Приложение В (справочное). Пример табличного cusum

Приложение В
(справочное)

Пример табличного cusum

Среднее 35 и стандартное отклонение 6 были получены по предыдущим данным и использованы в качестве параметров для карты Шухарта и cusum-карты. Было установлено целевое значение 35.

Были собраны данные за двадцать четыре дня: 25,8; 33,4; 31,6; 26,0; 36,4; 33,0; 35,8; 41,8; 44,2; 37,2; 35,0; 41,8; 33,4; 38,4; 30,2; 33,8; 42,6; 39,6; 32,0; 48,4; 44,6; 43,0; 40,8 и 50,6.

Карта Шухарта показана на рисунке В.1. С помощью стандартных критериев карты Шухарта не получено никаких сигналов

"Рисунок В.1 - Карта Шухарта для среднего"

Cusum-график данных показан на рисунке В.2. Он показывает "сигнал" в день N 24. Карта Шухарта на рисунке В.1 не обнаруживает это изменение.

"Рисунок В.2 - Cusum-график и V-маска для среднего"

Табличная версия этой cusum-карты показана в таблице В.1.

Таблица В.1 - Cusum-таблица для средних

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)
День	Среднее за день (Х)	(X - T - F)	Сумма "Hi"	Номер "Hi"	(Х - Т + F)	Сумма "Lo"	Номер "Lo"
0			15,0	0		-15,0	0
1	25,8	-12,2	2,8	1	-6,2	-21,2	1
2	33,4	-4,6	0,0	0	1,4	-19,8	2
3	31,6	-6,4	0,0	0	-0,4	-20,2	3
4	26,0	-12,0	0,0	0	-6,0	-26,2	4
5	36,4	-1,6	0,0	0	4,4	-21,8	5
6	33,0	-5,0	0,0	0	1,0	-20,8	6
7	35,8	-2,2	0,0	0	3,8	-17,0	7
8	41,8	3,8	3,8	1	9,8	-7,2	8
9	44,2	6,2	10,0	2	12,2	0,0	0
10	37,2	-0,8	9,2	3	5,2	0,0	0
11	35,0	-3,0	6,2	4	3,0	0,0	0
12	41,8	3,8	10,0	5	9,8	0,0	0
13	33,4	-4,6	5,4	6	1,4	0,0	0
14	38,4	0,4	5,8	7	6,4	0,0	0
15	30,2	-7,8	0,0	0	-1,8	-1,8	1
16	33,8	-4,2	0,0	0	1,8	0,0	0
17	42,6	4,6	4,6	1	10,6	0,0	0
18	39,6	1,6	6,2	2	7,6	0,0	0
19	32,0	-6,0	0,2	3	0,0	0,0	0
20	48,4	10,4	10,6	4	16,4	0,0	0
21	44,6	6,6	17,2	5	12,6	0,0	0
22	43,0	5,0	22,2	6	11,0	0,0	0
23	40,8	2,8	25,0	7	8,8	0,0	0
24	50,6	12,6	37,6	8	18,6	0,0	0
Примечание - Т = 35; f = 0,5s; h = 5s

В этой cusum-таблице использован "быстрый начальный отклик" (FIR), таким образом, начальное значение помещено в "День 0" в "Сумму Нi" и "Сумму Lo". Это значение равно +2,5s и -2,5s, соответственно, или +15,0 и -15,0. Аналогично, 0 помещен в столбцы "Номер Нi" и "Номер Lo" в День 0. Таким образом, h = 5s, границы сигнала составляют +30 и -30, соответственно.

Значение для "Дня 1" равно 25,8. Вычисления для колонки (3) следующие:

25,8 - 35 - 3 = -12,2.

Значение (-12,2) прибавляют к предыдущему значению 15,0 в колонке "Сумма Нi" (-12,2 + 15,0 = 2,8). Так как 2,8 положительно, к предыдущему значению колонки "Номер Hi" добавляют единицу. Новое значение в колонке "Номе рНi" равно 1.

Вычисления для столбца (6)

25,8 - 35 + 3 = -6,2.

Значение (-6,2) прибавляют к предыдущему значению колонки "Сумма Lo" (-15,0), получая (-21,2). Так как (-21,2) отрицательно, добавляют 1 к предыдущему значению в колонке "Номер Lo", т.е. 0. Новый номер Lo равен 1.

Для вычислений рекомендуется использовать компьютер.

Среднее за "День 2" составило 33,4. Вычисления для столбца (3) следующие

33,4 - 35 - 3 = -4,6

Значение (-4,6) добавляют к предыдущему значению (2,8) колонки "Сумма Нi", получая в результате (-1,8). Так как это значение отрицательно, значение в колонке "Сумма Нi" изменяют на 0, и "Номер Нi" также изменяют на 0, т е. для этой стороны cusum-карты считаются только положительные значения cusum.

Вычисления для столбца (6)

33,4 - 35 + 3 = 1,4.

Значение 1,4 прибавляют к предыдущему значению (-21,2) в колонке "Сумма Нi", получают (-19,8). Поскольку (-19,8), отрицательно к предыдущему значению колонки "Номер Lo" прибавляют 1 (Значение в колонке "Номер Lo" равно 2).

Эту процедуру продолжают до тех пор, пока значение в колонках "Сумма Нi" или "Сумма Lo" не превысит значение h (30 или -30 в данном примере). Это происходит на 24-й день, когда "Сумма Нi" принимает значение 37,6.

Анализ того, когда произошел сдвиг и определение его величины могут быть выполнены по таблице. Из таблицы В.1 видно, что "Сумма Нi" и "Сумма Lo" уменьшаются достаточно быстро, если уровень процесса находится вблизи целевого значения. Если это не так, то обычно "Сумма Нi" и "Сумма Lo" дают сигнал об изменении процесса.

В данном примере сигнал дает "Сумма Нi". При этом "Номер Нi" равен 8. Это означает, что изменение произошло между 16-м и 17-м днем. Оценка сдвига в предположении отсутствия FIR равна

.

Если выявленный сдвиг отрицателен, оценка равна:

.

Так как "Сумма Hi" превысила значение h = 30, оценка сдвига

.

Примечание - Последние восемь значений исходных данных смещены вверх приблизительно на одно стандартное отклонение, т.е. на 6 единиц. Таким образом, кумулятивная сумма выявила место сдвига и позволила оценить его величину (7,7), которая не существенно отличается от 6.

На рисунке В.3 представлен cusum-график, соответствующий таблице.

"Рисунок В.3 - Cusum-график, соответствующий таблице В.1"