Приложение А (справочное). Оценка некоторых показателей надежности системы, состоящей из двух элементов в нагруженном резерве

Приложение А
(справочное)

Оценка некоторых показателей надежности системы, состоящей из двух элементов в нагруженном резерве

А.1 Цель

В качестве примера для определения оценки показателей надежности рассматривается система, состоящая из двух элементов, соединенных параллельно. Оцениваемые показатели - асимптотический коэффициент готовности, мгновенный коэффициент готовности, вероятность безотказной работы и MTTFF.

А.2 Моделирование

Диаграмма состояний и переходов системы изображена на рисунке А.1.

"Рисунок А.1 - Диаграмма состояний и переходов для системы с двумя элементами"

Диаграмму состояний и переходов для оценки вероятности безотказной работы R(t) получают из этой диаграммы путем устранения переходов восстановления от состояния 3 к состояниям 1 и 2. Состояние 3, таким образом, становится состоянием поглощения.

Предположим, что оба элемента в системе идентичны или имеют одинаковые интенсивности отказов/восстановлений. Сокращенная диаграмма изображена на рисунке А.2.

"Рисунок А.2 - Диаграмма состояний и переходов для параллельной системы, состоящей из двух идентичных элементов"

Диаграмму состояний и переходов для оценки вероятности безотказной работы R(t) получают из этой диаграммы путем устранения перехода восстановлений от состояния 2 к состоянию 1. Состояние 2, таким образом, становится состоянием поглощения.

А.3 Метод дифференциальных уравнений

А.3.1 Метод для коэффициента готовности

Пусть , , - вероятности пребывания системы в состояниях 0, 1 и 2, соответственно в момент времени t. Следующие дифференциальные уравнения получены для диаграммы, изображенной на рисунке А.2:

;

;

.

При решении этой системы дифференциальных уравнений для вероятностей , , предполагается, что в момент времени t = 0 система находится в состоянии 0, т.е.:

= 1;

= 0;

= 0.

В этом случае коэффициент готовности A(f) вычисляют по формуле

.

С помощью преобразования Лапласа можно получить это выражение через и

.

Из этого выражения вытекает выражение для определения асимптотического коэффициента готовности . Это выражение можно рассчитать иначе, если учесть, что в момент времени t = справедливы следующие равенства:

;

;

.

Эти уравнения зависимы, так как любое уравнение может быть получено из двух других. В качестве третьего уравнения используют соотношение

В результате некоторых математических преобразований получаем формулу

.

А.3.2 Метод для вероятности безотказной работы

Для оценки вероятности безотказной работы и MTTFF системы, представленной на рисунке А.2, можно вывести следующие дифференциальные уравнения, предполагая, что состояние 2 является состоянием поглощения (переход восстановления из состояния 2 к состоянию 1 удален):

;

;

(А.1)

.

Вероятности , , можно определить из системы дифференциальных уравнений (см. А.1), учитывая, что в момент времени t = 0 система находится в состоянии 0:

= 1;

= 0;

= 0.

Таким образом, для вероятности безотказности работы справедливо уравнение

.

При помощи преобразования Лапласа можно получить выражение для через и

,

где для , справедливы соотношения:

;

.

Выражение для MTTFF системы выводят либо из выражения для определения

,

либо из системы уравнений, полученных интегрированием уравнений (см. А.1) в интервале от t = 0 до t = .