Приложение F (справочное). Задача определения коэффициента рассогласовани

Приложение F
(справочное)

Задача определения коэффициента рассогласования

В настоящем приложении рассматриваются некоторые детали задачи определения коэффициента рассогласования при калибровке измерителя мощности (см. 9.4). В разделе F.1 получены математическое ожидание и стандартное отклонение (см. 9.4.2.1.2). В разделе F.2 аналитически получена плотность распределения вероятностей для , когда и (см. 9.4.2.1.2). В разделе F.3 способ оценивания неопределенности по GUM применен для некоррелированных и коррелированных входных величин (см. 9.4.2.1.3 и 9.4.3.1.1).

F.1 Аналитическое решение для математического ожидания и стандартного отклонения

F.1.1 Дисперсия величины X может быть выражена через математические ожидания, как [42, стр. 124]:

.

Таким образом,

,

где x - наилучшая оценка X, а u(x) - стандартная неопределенность этой оценки. Таким образом, для модели, описываемой формулой (28) , имеет место

.

Этот результат справедлив независимо от:

- функций распределения и ;

- наличия или отсутствия корреляции между и .

F.1.2 Стандартная неопределенность для может быть получена на основе выражения

,

где для i=1, 2 и . Тогда, применяя теорему Прайса для нормальных распределений [40, 41], можно получить

. (F.1)

Если и , то, заменяя на можно получить

.

F.1.3 Если и некоррелированны, т.е. , то формула (F.1) принимает вид

. (F.2)

Формула (F.2) может быть проверена применением формулы (10) из GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)] и непосредственно следующей за ней формулой из GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)].

F.2 Аналитическое решение для случая нулевой оценки коэффициента отражения по напряжению при нулевой ковариации

F.2.1 Для случая и плотность распределения вероятностей для Y может быть получена аналитически. Такое решение полезно иметь для последующего расчета неопределенности калибровки измерителя мощности. В указанном предположении выходную величину можно представить в виде

.

F.2.2 Член в квадратных скобках, который можно обозначить Z, представляет собой сумму квадратов двух независимых величин, каждая из которых подчиняется стандартному нормальному распределению. Следовательно, случайная величина Z подчиняется распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы [42, стр. 177], так что

,

где Z имеет плотность распределения вероятностей

.

F.2.3 Применение общей формулы для плотности распределения вероятностей функции случайной величины [42, стр. 57-61] в случае дифференцируемой и строго возрастающей функции аргумента (в данном случае Z) с заданным распределением позволяет получить плотность распределения вероятностей для выходной величины в виде

.

F.2.4 Это позволяет получить выражения для математического ожидания и дисперсии для :

,

.

Таким образом, стандартное отклонение составляет , что согласуется с результатами, приведенными в F.1.

F.2.5 Интегрирование плотности распределения вероятностей дает функцию распределения следующего вида:

. .(F.3)

F.2.6 Если - такое в формуле (F.3), для которого для любого , удовлетворяющего условию , тогда

,

и 100p%-ный интервал охвата для (см. 7.7) имеет вид:

. (F.4)

Длина этого интервала будет равна

.

F.2.7 Наименьший 100p%-ный интервал охвата соответствует такому , для которого минимально (см. 5.3.4). Так как - строго возрастающая функция для , то достигает минимума в точке . Таким образом, наименьший 100p%-ный интервал охвата для имеет вид:

.

Для наименьший 95%-ный интервал охвата представляет собой [0; 0,00014998].

F.2.8 Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата для соответствует (см. 5.3.3) и имеет вид

.

Он на 20% длиннее, чем наименьший 95%-ный интервал охвата.

Примечание - Приведенный выше анализ демонстрирует аналитический вывод, применимый к некоторым задачам подобного типа. В данном частном случае результаты могли бы быть получены быстрее, если принять во внимание факт, что - строго убывающая функция, а наименьший интервал охвата всегда включает в себя моду распределения.

F.3 Применение способа оценивания неопределенности по GUM к задаче определения коэффициента рассогласования

F.3.1 Некоррелированные входные величины

F.3.1.1 В задаче определения коэффициента рассогласования, рассмотренной в 9.4, в качестве модели измерения использована следующая:

,

где величинам и приписаны нормальные распределения с математическими ожиданиями и дисперсиями и соответственно.

F.3.1.2 Применение GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.1)] дает

в качестве оценки . Частные производные от функции измерения по для i= 1, 2 имеют вид

.

F.3.1.3 Следовательно, в соответствии с GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)] для стандартной неопределенности справедливо выражение:

, (F.5)

основанное на аппроксимации f(X) рядом Тейлора первого порядка. Если нелинейность f(X) значительна [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)], то к формуле (F.5) следует добавить член

.

В результате формула (F.5) принимает вид

. (F.6)

F.3.1.4 Поскольку подчиняется нормальному распределению, 95%-ный интервал охвата для имеет вид

.

F.3.2 Коррелированные входные величины

F.3.2.1 Если входные величины коррелированны, то матрица неопределенностей для наилучших оценок входных величин определена формулой (27).

F.3.2.2 Применяя GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.2.2)], можно получить:

. (F.7)