Приложение Ж (обязательное). Метод динамического анализа

Приложение Ж
(обязательное)

Метод динамического анализа

Ж.1 Общие положения

Метод динамического анализа является сложным методом, который можно применять для получения стационарных свойств строительного элемента с помощью измерений тепломера при больших изменениях температур и плотности теплового потока. Данный метод учитывает тепловые изменения с помощью уравнения (Ж.2).

Строительный фрагмент представлен в модели коэффициентом теплопропускания и несколькими постоянными t. Неизвестные параметры , , , , ... получают методом идентификации, используя измеренные плотности теплового потока и температуры.

Данным методом можно решить систему линейных уравнений с помощью микрокомпьютера в течение нескольких минут.

Ж.2 Алгоритм динамического метода

Основные алгоритмы динамического метода:

Измерения дают N комплектов данных плотности теплового потока , температур внутренней и наружной поверхности и , измеренных за время (значение i меняется от 1 до N). Интервал времени между двумя измерениями определяют как

. (Ж.1)

Плотность теплового потока за время является функцией температур в данный момент и всех предшествующих периодов:

, (Ж.2)

где производная температуры внутренней поверхности

. (Ж.3)

Эта же формула (Ж.3) правомерна для производной наружной температуры поверхности .

Показатели , так же, как и и , являются динамическими показателями стены без какого-либо конкретного значения. Они зависят от .

Переменные являются показательными функциями постоянной времени :

. (Ж.4)

Сумма всех n в уравнении (Ж.2) равна всем постоянным времени, теоретически бесконечному числу.

Эти постоянные времени , однако, быстро уменьшаются с увеличением числа n по мере возрастания . Следовательно, только несколько постоянных времени (практически достаточно от 1 до 3) необходимы для правильного описания соотношения q, и .

Предполагая, что m постоянных времени (, , ..., ) выбраны, уравнение (Ж.2) будет содержать 2m + 3 неизвестных параметров, которыми являются:

, , , , , , , ..., , . (Ж.5)

Написав уравнение (Ж.2) 2m + 3 раз для 2m + 3 комплектов данных, для различных времен, можно решить систему линейных уравнений, чтобы определить эти параметры, в том числе . Число дополнительных комплектов р необходимо для интегрирования соответствующей суммы по j в уравнении (Ж.2) (см. рисунок Ж.1), чтобы окончательно исключить случайные колебания, необходимо большее число измеренных комплектов, ведущее к переопределенной системе линейных уравнений, которые можно решить классической аппроксимацией методом наименьших квадратов.

* - данные теплового потока, применяемые для аппроксимации:

Эту систему, состоящую из более 2m + 3 уравнений, следует записать в матричной формуле

, (Ж.6)

где - вектор, М компонентов которого являются последними данными М плотности теплового потока, . Значение М в этом случае больше 2m + 3, а значения i изменяются от N - M + 1 до N;

- вектор, 2m + 3 компонентов которого являются неизвестными параметрами, перечисленными в уравнении (Ж.5);

(X) - прямоугольная матрица, содержащая от M(i = N - М + 1) до N и 2m + 3 колонок (от 1 до 2m + 3). Элементы матрицы:

,

,

,

,

,

,

,

...

,

. (Ж.7)

Сумма всех j, р - достаточно велика, чтобы пренебречь остатком суммы (от j = i - р до минус бесконечности). Тогда число комплектов данных N должно быть больше М + р. Практически р = N - М, где N - достаточно велико.

Система уравнений [см. (Ж. 12)] дает оценку от вектора :

, (Ж.8)

где (X)' является транспонированной матрицей (X).

Фактически постоянные времени неизвестны. Их находят, подбирая наиболее подходящее значение , изменяя постоянные времени, следующим образом:

а) выбирают нужное число постоянных времени m. Обычно это число не больше 3;

б) выбирают постоянное соотношение r между этими постоянными времени (обычно от 3 до 10) так, чтобы:

; (Ж.9)

в) выбирают число уравнений М для системы уравнений (Ж.7). Это число должно быть больше чем 2m + 3, но меньше числа комплектов данных. Обычно достаточно от 15 до 40 уравнений. Это означает, что необходимо по крайней мере от 30 до 100 точек данных;

г) выбирают минимальное и максимальное значения постоянных времени. Поскольку точность компьютера ограничена, нет смысла обрабатывать постоянные времени менее . С другой стороны, точки р = N - М нужны для интегрирования. Это интегрирование не будет ограничено, если постоянная времени больше, чем . Лучше всего выбрать наибольшую постоянную времени в пределах

; (Ж.10)

д) в этом интервале рассчитывают значения вектора по уравнениям (Ж.8) для нескольких значений постоянной времени. Для каждого значения расчетное значение вектора теплового потока следует определять по формуле

; (Ж.11)

е) суммарное квадратичное отклонение расчетного и измеренного значений определяют по формуле

; (Ж.12)

ж) наилучшим комплектом постоянных времени является тот, который дает наименьшее квадратичное отклонение. Эти значения можно найти повторением этапов по перечислениям д) и е), как приведено выше;

з) наилучшее значение вектора определяют следующим образом. Его первая составляющая Z, является лучшей оценкой коэффициента теплопропускания (или коэффициента теплопередачи, если используют температуру воздуха).

Если наибольшая постоянная времени, найденная для лучшей оценки, равна (или больше) максимальному значению (р ), то число уравнений или время измерения недостаточно велики для получения надежного результата с таким комплектом данных и таким отношением между постоянными времени. Изменяя число уравнений или данное отношение путем увеличения (иногда путем уменьшения) числа комплектов данных, можно обеспечить надежность результата.

Критерии качества необходимы для оценки доверительности результатов, если одно измерение используют для оценки значения . Критерии должны быть такими, чтобы если они выполнены для заданного уникального измерения, то достигалась хорошая доверительность (т.н. вероятность 90%) того, что результат будет достаточно близок к действительному значению (например, будет находиться в пределах %).

При классическом методе анализа единственным критерием является достаточная продолжительность времени измерения. Конечно, если зарегистрированные данные показывают как бы "стабильное" состояние, измерения имеют высокую вероятность представить хороший результат. Однако, если температура теплового потока значительно изменилась непосредственно перед началом измерений, то окончательный результат может быть неточным, т.к. время измерения было не достаточно продолжительным, чтобы "забыть" предыдущие результаты.

Такой критерий существует при динамической интерпретации метода. Доверительный интервал для оценки коэффициента теплопропускания описан выше:

, (Ж.13)

где - суммарное отклонение, полученное по уравнению (Ж.12);

Y(1,1) - первый элемент матрицы, обращенной в уравнение:

; (Ж.14)

М - число уравнений в формуле (Ж.6);

m - число постоянных времени;

F - значение предела t-распределения Стьюдента, где Р - вероятность, М - 2m - 5 - степень свободы.

Если этот доверительный интервал для Р = 0,9 меньше чем, например, 5% коэффициента теплопропускания, то расчетный коэффициент теплопропускания очень близок к действительному значению, которое в этом случае является значением, полученным при хороших условиях (стационарное состояние для легких элементов в ночной период, продолжительные измерения - для тяжелых). Для заданного времени измерения, чем меньше доверительный интервал, тем уже распределение результатов нескольких измерений.

Этот критерий, однако, не является достаточным, т.к. распределение все еще достаточно велико для коротких периодов измерения и среднее значение может быть ошибочным (обычно слишком низким).

Для выполнения второго критерия необходимо, чтобы продолжительность испытания была больше приведенной в 9.3.