Приложение Г (справочное). Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений n=>50

Приложение Г
(справочное)

Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений , критерий

Г.1 Критерий Мизеса-Смирнова использует статистику, имеющую вид

,

где F(x) - теоретическая функция распределения;

- эмпирическая функция распределения;

- весовая функция, область определения которой представляет собой область значений функции F(x).

Конкретный вид статистики (или, точнее, ) зависит от вида весовой функции. Как правило, используют весовые функции двух видов: , при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и , при которой вес результатов измерений увеличивается на "хвостах" распределений. В приведенном критерии использована весовая функция второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливы в области крайних значений. Однако почти всегда малое число результатов измерений имеется как раз в области крайних значений. Поэтому целесообразно придать этим результатам больший вес.

Если принять весовую функцию второго вида, то статистика после выполнения интегрирования имеет вид

,

(Г.1)

где - значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном ;

- результаты измерений, упорядоченные по значению.

Результаты измерений рекомендуется свести в таблицу, аналогичную таблице Г.1 расчетного примера применения критерия , а соответствующие им значения внести в третий столбец таблицы, аналогичной таблице Г.2 этого же примера.

Статистика подчиняется асимптотическому (при ) распределению

.

Значения функции распределения а(х) для с шагом 0,01 приведены в таблице Г.3.

Г.2 Применение критерия требует выполнения большого объема вычислительных операций, но этот критерий более мощный, чем критерий Пирсона . Число результатов измерений при использовании этого критерия должно быть более 50.

Г.3 При использовании критерия вычисления проводят в следующем порядке:

Г.3.1 Вычисляют значение статистики по формуле (Г.1).

Промежуточные вычисления по формуле (Г.1) рекомендуется сводить в таблицу, аналогичную таблице Г.2 примера. После заполнения таблицы суммируют значения, внесенные в ее последний столбец. Значение величины находят, подставляя полученную сумму в формулу (Г.1).

Г.3.2 По таблице Г.3 находят значение функции распределения а(х) для х, равного вычисленному значению .

Г.3.3 Задают уровень значимости . Рекомендуется выбирать значение , равное 0,1 или 0,2.

Г.3.4 Если , то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если , то гипотезу принимают.

Пример применения критерия

Пример составлен при малом количестве данных в целях иллюстрации сложного вычислительного процесса при использовании критерия .

Результаты измерений приведены в таблице Г.1.

Таблица Г.1 - Результаты измерений

Номер результата измерений j	Результат измерений	Номер результата измерений j	Результат измерений	Номер результата измерений j	Результат измерений
1	15,61	6	24,14	11	27,88
2	20,71	7	24,59	12	28,74
3	21,68	8	26,18	13	29,34
4	22,28	9	26,23	14	30,86
5	23,22	10	27,59	15	32,08

Требуется проверить гипотезу о том, что группа результатов измерений не противоречит нормальному распределению. Среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение результатов измерений, представленных в таблице Г.1, равные соответственно и S = 4,3241, приняты в качестве параметров нормального распределения, значения функции распределения которого представлены в третьем столбце таблицы Г.2.

Результаты дальнейших вычислений также приведены в таблице Г.2.

Таблица Г.2 - Результаты промежуточных вычислений значения статистики по формуле (Г.1)

j	А	В	С	D	E	F	G	H	I
1	0,033	0,011726	-2,14336	-0,07145	0,9667	0,882740	-0,12472	-0,12057	-0,19201
2	0,100	0,136321	-1,99274	-0,19927	0,9000	0,863679	-0,14655	-0,13190	-0,33117
3	0,167	0,194344	-1,63813	-0,27302	0,8333	0,805656	-0,21610	-0,18008	-0,45310
4	0,233	0,234533	-1,45016	-0,33837	0,7667	0,765467	-0,26727	-0,20491	-0,54328
5	0,300	0,306428	-1,18277	-0,35483	0,7000	0,693572	-0,36590	-0,25613	-0,61096
6	0,367	0,384761	-0,95513	-0,35022	0,6333	0,615239	-0,48574	-0,30764	-0,65785
7	0,433	0,425046	-0,85556	-0,37074	0,5667	0,574954	-0,55346	-0,31363	-0,68437
8	0,500	0,570639	-0,56100	-0,28050	0,5000	0,429361	-0.84546	-0,42273	-0,70323
9	0,567	0,575345	-0,55279	-0,31325	0,4333	0,424655	-0,85648	-0,37114	-0,68439
10	0,633	0,692869	-0,36691	-0,23238	0,3667	0,307131	-1,18048	-0,43284	-0,66522
11	0,700	0,716339	-0,33360	-0,23352	0,3000	0,283661	-1,25998	-0,37799	-0,61151
12	0,766	0,729350	-0,31560	-0,24196	0,2333	0,270650	-1,30693	-0,30495	-0,54691
13	0,833	0,818325	-0,20050	-0,16708	0,1667	0,181675	-1,70554	-0,28426	-0,45134
14	0,900	0,896346	-0,10943	-0,09849	0,1000	0,103654	-2,26670	-0,22667	-0,32516
15	0,966	0,938585	-0,06338	-0,06127	0,0333	0,061415	-2,79010	-0,09300	-0,15427
Примечания 1 В первой строке заголовочной части таблицы приведена нумерация столбцов со 2-го по 10-й заглавными буквами латинского алфавита (A, В, ..., I). 2 Во второй строке заголовочной части таблицы для столбцов с 4-го по 10-й (столбцы С, ..., I) приведены формулы для вычисления значений в строках, имеющих номер j (j = 1, ..., 15), использующие значения (), указанные на пересечении соответствующих столбцов и строк с номерами j. 3 Для вычисления значений во втором столбце таблицы (столбец А) число измерений n = 15.

Сумма значений, приведенных в столбце 10 таблицы Г.2, равна минус 7,61478. Тогда результат вычисления по формуле (Г.1) будет . Значение функции а(х), в соответствии с таблицей Г.3, для равно 0,016. Это значение достаточно мало (0,016 < 0,8 < 0,9), следовательно, в соответствии с Г.4, гипотеза о том, что выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности, не может быть отвергнута.

Таблица Г.3 - Значения функции а(х)

Значение	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
0,1	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,001	0,001	0,002	0,003	0,005
0,2	0,007	0,010	0,013	0,016	0,020	0,025	0,030	0,035	0,041	0,048
0,3	0,055	0,062	0,070	0,078	0,086	0,095	0,104	0,113	0,122	0,132
0,4	0,141	0,151	0,161	0,171	0,181	0,192	0,202	0,212	0,222	0,233
0,5	0,243	0,253	0,263	0,274	0,284	0,294	0,304	0,313	0,323	0,333
0,6	0,343	0,352	0,361	0,371	0,380	0,389	0,398	0,407	0,416	0,424
0,7	0,433	0,441	0,449	0,458	0,466	0,474	0,482	0,489	0,497	0,504
0,8	0,512	0,519	0,526	0,533	0,540	0,547	0,554	0,560	0,567	0,573
0,9	0,580	0,586	0,592	0,598	0,604	0,610	0,615	0,621	0,627	0,632
1,0	0,637	0,643	0,648	0,653	0,658	0,663	0,668	0,673	0,677	0,682
1,1	0,687	0,691	0,696	0,700	0,704	0,709	0,713	0,717	0,721	0,725
1,2	0,729	0,732	0,736	0,740	0,744	0,747	0,751	0,754	0,758	0,761
1,3	0,764	0,768	0,771	0,774	0,777	0,780	0,783	0,786	0,789	0,792
1,4	0,795	0,798	0,800	0,803	0,806	0,809	0,811	0,814	0,816	0,819
1,5	0,821	0,824	0,826	0,828	0,831	0,833	0,835	0,837	0,839	0,842
1,6	0,844	0,846	0,848	0,850	0,852	0,854	0,856	0,858	0,859	0,861
1,7	0,863	0,865	0,867	0,868	0,870	0,872	0,873	0,875	0,877	0,878
1,8	0,880	0,881	0,883	0,884	0,886	0,887	0,889	0,890	0,892	0,893
1,9	0,894	0,896	0,897	0,898	0,900	0,901	0,902	0,903	0,905	0,906
2,0	0,907	0,908	0,909	0,910	0,912	0,913	0,914	0,915	0,916	0,917
2,1	0,918	0,919	0,920	0,921	0,922	0,923	0,924	0,925	0,926	0,927
2,2	0,928	0,929	0,929	0,930	0,931	0,932	0,933	0,934	0,934	0,935
2,3	0,936	0,937	0,938	0,938	0,939	0,940	0,941	0,941	0,942	0,943
2,4	0,943	0,944	0,945	0,945	0,946	0,947	0,947	0,948	0,949	0,949
2,5	0,950	0,951	0,952	0,952	0,953	0,953	0,954	0,954	0,955	0,956