расчетах, рассматривается ли стандартная неопределенность как мера рассеяния, определяемого распределением вероятностей входной величины, или как мера рассеяния, определяемого распределением вероятностей погрешности этой величины.

Примечание - Если не делать допущения, указанного в примечании к Е.5.2, то приведенные в настоящем подразделе рассуждения были бы несправедливы, за исключением частного случая, когда неопределенности всех оценок получают на основе статистического анализа повторных наблюдений, т.е. оцениваниям типа А.

Е.5.4 При том, что подход, основанный на понятиях "истинного" значения и погрешности, дает те же самые числовые результаты, что и подход, применяемый в настоящем Руководстве (при условии справедливости допущения, изложенного в примечании к Е.5.2), изложенная в Руководстве концепция неопределенности устраняет путаницу между понятиями погрешности и неопределенности (см. приложение D). Перенос Руководством основного внимания на наблюдаемое (оцениваемое) значение величины и наблюдаемую (оцениваемую) вариативность этой величины делает само упоминание о погрешностях излишним.