Приложение К (справочное). Пример построения диаграммы статической остойчивости плавающего объекта

Приложение К
(справочное)

Пример построения диаграммы статической остойчивости плавающего объекта*

К.1 Общие сведения по остойчивости плавающего объекта**

Водоизмещающий объект, плавающий на поверхности тихой воды, в спокойном состоянии при определенных внешних воздействиях может находиться в равновесии, которое обеспечивается за счет равенства следующих сил, принимаемых за сосредоточенные:

- сил тяжести (точнее весового водоизмещения) объекта, приложенных в его центре тяжести и направленных во всех случаях перпендикулярно к ватерлинии;

- сил поддержания (или сил плавучести) со стороны воды, противодействующих силам тяжести и приложенных к объекту в центре его подводного объема, называемом центром величины.

Происхождения этих сил не зависят друг от друга и поэтому направления их действия также независимы (самостоятельны) и они могут действовать вдоль:

- одной вертикальной линии навстречу друг другу;

- параллельных линий, образуя парусил, параллельных и перпендикулярных действующей ватерлинии.

Эти две категории сил участвуют в обеспечении остойчивости, хотя их взаимодействие при крене объекта существенно изменяется.

В действительности реакция воды на погруженный в нее неподвижный объект проявляется в виде неравномерно распределенного гидростатического давления в точках наружной поверхности погруженного корпуса. При наклонениях объекта эта распределенная нагрузка изменяется по своему характеру, однако, результирующая вертикальная сила (сила плавучести) остается постоянной согласно третьему закону Ньютона (действие равно противодействию).

Перераспределение гидростатического давления по поверхности объекта при его наклонении приводит к изменению положения центра величины внутри объекта.

В итоге получаются две ситуации, изображенные на рисунке К.1 и обусловленные пространственным положением объекта:

- при вертикальном положении объекта с ватерлинией его центр тяжести G и центр величины расположены на одной вертикали, следовательно, момент силы веса и плавучести равен нулю;

- при наклонном положении объекта с ватерлинией его центр тяжести G и центр величины уже не лежат на одной вертикали, хотя и остаются параллельными и образуют в пространстве парусил, момент которой не равен нулю, противодействует внешнему кренящему моменту и поэтому его называют восстанавливающим моментом. Знак этого момента принимают положительным, если его действие стремится уменьшать угол крена.

Вертикально плавающий объект при появлении внешних моментов, обусловленных ветром, волнением, течением, обледенением и другими факторами, первоначально не оказывает им противодействия (поскольку вес и сила поддержания проходят по одной прямой) и вследствие отсутствия этого противодействия объект начинает наклоняться, изменяя конфигурацию подводного объема и "теряя симметрию" погруженного объема.

Процесс наклонения заканчивается тогда, когда внутренний (восстанавливающий) момент достигает величины внешнего момента и наступает новое состояние равновесия, теперь уже для наклоненного объекта. Это состояние будет сохраняться, пока внешний момент не изменится или не исчезнет. Как только это произойдет, восстанавливающий момент заставит объект принять вновь вертикальное положение, т.е. восстановит исходное положение объекта.

При любом изменении баланса между внешним кренящим и восстанавливающим моментами объект будет изменять свое положение на поверхности воды в направлении действия большего по величине момента.

Такова физическая картина статической остойчивости, рассматривающая равновесные состояния объекта под действием постоянных внешних моментов, и условия этого равновесия.

"Рисунок К.1 - Схема образования восстанавливающего момента"

Примечание - Динамическая остойчивость занимается комплексом проблем, включая опрокидывание объекта, в реальных условиях его эксплуатации.

При рассмотрении остойчивости принято различать поперечную и продольную остойчивость, т.е. способность объекта выравнивать крен и дифферент. Продольная остойчивость обычно много больше поперечной (в десятки и даже сотни раз) за счет большей остойчивости формы (остойчивость веса одинакова при наклонениях во всех плоскостях). В таких случаях для наплавных объектов ГТС строят только диаграммы поперечной остойчивости.

Величина восстанавливающего момента может быть вычислена по формуле для любой пары сил как произведение одной (любой из двух) силы на расстояние между ними, называемое плечом статической остойчивости:

.

(К.1)

Для расчетного контроля наличия у плавающего объекта положительной остойчивости используем понятия метацентра и начальной метацентрической высоты.

Поперечный метацентр является центром кривизны той траектории, по которой центр величины перемещается при наклонении плавающего объекта.

Следовательно, метацентр (как и центр величины) является специфической точкой, поведение которой исключительно определяется лишь геометрией формы объекта в подводной части и его осадкой.

Положение метацентра, соответствующее посадке объекта без крена, принято называть начальным поперечным метацентром .

Расстояние между центром тяжести G объекта и начальным метацентром в конкретном варианте загрузки, измеренное в диаметральной плоскости, называется начальной поперечной метацентрической высотой .

Чем ниже располагается центр тяжести G по отношению к постоянному (для данной осадки) начальному метацентру , тем больше будет метацентрическая высота объекта , т.е. тем больше оказывается плечо восстанавливающего момента и его величина.

При малых наклонениях плавающего объекта метацентр приблизительно находится на месте начального метацентра , поскольку траектория центра величины С близка к окружности и ее радиус постоянен. Из треугольника на рисунке К.2 с вершиной в метацентре вытекает формула, справедливая при малых углах крена ():

,

(К.2)

где - угол крена в радианах.

"Рисунок К.2 - Плечо статической остойчивости"

Из формул (К.1) и (К.2) легко получить формулу (К.3) для плеча статической остойчивости:

.

(К.3)

Как видно из формулы (К.3) плечо статической остойчивости и метацентрическая высота не зависят от веса плавающего объекта и его водоизмещения, а представляют собой универсальные характеристики остойчивости, с помощью которых можно сравнивать остойчивость объектов разных типов и размеров.

Метацентрическая высота не должна принимать отрицательных значений.

Из формулы (К.1) следует, что порядок величин восстанавливающего момента определяется в основном величиной водоизмещения судна , следовательно, плечо статической остойчивости является управляющей величиной, влияющей на диапазон изменения момента при данном водоизмещении.

От малейших изменений плеча восстанавливающего момента за счет неточностей его вычисления или погрешностей исходной информации существенно зависит величина момента , определяющего способность объекта сопротивляться наклонениям, т.е. его остойчивость.

Таким образом, начальная метацентрическая высота играет роль универсальной характеристики остойчивости, позволяющей судить о ее наличии и величине безотносительно от размеров плавающего объекта.

При произвольных поперечных наклонениях плавающего объекта кривизна траектории центра величины С изменяется. Эта траектория - уже не окружность с постоянным радиусом кривизны, а является некой плоской кривой, имеющей в каждой своей точке разные значения кривизны и радиуса кривизны. Как правило, этот радиус с креном объекта увеличивается и поперечный метацентр (как начало этого радиуса) выходит из диаметральной плоскости и перемещается по своей траектории, отслеживая перемещения центра величины в подводной части плавающего объекта. При этом, разумеется, само понятие метацентрической высоты становится неприменимым, и лишь восстанавливающий момент и его плечо остаются единственными характеристиками остойчивости объекта при больших наклонениях.

Итак, для контроля остойчивости плавающего объекта необходимо на первом этапе оценить значение начальной поперечной метацентрической высоты , пользуясь формулой:

,

(К.4),

где и - аппликаты соответственно центра тяжести и начального поперечного метацентра, отсчитываемые от основной плоскости, в которой располагается начало системы координат OXYZ плавающего объекта.

Плечо восстанавливающего момента и сам восстанавливающий момент имеют геометрическую интерпретацию в виде приведенной на рисунке К.3 диаграммы статической остойчивости, графически изображающей зависимость плеча восстанавливающего момента или самого момента от угла крена . Диаграмму, как правило, изображают для крена плавающего объекта только на правый борт, поскольку вся картина при крене на левый борт для симметричного объекта отличается только знаком момента .

"Рисунок К.3 - Диаграмма статической остойчивости"

Для подтверждения правильности построения диаграммы статической остойчивости на ней делают следующее построение: откладывают угол = 1 рад (57,30°) и строят треугольник с гипотенузой, касательной к диаграмме при = 0, и горизонтальным катетом = 57,30°. Вертикальный (противолежащий) катет должен оказаться равным метацентрической высоте в масштабе оси (м).

Угол крена , при котором диаграмма пересекает ось абсцисс, называется углом заката диаграммы. Угол заката определяет только то значение угла крена, при котором силы веса Р и плавучести будут действовать вдоль одной прямой и .

К.2 Исходные данные для расчета поперечной статической остойчивости плавающего объекта

Наименование и назначение плавающего объекта - стилизованный наплавной блок гидротехнического сооружения приливной электростанции.

Тип объекта - железобетонный, несамоходный.

Толщина нижней железобетонной плиты - 1,2 м.

Водоизмещение - 139042,21 т, включая 45 000 т жидкого балласта, залитого в отсеки под нижнюю кромку перекрытия отсеков, который оказался необходимым для увеличения остойчивости объекта согласно предыдущему варианту описываемого расчета.

Скорость буксировки объекта - 3,7 узла.

Координатные оси и основные размеры плавающего объекта показаны на рисунке К.4.

"Рисунок К.4 - Поперечное сечение плавающего объекта по мидель - шпангоуту с основными размерами в м"

К.3 Определение водоизмещения и координат центра тяжести плавающего объекта

В связи с тем, что рассматриваемый в примере объект представляет собой параллелепипед с длиной, многократно превышающей размеры его поперечного сечения, все расчеты выполняем для условного отсека объекта длиной 1 м.

Исходные данные сведены в таблицу К.1.

Таблица К.1 - Исходные данные для расчета координат центра тяжести

Наименование параметра	Величина	Примечание
Вес плавающего объекта, т	94042,21	Условный для примера
Вес балласта, т	45000,00	Условный для примера
Вес объекта с балластом, т (всего)	139 042,21	Условный для примера
Вес объекта с балластом на 1 м длины М, т	1158,69
Ширина , м	45,00	Условная для примера
Высота , м	39,25	Условная для примера
Длина , м	120,00	Условная для примера
Объем объекта (на 1 м длины),	1766,25	1 м длины х ширина х высота ()
Объем объекта, (всего)	211950,00	Длина х ширина х высота ()
Осадка объекта по грузовой ватерлинии на ровном киле , м	25,75	Вес объекта с балластом на 1 м ширины:
Аппликата центра тяжести объекта , м	19,63	Половина высоты
Аппликата центра величины , м	12,87	Половина осадки

По известным с рисунка К.1 толщине железобетонного днища блока 1,2 м и высоте жидкого балласта 8,33 м определяем аппликату балласта  м.

Таблица К.2 - Расчет водоизмещения и координат центра тяжести объекта в эксплуатационном случае нагрузки

Статьи нагрузки	Масса балласта, , т	Аппликата центра тяжести балласта, , м	Произведение, , тм	, тм
1 Балласт, отнесенный на 1 м длины объекта (45000/120)	375	5,367	2012,5	-
Итого	375	5,367	2012,5	0

Для настоящего примера расчета поправка на свободную поверхность жидкости в балластных отсеках и цистернах плавающего объекта не вводится ввиду отсутствия свободных поверхностей.

Водоизмещение М и аппликату центра тяжести плавающего объекта определяем по формулам (К.5) и (К.6):

,

(К.5)

- водоизмещение:

 т;

- аппликата центра тяжести плавающего объекта:

,

(К.6)

Подставляя цифровые значения параметров, получим аппликату центра тяжести объекта с балластом, показанную на рисунке К.4:

 м.

Водоизмещение по грузовую марку определяем как площадь поперечного сечения объекта с коэффициентом запаса 0,9:

т.

Условие плавучести объекта выполнено, так как 1158,69 т < 1589,63 т.

К.4 Расчет и построение диаграммы статической остойчивости

Плечи статической остойчивости диаграммы статической остойчивости обычно определяют с помощью интерполяционных кривых плеч остойчивости формы (пантокарен) , представляющих собой универсальные графики для конкретного судна, отражающих форму его корпуса в части остойчивости. Пантокарены поставляются на судно проектировщиком в составе информации об остойчивости и прочности для капитана судна.

В практике строительства гидротехнических сооружений наплавным способом пантокарены не строят ввиду их крайне редкой востребованности: наплавные гидротехнические сооружения и/или их наплавные блоки находятся на плаву (буксировка, отстой, погружение/всплытие) в течение нескольких суток, иногда месяца - двух, что несоразмерно мало по сравнению с расчетным сроком их эксплуатации на грунте в створе приливной электростанции до 50 лет (сооружения III и IV классов) и 100 лет (сооружения I и II классов).

В связи с изложенным и простотой обводов рассматриваемого в настоящем примере плавающего объекта, определяем необходимые величины для построения диаграммы статической остойчивости расчетным путем.

Для малых углов крена (до 12°) объектов плоскость ватерлинии считается проходящей через точку пересечения оси Z и плоскости ватерлинии при отсутствии крена. Это обстоятельство упрощает расчет положения центра тяжести подводной части объекта.

Для больших углов крена необходимо уточнять положение плоскости ватерлинии в соответствии с обеспечением площади подводной части объекта, соответствующей его водоизмещению.

Для определения метацентрической высоты по формуле (К.4) необходимо получить точку пересечения линии, проходящей через центр величины (центр тяжести подводной части объекта) и перпендикулярную плоскости ватерлинии при различных кренах, с осью Z (см. рисунок К.2). Это будет координата начального поперечного метацентра.

Определим координаты и для центров величины при кренах плавающего объекта от 0° до 12° с шагом 0,5°.

При этом область подводной части плавающего объекта из прямоугольника со сторонами  м превращается в трапецию. Стороны трапеции (см. рисунок К.5) определяем по нижеследующим соотношениям:

меньшая сторона ,

(К.7)

большая сторона ,

(К.8)

"Рисунок К.5 - Определение площади и центра тяжести трапеции"

Координаты центра тяжести получающихся трапеций и определяем по формуле (К.6), разбивая трапецию на отдельные простые элементы (прямоугольники и треугольники), либо по справочной формуле координат центра тяжести трапеции, показанной на рисунке К.5.

Для определения координат точки пересечения прямой, проведенной из центра величины перпендикулярно плоскости ватерлинии до пересечения с осью Z, воспользуемся формулами аналитической геометрии.

Пересечение плоскости ватерлинии с плавающим объектом - это прямая, которая описывается уравнением:

,

(К.9)

где ;

.

Перпендикулярная ей прямая имеет тангенс угла наклона, определяемый соотношением

.

(К.10)

Тогда уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид:

,

(К.11)

где из уравнения (К.11) при у=0,

т.е. точка пересечения с осью Z определяется из условия у = 0, и при этом определится следующим образом:

,

(К.12)

где и - координаты центров величины при различных углах крена;

- определяется по формуле (К.10).

Результаты расчета координат центров величины при малых углах крена и аппликата точки m для определения метацентрической высоты приведены в таблице К.3.

Величины , полученные в расчете, имеют некоторый разброс, связанный с точностью счета. Для надежности принимаем минимальное значение как аппликату точки (начального поперечного метацентра) для определения метацентрической высоты.

Таким образом, искомая аппликата начального поперечного метацентра принимается равной 19,428 м, а метацентрическая высота равна:

 м.

Графическое отображение выполненных расчетов представлено на рисунках К.6 и К.7.

"Рисунок К.6 - Общий вид расчетной схемы для положений ватерлинии при углах крена 6 и 12 градусов с заштрихованной трапецией, соответствующей углу крена объекта 12°"

"Рисунок К.7 - Укрупненная деталь рисунка К.6 для первых 25 точек перемещения центра величины при кренах плавающего объекта от 0° до 12° с шагом 0,5°"

Таблица К.3 - Расчет координат центра величины и метацентрической высоты

Номера точек определения координат центра величины	Угол крена , град.	Тангенс ()	Стороны трапеции, м		Центр тяжести трапеции (см. рисунок К.5), м	Координаты центра величины, м		Уравнение перпендикуляра
			а	b		y	z	тангенс ()	, м
1	0,00	0	25,7486	25,7486	22,5	0	12,874279	-	-
2	0,50	0,00872686	25,5522	25,9449	22,5572	0,057194	12,8745283	-114,588747	19,42829348
3	1,00	0,01745505	25,35582	26,1413	22,6144	0,114396	12,8752771	-57,29001	19,42904232
4	1,50	0,026185899	25,15937	26,33774	22,67162	0,171616	12,8765257	-38,1884916	19,43029089
5	2,00	0,03492074	24,96284	26,53427	22,72886	0,228862	12,8782747	-28,6362775	19,43203994
6	2,50	0,043660906	24,76619	26,73093	22,78614	0,286143	12,8805253	-22,9037849	19,43429056
7	3,00	0,052407735	24,56938	26,92773	22,84347	0,343468	12,8832789	-19,0811528	19,43704411
8	3,50	0,061162568	24,3724	27,12472	22,90085	0,400845	12,8865371	-16,3498693	19,44030228
9	4,00	0,069926753	24,17521	27,32191	22,95828	0,458284	12,8903018	-14,3006784	19,44406706
10	4,50	0,07870164	23,97777	27,51934	23,01579	0,515792	12,8945755	-12,7062155	19,44834076
11	5,00	0,087488589	23,78006	27,71705	23,07338	0,57338	12,8993608	-11,430062	19,45312601
12	5,50	0,096288966	23,58206	27,91506	23,13106	0,631055	12,9046605	-10,3854059	19,45842575
13	6,00	0,105104146	23,38371	28,1134	23,18883	0,688828	12,910478	-9,51437255	19,46424326
14	6,50	0,113935511	23,18501	28,31211	23,24671	0,746707	12,9168169	-8,77689483	19,47058212
15	7,00	0,122784456	22,98591	28,51121	23,3047	0,8047	12,9236811	-8,14435338	19,47744628
16	7,50	0,131652385	22,78638	28,71074	23,36282	0,862819	12,9310748	-7,5957606	19,48484
17	8,00	0,140540714	22,58639	28,91072	23,42107	0,921071	12,9390027	-7,11537581	19,4927679
18	8,50	0,149450873	22,38591	29,1112	23,47947	0,979466	12,9474697	-6,69116197	19,50123494
19	9,00	0,158384304	22,18491	29,3122	23,53801	1,038014	12,9564812	-6,31375694	19,51024645
20	9,50	0,167342465	21,98335	29,51376	23,59672	1,096723	12,9660429	-5,97576951	19,51980811
21	10,00	0,176326829	21,7812	29,71591	23,6556	1,155605	12,9761608	-5,67128671	19,52992597
22	10,50	0,185338885	21,57843	29,91868	23,71467	1,214668	12,9868413	-5,39552184	19,54060649
23	11,00	0,194380141	21,375	30,12211	23,77392	1,273922	12,9980913	-5,14455847	19,55185647
24	11,50	0,203452123	21,17088	30,32623	23,83338	1,333377	13,0099179	-4,9151613	19,56368316
25	12,00	0,212556377	20,96604	30,53108	23,89304	1,393045	13,022329	-4,7046342	19,57609418
минимум									19,42829348
среднее									19,47994161

Как следует из графических материалов, аналитические расчеты полностью совпадают с результатами измерений по чертежам.

Таким образом, сравнением графического и аналитического методов расчета, можно сделать предварительный вывод, что метацентрическая высота определена верно, = 4,42 м.

К.5 Построение диаграммы статической остойчивости

Построение диаграммы статической остойчивости выполняется при гораздо больших кренах, чем начальные. Это обстоятельство приводит к необходимости более детального определения параметров подводной части плавающего объекта, так как плоскость ватерлинии уже не проходит через точку пересечения оси Z и плоскости ватерлинии при отсутствии крена.

Как уже было указано, для больших кренов необходимо уточнять положение плоскости ватерлинии в соответствии с обеспечением площади подводной части судна, соответствующей его водоизмещению 1533,69 т, т.е. упомянутая площадь в рассматриваемом примере должна быть равной 1533,69 .

Поэтому для последующих расчетов необходимо:

- при каждом расчетном крене находить положение ватерлинии, отсекающее необходимую площадь, соответствующую водоизмещению судна;

- определять координаты центра тяжести (центра величины) и этой фигуры (в соответствии с общепринятыми способами определения координат центра тяжести);

- от полученного центра величины проводить линию, перпендикулярную плоскости ватерлинии рассчитываемого крена;

- определять расстояние между центром тяжести плавающего объекта и линией, перпендикулярной крену.

Это расстояние и будет искомым плечом пары сил , определяющей восстанавливающий момент.

Шаг изменения кренов можно существенно увеличить.

Результаты расчетов сведены в таблицу К.4.

Таблица К.4 - Расчет координат центра величины при больших углах крена

Номера точек определения координат центра величины	Угол крена , град,	Координаты центра величины, м		Плечо пары сил , м
		y	z
1	0,00	0	12,8742787	0
13	6,00	0,688828	12,910478	0,466
25	12,00	1,393045	13,022329	0,949
26	15,00	1,756075	13,1095479	1,204
27	20,00	2,385373	13,3083807	1,66
28	25,00	3,056068	13,586812	2,168
29	30,00	3,783814	13,9665707	2,755
31	35,00	4,51682	14,4328516	3,369
32	40,00	5,146676	14,9156444	3,882
33	50,00	6,216883	15,9858515	4,744
34	60,00	7,014873	17,1141973	5,33
35	70,00	7,451625	18,0421506	5,395
36	80,00	7,672074	18,8581788	5,122
37	90,00	7,739693	19,625	4,615
38	100,00	7,672076	20,3918093	3,968
39	110,00	7,451629	21,2078363	3,276
40	120,00	7,014882	22,1357873	2,664

Графические построения приведены на рисунках К.8 - К.11.

"Рисунок К.8 - Положения ватерлиний и соответствующих им перпендикуляров при изменении углов крена от 0° до 90°"

"Рисунок К.9 - Измеренные плечи пар сил при кренах от 0° до 90°"

"Рисунок К.10 - Положения ватерлиний и соответствующих им перпендикуляров при изменении углов крена от 0° до 160°"

На основании выполненных расчетов и иллюстраций к ним построена диаграмма статической остойчивости, которая приведена на рисунке К.12.

Точка заката не показана на диаграмме статической остойчивости.

Как видно из диаграммы статической остойчивости, определение метацентрической высоты выполнено верно.

Диаграмма динамической остойчивости в настоящем примере не приводится, но она может быть разработана на основании выполненных расчетов.

В соответствии с проведенными расчетами справедливы следующие выводы по рассмотренному объекту:

- начальная поперечная метацентрическая высота = 4,42 м0,3 м;

- максимальное плечо диаграммы статической остойчивости = 5,40 м (должно быть не менее 0,3 м);

- угол максимума диаграммы статической остойчивости равен 70° (не должен быть менее 30°);

- угол заката диаграммы статической остойчивости более 120° (не должен быть менее 60°).

На изложенных расчетах и выполненном построении диаграммы статической остойчивости проиллюстрировано применение методики к возводимым наплавным способом гидротехническим сооружениям (отдельным наплавным блокам) в период их нахождения на плаву. Полученные результаты являются основанием для последующих расчетов других мореходных качеств плавающего объекта согласно требованиям [1].

"Рисунок К.11 - Измеренные плечи пар сил при кренах от 0° до 140°"

"Рисунок К.12 - Диаграмма статической остойчивости"

_____________________________

* Пример построения диаграммы статической остойчивости плавающего объекта приведен в справочных целях для учета и обеспечения инженерами-гидротехниками, проектирующими возводимые наплавным способом ГТС, основных мореходных качеств названных сооружений в период их нахождения на плаву (плавучесть, остойчивость, непотопляемость, качка).

** Далее по тексту настоящего приложения под плавающим объектом понимаются любые возводимые наплавным способом ГТС и их отдельные блоки в период их нахождения на плаву (см. 3.32 и 8.1).