Глава 2. Актуарная математика

Глава 2. Актуарная математика

Тема 2.1. Модели дожития и таблицы смертности

Концепция модели дожития. Моделирование дожития как непрерывной случайной величины. Функция дожития и ее свойства. Нахождение вероятностей событий, определенных в терминах продолжительности жизни, с использованием функции дожития. Построение таблиц смертности для целочисленных значений возраста х с использованием дискретных уровней декремента. Концепция начальной селекции и ее отражение в таблицах смертности. Селективные, окончательные и совокупные таблицы смертности. Сила (интенсивность) смертности. Определение и взаимосвязь функций , , , , , , , и . Основные свойства графиков функций , , , . Предположения о равномерном распределении декрементов и постоянной интенсивности риска и их использование для аппроксимации функций , , , , , , , и . Плотность распределения времени предстоящей жизни. Среднее значение и дисперсия усеченной и полной продолжительности жизни. Формулы Гомпертца и Мэйкхейма и их применение. Модель прогноза половозрастной структуры популяции без миграции при заданной рождаемости. Стационарная популяция. Взаимозависимости между функциями таблицы смертности для стационарной популяции.

Тема 2.2. Вычисление страховок и аннуитетов

Определение зависящих от смертности ожидаемых денежных потоков с использованием таблиц смертности. Современная и накопленная стоимость потока платежей в терминах сложных процентов и функций таблицы смертности. Дисперсия современной и накопленной стоимости потока платежей в терминах сложных процентов и функций таблицы смертности. Основные виды страховых покрытий по страхованию жизни и формируемые ими денежные потоки. Формулы для современной и накопленной стоимости. Аннуитеты, выплачиваемые ежегодно или несколько раз в год; выплаты по смерти, производимые в конце года смерти или в момент смерти. Коммутационные функции , , , , и и их использование. Взаимосвязи между и , и , и . Соотношения и . Расчет дисперсии современной стоимости для основных видов страховых покрытий.

Тема 2.3. Премии, резервы и изменения

Уравнение стоимости (баланса). Использование функций современной стоимости выплат и аннуитетов для составления уравнений современных стоимостей. Вычисление брутто- и нетто-премий. Необходимость создания резервов для оплачиваемых постоянными взносами контрактов с растущим риском. Ретроспективные, перспективные (проспективные) и последовательные методы расчета резервов. Условия равенства этих резервов. Демонстрация этого равенства на конкретных примерах страхования жизни и аннуитетов. Рекуррентные соотношения для резервов. Понятие прибыли от смертности. Расчет прибыли от смертности для разных типов страховых контрактов. Учет повышенного риска смертности. Резервы по полисам с участием в прибыли. Использование резервов для вычисления оплаченных полисов и выкупных сумм. Использование резервов для вычисления финансового эффекта от расторжения (изменения условий) договора страхования жизни.

Тема 2.4. Модели денежных потоков и тестирование прибыли

Модель реальных денежных потоков. Прогнозирование ожидаемых денежных потоков для пожизненного и смешанного страхования, страхования на срок и страховых аннуитетов. Описание процесса возникновения прибыли при заданном резервном базисе и ставке дисконтирования. Определение подписи (сигнатуры) прибыли для описанных выше продуктов. Использование модели денежных потоков для определения стоимости продукта и резервирования. Выбор тарифного и резервного базисов. Возможные причины их различия. Влияние изменения тарифного и резервного базиса на подпись прибыли.