Приложение Г (справочное). Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений n=>50

Приложение Г
(справочное)

Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений , критерий

Г.1 Критерий Мизеса-Смирнова использует статистику, имеющую вид

,

где F(x) - теоретическая функция распределения;

- эмпирическая функция распределения;

- весовая функция, область определения которой представляет собой область значений функции F(x).

Конкретный вид статистики (или, точнее, ) зависит от вида весовой функции. Как правило, используют весовые функции двух видов: , при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и , при которой вес результатов измерений увеличивается на "хвостах" распределений. В приведенном критерии использована весовая функция второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливы в области крайних значений. Однако почти всегда малое число результатов измерений имеется как раз в области крайних значений. Поэтому целесообразно придать этим результатам больший вес.

Если принять весовую функцию второго вида, то статистика после выполнения интегрирования имеет вид

,

(Г.1)

где - значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном ;

- результаты измерений, упорядоченные по значению.

Результаты измерений рекомендуется свести в таблицу, аналогичную таблице Г.1 расчетного примера применения критерия , а соответствующие им значения внести в третий столбец таблицы, аналогичной таблице Г.2 этого же примера.

Статистика подчиняется асимптотическому (при ) распределению

.

Значения функции распределения а(х) для с шагом 0,01 приведены в таблице Г.3.

Г.2 Применение критерия требует выполнения большого объема вычислительных операций, но этот критерий более мощный, чем критерий Пирсона . Число результатов измерений при использовании этого критерия должно быть более 50.

Г.3 При использовании критерия вычисления проводят в следующем порядке:

Г.3.1 Вычисляют значение статистики по формуле (Г.1).

Промежуточные вычисления по формуле (Г.1) рекомендуется сводить в таблицу, аналогичную таблице Г.2 примера. После заполнения таблицы суммируют значения, внесенные в ее последний столбец. Значение величины находят, подставляя полученную сумму в формулу (Г.1).

Г.3.2 По таблице Г.3 находят значение функции распределения а(х) для х, равного вычисленному значению .

Г.3.3 Задают уровень значимости . Рекомендуется выбирать значение , равное 0,1 или 0,2.

Г.3.4 Если , то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если , то гипотезу принимают.

Пример применения критерия

Пример составлен при малом количестве данных в целях иллюстрации сложного вычислительного процесса при использовании критерия .

Результаты измерений приведены в таблице Г.1.

Таблица Г.1 - Результаты измерений

Номер результата измерений j	Результат измерений	Номер результата измерений j	Результат измерений	Номер результата измерений j	Результат измерений
1	15,61	6	24,14	11	27,88
2	20,71	7	24,59	12	28,74
3	21,68	8	26,18	13	29,34
4	22,28	9	26,23	14	30,86
5	23,22	10	27,59	15	32,08

Требуется проверить гипотезу о том, что группа результатов измерений не противоречит нормальному распределению. Среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение результатов измерений, представленных в таблице Г.1, равные соответственно и S = 4,3241, приняты в качестве параметров нормального распределения, значения функции распределения которого представлены в третьем столбце таблицы Г.2.

Результаты дальнейших вычислений также приведены в таблице Г.2.

Таблица Г.2 - Результаты промежуточных вычислений значения статистики по формуле (Г.1)

j	А	В	С	D	E	F	G	H	I
1	0,033	0,011726	-2,14336	-0,07145	0,9667	0,882740	-0,12472	-0,12057	-0,19201
2	0,100	0,136321	-1,99274	-0,19927	0,9000	0,863679	-0,14655	-0,13190	-0,33117
3	0,167	0,194344	-1,63813	-0,27302	0,8333	0,805656	-0,21610	-0,18008	-0,45310
4	0,233	0,234533	-1,45016	-0,33837	0,7667	0,765467	-0,26727	-0,20491	-0,54328
5	0,300	0,306428	-1,18277	-0,35483	0,7000	0,693572	-0,36590	-0,25613	-0,61096
6	0,367	0,384761	-0,95513	-0,35022	0,6333	0,615239	-0,48574	-0,30764	-0,65785
7	0,433	0,425046	-0,85556	-0,37074	0,5667	0,574954	-0,55346	-0,31363	-0,68437
8	0,500	0,570639	-0,56100	-0,28050	0,5000	0,429361	-0.84546	-0,42273	-0,70323
9	0,567	0,575345	-0,55279	-0,31325	0,4333	0,424655	-0,85648	-0,37114	-0,68439
10	0,633	0,692869	-0,36691	-0,23238	0,3667	0,307131	-1,18048	-0,43284	-0,66522
11	0,700	0,716339	-0,33360	-0,23352	0,3000	0,283661	-1,25998	-0,37799	-0,61151
12	0,766	0,729350	-0,31560	-0,24196	0,2333	0,270650	-1,30693	-0,30495	-0,54691
13	0,833	0,818325	-0,20050	-0,16708	0,1667	0,181675	-1,70554	-0,28426	-0,45134
14	0,900	0,896346	-0,10943	-0,09849	0,1000	0,103654	-2,26670	-0,22667	-0,32516
15	0,966	0,938585	-0,06338	-0,06127	0,0333	0,061415	-2,79010	-0,09300	-0,15427
Примечания 1 В первой строке заголовочной части таблицы приведена нумерация столбцов со 2-го по 10-й заглавными буквами латинского алфавита (A, В, ..., I). 2 Во второй строке заголовочной части таблицы для столбцов с 4-го по 10-й (столбцы С, ..., I) приведены формулы для вычисления значений в строках, имеющих номер j (j = 1, ..., 15), использующие значения (), указанные на пересечении соответствующих столбцов и строк с номерами j. 3 Для вычисления значений во втором столбце таблицы (столбец А) число измерений n = 15.

Сумма значений, приведенных в столбце 10 таблицы Г.2, равна минус 7,61478. Тогда результат вычисления по формуле (Г.1) будет . Значение функции а(х), в соответствии с таблицей