Приложение В (справочное) Булевы методы (справочное). Булевы методы

Приложение В
(справочное)

Булевы методы

В.1 Вводные замечания

Кроме булевых таблиц истинности, описанных в 8.1.3, при анализе RBD главным образом используют обычные математические формулы. Однако для анализа RBD может применяться также булева алгебра. Во многих случаях это является намного более эффективным. В частности булева алгебра может применяться в тех случаях, когда:

a) RBD содержит общие блоки (см. рисунок 15);

b) RBD содержит стрелки (см. рисунки 8 и 14);

c) система очень сложная;

d) легче построить булево выражение для описания успеха (или отказа) системы, чем соответствующую RBD.

В отношении случая, указанного в перечислении d), следует заметить следующее. Для многих систем описание успеха или отказа с помощью булевой алгебры часто является более простой и понятной задачей, чем построение RBD. Использование булевого метода при анализе надежности системы позволяет избежать ошибок в процессе построения RBD.

B.2 Обозначения

Символы и ранее использовались для обозначения логических "ИЛИ" и "И" соответственно. Однако более удобно использовать символ "+" для обозначения логического "ИЛИ" и точки "." для обозначения логического "И"*(1). Черточка над логической переменной обозначает инверсию или дополнение соответствующего события, например, обозначает "не а". Выражение () следует читать как "а И b И НЕ с И е ИЛИ f И g". Текст, в котором используют символы, должен четко описывать их значение.

B.3 Логические переменные и вероятности

Рассмотрим систему из двух резервированных элементов, изображенную на рисунке 9. Очевидно, что система будет работоспособна, если будет работоспособен один из блоков А или В.

Булево выражение для успеха (работоспособного состояния) системы имеет вид

,

(15)

где а и b - логические переменные, соответствующие работоспособному состоянию блоков А и В соответственно. Если заменить а и b на и соответственно, формула (15) примет вид

.

(16)

К сожалению формула (16) является некорректной для зависимых событий. Если формулу (15) записать в виде

,

(17)

то замена а на , на (1 - ) и b на , позволяет вывести корректную формулу для вероятности безотказной работы системы

(18)

Процесс замены формулы (15) на формулу (17) называют ее представлением в виде непересекающихся (независимых) событий. Формулу (15) можно записать в другой форме: . При замене b на и на (1 - ) получаем корректную формулу вероятности безотказной работы системы ()

.

(19)

Очевидно, что уравнения (18) и (19) эквивалентны.

Таким образом, основной целью является составление булева выражения для описания успеха системы с помощью непересекающихся событий. Это означает, что каждый член заключительного булева выражения для успеха системы должен быть независимым по отношению к каждому другому члену этого выражения.

В.4 Метод составления булевых выражений

B.4.1 Основные положения

Два члена являются взаимно непересекающимися (дизъюнктными), если, по крайней мере, одна переменная первого члена появляется в виде ее дополнения в другом члене. Например члены (каждый содержит по четыре логических переменных) p.q.r.s и являются непересекающимися за счет переменной s. Обратное также верно. В то же время два члена не являются непересекающимися (т.е. являются пересекающимися), если ни одна из переменных одного члена не появляется в другом в виде ее дополнения. Например два члена p.q.r.s и s.t.u.v не являются пересекающимися.

B.4.2 Принцип дизъюнкции

Если два члена и не являются непересекающимися и необходимо сделать независимым от , то сначала необходимо выбрать все переменные в , которые не входят в . Такой член называют относительным дополнением до . Предположим, что относительное дополнение - это (). Тогда при замене и

,

выражение () будет состоять только из непересекающихся членов

,

Например, чтобы сделать член = d.e.f непересекающимся с членом = a.b.c.d.e, необходимо выполнить следующие действия:

Относительным дополнением до является пересечение a.b.c, поэтому если (T = d.e.f) заменить на :

,

то , и (т.е. все члены , , , ) будут непересекающимися (независимыми) относительно друг друга.

Примечание - Несмотря на то, что можно записать данное выражение для в виде

,

такая форма не подходит для процедуры, описанной в В.4.3..

B.4.3 Процедура перехода к независимым событиям

Процедура перехода к независимым событиям состоит в следующем.

a) Записывают выражение для успеха системы (обозначаемого ), используя все члены булева выражения и обозначая их слева направо*(2) ", , , ...".

b) Выделяют как "основной" член и сравнивают с .

c) При необходимости (т.е. если два члена являются пересекающимися), делают непересекающимся с в соответствии с В.4.2.

d) При необходимости делают непересекающимся с .

e) Продолжают процесс для оставшихся членов выражения .

f) Проверяют несколько расширенное (из-за дополнительно добавленных членов) полученное на этом этапе выражение и упрощают его (по возможности), используя правила булевой алгебры (обычно применяют правила (х + х) = х, (х + х.у)= х, (х.у + .у) = у). Полученное в результате выражение обозначают , а его члены слева направо обозначают " , , ...".

g) Выбирают в качестве "основного" второй член (), сравнивают с и выполняют действия, описанные в перечислениях с) - f) для . Полученное в результате выражение обозначают .

h) Продолжают выполнять описанную процедуру до тех пор, пока все члены не будут использованы в качестве "основных". Таким образом, в полученное выражение будут входить только непересекающиеся члены. Полученное выражение представляет собой дизъюнктную версию исходного выражения . Если в таком булевом выражении для успеха системы каждую логическую переменную заменить соответствующей вероятностью безотказности работы, то будет получена формула для определения вероятности безотказной работы системы. При подстановке в это выражение числовых значений можно получить числовое значение вероятности безотказной работы системы.

Пример применения данной процедуры приведен в подразделе В.6.

B.5 Комментарии

Самое важное свойство метода состоит в том, что на основе последовательности шагов может быть составлена компьютерная программа. Использование современных компьютеров позволяет почти мгновенно получить формулы для достаточно сложных булевых выражений.

Другим достоинством метода является то, что описанная процедура может быть применена к булевым выражениям, полученным в результате исследования дерева неисправностей.

Еще одно важное свойство связано с тем, что полученное выражение используют для вычисления вероятностей, а также коэффициента технического использования. В этом случае каждое событие должно быть независимым от других. Это означает, что отказ и ремонт любого элемента не влияют на отказ или ремонт любого другого элемента (см. также раздел 9).

B.6 Пример применения дизъюнктирующей процедуры

Предположим, что система состоит из пяти элементов А, В, С, D и Е. Обозначим их соответствующими булевыми переменными а, b, с, d, е. Предположим, что успех системы в терминах булевой алгебры (SS) описывает выражение, включающее в себя четыре члена:

Для получения выражения с непересекающимися членами необходимо выполнить следующие действия.

Шаг 1.1. Каждый член делают непересекающимся с первым. Выполняют процедуру для получения второго члена, не пересекающегося с первым. Анализируют на наличие в первом члене дополнений переменных второго члена. Если это выполняется, то два члена являются непересекающимися, поэтому дальнейших действий не требуется. В противном случае необходимо выбрать все переменные первого члена (a.b), которые не появляются во втором члене (e.b). В терминах булевой алгебры это называется относительным дополнением второго члена до первого. В данном примере результатом является переменная а.

Шаг 1.2. Заменяют второй член (e.b), на ( )*(3).

Шаг 1.3. Формируют третий член, не пересекающийся с первым. Анализируют первый и третий члены на наличие дополнения переменных первого члена в третьем члене. Так как это не выполняется, идентифицируют относительное дополнение третьего члена до первого. Это переменные а и b. Следовательно, необходимо заменить третий член на член .

Шаг 1.4. Формируют четвертый член (c.d), не пересекающийся с первым. Относительное дополнение четвертого члена до первого - переменные а и b.

Поэтому заменяют четвертый член на ). Таким образом, выражение для успеха системы на данном этапе принимает вид

.

Затем повторяют процесс, начиная со второго члена (этап 2).

Шаг 2.1. Формируют третий член (), не пересекающийся со вторым (). Относительным дополнением является b. Заменяют ()) на (b.a.e.d).

Шаг 2.2. Формируют четвертый член (), не пересекающийся со вторым (.e.b). В этом случае члены уже являются непересекающимися (из-за переменных а и b), поэтому дальнейших действий не требуется.

Шаг 2.3. Формируют пятый член (.c.d), не пересекающийся со вторым (). Относительным дополнением являются переменные е и b. Заменяют пятый член на .

Шаг 2.4. Формируют шестой член не пересекающийся со вторым. В этом случае члены уже являются непересекающимися (из-за переменной b), поэтому дальнейших действий не требуется.

Таким образом, выражение успеха системы на данном этапе принимает вид

На этой фазе третий член "поглощает" шестой, а третий и четвертый члены объединяются и дают (b.e.d). Другими словами

,

.

Таким образом, имеет вид

.

Затем повторяют процесс, начиная с третьего члена (этап 3).

Шаг 3.1 Формируют четвертый член (), не пересекающийся с третьим ()). В данном случае эти члены уже являются непересекающимися (из-за переменной е), поэтому дальнейших действий не требуется.

Шаг 3.2 Формируют пятый член , не пересекающийся с третьим. Относительным дополнением является переменная е. Таким образом, () заменяют на ().

Выражение для успеха системы на данном этапе принимает вид

.

Так как дальнейшее упрощение невозможно, это выражение является искомым результатом. Заменяя переменные на соответствующие вероятности безотказной работы, получают выражение для вероятности безотказной работы системы

.

Форма заключительного результата (в этом случае ) зависит от порядка, в котором записаны члены в исходном булевом выражении. Например, если имеет вид

,

то итоговое выражение будет иметь вид

.

Хотя выражения для и выглядят очень разными, они эквивалентны.

___________

*(1) Преимущества такой замены становятся очевидными в выражениях вида

. Запись этого выражения с использованием логических сим волов имеет вид

.

Это выражение является более сложным для анализа.

*(2) Простые булевы выражения для успеха системы представляют собой произведение одного, двух или более членов.

*(3) Первый и второй члены теперь являются непересекающимися за счет переменной а. Она присутствует в первом члене, а во втором члене присутствует ее дополнение .