Приложение D (справочное). Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины

Приложение D
(справочное)

Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины

D.1 В некоторых случаях предпочтительнее работать не с дискретным представлением G, а с непрерывной аппроксимацией функции распределения для выходной величины Y (см. 7.5).

Примечание - Преимущества работы с непрерывной аппроксимацией состоят, например, в том, что:

a) выборка из заданного распределения может быть выполнена без необходимости округления, как в случае дискретного представления;

b) для определения наименьшего интервала охвата могут быть использованы численные методы, требующие для своей работы непрерывность функции распределения.

D.2 Чтобы сформировать , используют дискретное представление , для в соответствии с 7.5.1 после замены совпадающих значений модели для [как того требует этап b) в 7.5.1] в соответствии со следующей процедурой:

a) значениям приписывают равномерно отстоящие друг от друга значения вероятностей , r = 1,..., M [8], которые представляют собой средние точки интервалов шириной 1/М, покрывающих диапазон изменения вероятности от нуля до единицы;

b) формируют в виде непрерывной строго возрастающей кусочно-линейной функции, последовательно соединяющей M точек , r=1,..., M:

. (Д.1)

Примечание - Формула (D.1) может быть использована как основа формирования выборки из для последующей оценки неопределенности (см. раздел С.2 в части формирования выборки на основе функции, обратной к функции распределения). Некоторые библиотеки и пакеты программ предоставляют средства такой кусочно-линейной интерполяции. Поскольку кусочно-линейна, то такой же вид имеет и обратная функция, что позволяет использовать для ее построения те же программные средства.

D.3 На рисунке D.1 показан график , построенный на основе 50 выборочных значений из нормального распределения для Y с плотностью распределения вероятностей , математическим ожиданием, равным трем, и стандартным отклонением, равным единице.

D.4 На основе приближения , задаваемого формулой (D.1), может быть построено приближение для плотности распределения вероятностей выходной величины, представляющее собой кусочно-постоянную функцию с разрывами в точках . Математическое ожидание и стандартное отклонение величины Y, описываемой плотностью распределения вероятностей , рассматриваются соответственно как оценка Y и ее стандартная неопределенность и имеют вид:

, (D.2)

, (D.3)

где двойной штрих справа от символа суммирования показывает, что первый и последний члены суммы необходимо брать с коэффициентом 1/2.

Примечание - Для достаточно больших значений M (например, или более) и , полученные с использованием формул (D.2) и (D.3), в общем случае с практической точки зрения неотличимы от оценок, полученных по формулам (16) и (17) соответственно.

D.5 Если - любое значение между нулем и (1 - р), где р - требуемая вероятность охвата (например, 0,95), то границы 100р%-ного интервала охвата могут быть получены на основе с помощью обратной линейной интерполяции. Чтобы определить нижнюю границу такую, что , необходимо найти индекс r, для которого точки и будут удовлетворять условию:

.

Тогда посредством обратной линейной интерполяции получаем:

Аналогично, верхнюю границу , для которой , вычисляют по формуле

,

где индекс s такой, что точки удовлетворяют условию

.

D.6 Значение дает интервал охвата, ограниченный квантилями уровней 0,025 и 0,975. Этот выбор обеспечивает вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата для Y.

D.7 Наименьший интервал охвата может в общем случае быть получен на основе путем определения , для которого будет принимать минимальное значение. Прямой численный способ определения минимума - вычисление значений для большой по объему выборки равномерно распределенных значений в интервале от нуля до (1 - р) и выбор значения из этой выборки, которому соответствует минимальное значение .

D.8 Вычисление интервала охвата становится проще, если рМ - целое число. Тогда значение , для которого минимально, равно , где - значение индекса r, для которого длина интервала минимальна среди всех r=1,..., (1-p)/M.