Приложение С (справочное). Точность аппроксимации

Приложение С
(справочное)

Точность аппроксимации

В данном приложении минимальные обнаруживаемые значения отклика, вычисленные с использованием аппроксимации распределения Пуассона нормальным распределением, сопоставлены с минимальными обнаруживаемыми значениями, полученными на основе распределения Пуассона. Это позволяет определить зависимость точности аппроксимации от количества данных.

Минимальное обнаруживаемое значение отклика для распределения Пуассона вычисляют в соответствии со следующей процедурой.

Сумма случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона, также подчиняется распределению Пуассона. Однако это несправедливо для разности случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона. Если эта разность четко описана, используется следующая функция вероятности. Отклик в базовом состоянии соответствует фоновому шуму при измерениях и переменная отклика в реальном состоянии отражает каждую из двух выборок в условиях нулевой гипотезы.

Это означает, что распределение можно описать формулой (С.1), где у = .

.

(С.1)

() - модифицированная функция Бесселя первого вида.

Распределение можно описать формулой (С.2) в условиях альтернативной гипотезы.

.

(C.2)

Минимальный обнаруживаемый отклик в фактическом состоянии может быть получен из этих двух уравнений. Альтернативно минимальный обнаруживаемый отклик при использовании аппроксимации может быть получен с помощью формул (7) и (11), если количество повторных измерений N заменить на бесконечность.

В таблице С.1 приведено минимальное обнаруживаемое значение, когда параметр соответствует значению в базовом состоянии от 1 до 200, а также разности значений , вычисленных с помощью точного и приближенного метода [11].

Вычисления для распределения Пуассона и при использовании нормальной аппроксимации дают довольно близкие результаты по всему диапазону (см. рисунок С.1).

Если минимальное обнаруживаемое значение отклика должно быть определено с погрешностью не более 5%, условия измерений должны быть отрегулированы так, чтобы значение составляло не менее 18.

Таблица С.1 - Сопоставление распределения Пуассона и нормальной аппроксимации

Значение отклика в базовом состоянии	Распределение Пуассона	Нормальное приближение	Разность	Значение отклика в базовом состоянии	Распределение Пуассона	Нормальное приближение	Разность
1	8,2	8,4	-0,1	8	24,7	23,9	0,9
2	11,3	11,3	0,0	9	26,1	25,7	0,4
3	14,1	13,8	0,3	10	27,4	27,4	0,0
4	17,1	16,0	1,0	11	29,9	29,1	0,7
5	18,9	18,1	0,8	12	31,2	30,8	0,3
6	20,8	20,1	0,7	13	32,5	32,5	0,0
7	22,2	22,0	0,2	14	34,9	34,1	0,7
15	36,1	35,7	0,4	50	85,6	85,6	0,0
16	37,4	37,3	0,1	51	87,8	86,9	0,9
17	39,8	38,9	0,9	52	88,9	88,3	0,7
18	41,0	40,4	0,6	53	90,1	89,6	0,5
19	42,3	42,0	0,3	54	91,2	90,9	0,3
20	43,5	43,5	0,0	55	92,4	92,2	0,2
21	45,8	45,0	0,8	56	93,5	93,5	0,0
22	47,1	46,5	0,5	57	95,7	94,8	0,9
23	48,3	48,0	0,3	58	96,9	96,1	0,8
24	49,5	49,5	0,0	59	98,0	97,4	0,6
25	51,8	51,0	0,8	60	99,2	98,7	0,4
26	53,0	52,4	0,6	61	100,3	100,0	0,3
27	54,2	53,9	0,3	62	101,5	101,3	0,1
28	55,4	55,3	0,1	63	102,6	102,6	0,0
29	57,7	56,8	1,0	64	104,8	103,9	0,9
30	58,9	58,2	0,7	65	105,9	105,2	0,7
31	60,1	59,6	0,5	66	107,1	106,5	0,6
32	61,3	61,0	0,3	67	108,2	107,8	0,4
33	62,5	62,4	0,0	68	109,3	109,1	0,3
34	64,7	63,8	0,9	69	110,5	110,4	0,1
35	65,9	65,2	0,7	70	111,6	111,6	0,0
36	67,1	66,6	0,5	71	113,8	112,9	0,9
37	68,3	68,0	0,3	72	114,9	114,2	0,7
38	69,5	69,4	0,1	73	116,0	115,5	0,6
39	71,7	70,8	1,0	74	117,2	116,7	0,4
40	72,9	72,1	0,8	75	118,3	118,0	0,3
41	74,1	73,5	0,6	76	119,4	119,3	0,2
42	75,2	74,9	0,4	77	120,5	120,5	0,0
43	76,4	76,2	0,2	78	122,7	121,8	0,9
44	77,5	77,6	0,0	79	123,9	123,1	0,8
45	79,8	78,9	0,9	80	125,0	124,3	0,7
46	80,9	80,3	0,7	81	126,1	125,6	0,5
47	82,1	81,6	0,5	82	127,2	126,8	0,4
48	83,3	82,9	0,3	83	128,3	128,1	0,2
49	84,4	84,3	0,1	84	129,5	129,3	0,1
85	130,6	130,6	0,0	120	173,6	173,7	0,0
86	132,8	131,9	0,9	121	175,8	174,9	0,9
87	133,9	133,1	0,8	122	176,9	176,1	0,8
88	135,0	134,3	0,6	123	178,0	177,3	0,7
89	136,1	135,6	0,5	124	179,1	178,5	0,6
90	137,2	136,8	0,4	125	180,2	179,7	0,4
91	138,3	138,1	0,3	126	181,3	180,9	0,3
92	139,5	139,3	0,1	127	182,4	182,1	0,2
93	140,6	140,6	0,0	128	183,5	183,3	0,1
94	142,7	141,8	0,9	129	184,6	184,5	0,0
95	143,9	143,1	0,8	130	186,7	185,8	1,0
96	145,0	144,3	0,7	131	187,8	187,0	0,9
97	146,1	145,5	0,6	132	188,9	188,2	0,8
98	147,2	146,8	0,4	133	190,0	189,4	0,6
99	148,3	148,0	0,3	134	191,1	190,6	0,5
100	149,4	149,2	0,2	135	192,2	191,8	0,4
101	150,5	150,5	0,1	136	193,3	193,0	0,3
102	151,6	151,7	-0,1	137	194,4	194,2	0,2
103	153,8	152,9	0,9	138	195,5	195,4	0,1
104	154,9	154,2	0,7	139	196,6	196,6	0,0
105	156,0	155,4	0,6	140	198,7	197,8	1,0
106	157,1	156,6	0,5	141	199,8	198,9	0,9
107	158,2	157,8	0,4	142	200,9	200,1	0,8
108	159,3	159,1	0,3	143	202,0	201,3	0,6
109	160,4	160,3	0,2	144	203,1	202,5	0,6
110	161,5	161,5	0,0	145	204,2	203,7	0,5
111	163,7	162,7	1,0	146	205,3	204,9	0,3
112	164,8	163,9	0,9	147	206,4	206,1	0,2
113	165,9	165,2	0,7	148	207,5	207,3	0,1
114	167,0	166,4	0,6	149	208,6	208,5	0,1
115	168,1	167,6	0,5	150	209,6	209,7	0,0
116	169,2	168,8	0,4	151	211,8	210,9	0,9
117	170,3	170,0	0,3	152	212,9	212,1	0,8
118	171,4	171,2	0,2	153	214,0	213,3	0,7
119	172,5	172,5	0,1	154	215,0	214,4	0,6
155	216,1	215,6	0,5	178	243,2	242,8	0,4
156	217,2	216,8	0,4	179	244,3	244,0	0,3
157	218,3	218,0	0,3	180	245,4	245,1	0,2
158	219,4	219,2	0,2	181	246,5	246,3	0,2
159	220,5	220,4	0,1	182	247,5	247,5	0,1
160	221,6	221,6	0,0	183	248,6	248,6	0,0
161	223,7	222,7	1,0	184	250,7	249,8	0,9
162	224,8	223,9	0,9	185	251,8	251,0	0,8
163	225,9	225,1	0,8	186	252,9	252,2	0,8
164	227,0	226,3	0,7	187	254,0	253,3	0,7
165	228,1	227,5	0,6	188	255,1	254,5	0,6
166	229,1	228,6	0,5	189	256,2	255,7	0,5
167	230,2	229,8	0,4	190	257,2	256,8	0,4
168	231,3	231,0	0,3	191	258,3	258,0	0,3
169	232,4	232,2	0,2	192	259,4	259,2	0,2
170	233,5	233,4	0,1	193	260,5	260,3	0,1
171	234,6	234,5	0,0	194	261,6	261,5	0,1
172	236,7	235,7	1,0	195	262,6	262,7	0,0
173	237,8	236,9	0,9	196	264,8	263,8	0,9
174	238,9	238,1	0,8	197	265,8	265,0	0,8
175	240,0	239,3	0,7	198	266,9	266,2	0,7
176	241,0	240,4	0,6	199	268,0	267,3	0,7
177	242,1	241,6	0,5	200	269,1	268,5	0,5

Рисунок С.1 - Разность значений , полученных для распределения Пуассона и с использованием его аппроксимации нормальным распределением в процентах