Приложение Р (справочное). Изменчивость результатов измерений

Приложение Р
(справочное)

Изменчивость результатов измерений

Р.1 Общие положения

Основные таблицы настоящего стандарта основаны на предположении, что характеристики качества X подчиняются нормальному распределению с неизвестным средним процесса и известным или неизвестным стандартным отклонением процесса . Кроме того, сделано предположение о том, что значение Х может быть измерено без погрешности измерений, т.е. результатом измерения характеристики качества единицы продукции с истинным значением является значение . В данном приложении показано, как могут быть использованы таблицы при наличии погрешности измерений.

При наличии погрешности измеренные значения с истинным значением отличаются от . Приняты предположения:

- метод измерений является несмещенным, т.е. математическое ожидание погрешности измерений равно нулю;

- погрешность измерений, создающая наблюдаемую вариацию процесса, не зависит от фактического стандартного отклонения процесса;

- погрешность измерений подчиняется нормальному распределению с известным или неизвестным стандартным отклонением .

Из этого следует, что распределение результатов измерений является нормальным со средним и стандартным отклонением:

.

(P.1)

Очевидно, что при наличии погрешности измерений всегда больше .

Если известно, что , т.е. отношение стандартного отклонения погрешности измерений к стандартному отклонению процесса меньше 10%, полное стандартное отклонение имеет вид:

.

(P.2)

Стандартное отклонение увеличилось менее чем на 0,5%, т.е. незначительно, и, следовательно, планы выборочного контроля можно не адаптировать для учета погрешности измерений.

В тех случаях, когда , планы выборочного контроля, приведенные в настоящем стандарте, необходимо использовать со следующими изменениями:

1 Необходимо увеличить объем выборки n, чтобы без изменения k или р* компенсировать увеличенную изменчивость.

2 Если стандартное отклонение процесса известно, необходимо использовать значение в вычислении статистики величины или , в противном случае следует использовать оценку при вычислении статистики или .

Более подробная информация приведена ниже.

Р.2 Стандартное отклонение процесса и стандартное отклонение погрешности измерений известны

1 Объем выборки n плана выборочного контроля следует увеличить до величины:

.

(Р.3)

2 Необходимо использовать стандартное отклонение процесса при вычислении статистики или .

Р.3 Стандартное отклонение процесса неизвестно, а стандартное отклонение ошибки измерений известно

1 Необходимо увеличить объем выборки n плана выборочного контроля до величины:

.

(Р.4)

где - оценка верхней границы .

Примечание - Если является завышенной оценкой ( больше ), план выборочного контроля лучше, чем необходимый, т.е. соответствующая ему вероятность приемки больше необходимой для р < и меньше необходимой для р > . Следовательно, завышенная оценка гарантирует план выборочного контроля лучше необходимого.

2 Следует использовать оценку стандартного отклонения процесса:

(Р.5)

вместо s при вычислении статистики или .

Если , следует использовать s* = 0.

Р.4 Стандартное отклонение процесса и стандартное отклонение погрешности измерений неизвестны

Увеличив объем выборки n в соответствии с формулой (Р.4), выполняют повторные (или многократные) измерения на каждой единице продукции выборки и используют результаты измерений для определения оценки стандартного отклонения процесса отдельно от стандартного отклонения погрешности измерений, как показано ниже. Используют эту оценку вместо s при вычислении статистики или .

Оценка стандартных отклонений процесса и погрешности измерений.

Пусть - j измерение i единицы продукции, - среднее для i единицы продукции; - общее среднее; - количество измерений i единицы продукции. Общая сумма квадратов отклонений результатов измерений от их общего среднего может быть разделена на следующие составляющие:

=

==

==

==

==

= W + B,

(P.6)

где W - сумма квадратов отклонений результатов измерений i единицы продукции;

В - сумма квадратов отклонений между элементами выборки.

Математическое ожидание этих сумм квадратов имеет вид:

,

(P.7)

где - общее количество наблюдений.

.

(Р.8)

Следовательно, оценка имеет вид:

,

(Р.9)

а оценка имеет вид:

.

(Р.10)

Пример - Верхняя граница поля допуска детали при ее производстве равна 13,05 см. Стандартное отклонение процесса и стандартное отклонение погрешности измерений неизвестны. Из предыдущего опыта известно, что отношение больше 0,20, но меньше 0,25. Необходимо провести контроль партии деталей объема 1000. Должен быть установлен нормальный контроль c AQL = 0,15%.

В соответствии с таблицей А.1 код объема выборки J. Поскольку для контроля задана одна граница поля допуска, может быть использована форма k. В соответствии с таблицей В.1 при отсутствии погрешностей измерений план выборочного контроля n = 23, k = 2,425.

Так как превышает 0,1, необходимо подобрать объем выборки для учета изменчивости измерений.

При наличии погрешности измерений соответствующий объем выборки (формула Р.3) имеет вид:

.

Объем выборки должен быть целым числом и обеспечивать необходимую защиту AQL. Поэтому n* округлен до n* = 25. Случайная выборка объема 25 отобрана из следующей партии, и для оценки изменчивости измерений каждая деталь измерена дважды. Результаты для выборки из первой партии следующие:

Номер элемента i			Номер элемента i			Номер элемента i			Номер элемента i			Номер элемента i
1	13,0005	12,9888	6	13,0287	13,0294	11	12,9646	12,9627	16	12,9572	12,9481	21	13,0079	12,9991
2	12,9853	12,9838	7	12,9928	12,9778	12	12,9811	12,9823	17	12,9724	12,9743	22	12,9930	12,9904
3	12,9627	12,9623	8	12,9585	12,9520	13	13,0094	0,1044	18	12,9978	12,9941	23	12,9680	12,9666
4	12,9562	12,9601	9	12,9550	12,9564	14	12,9805	0,0808	19	12,9993	13,0067	24	12,9910	12,9955
5	12,9728	12,9717	10	13,0117	13,0177	15	12,9317	0,0267	20	12,9740	12,9724	25	12,9698	12,9674

Точность последующих вычислений может быть улучшена вычитанием произвольной постоянной. Это позволяет сократить количество значащих цифр. Обозначим константу с и установим с = 12,9. Полученные значения = - 12,9 приведены ниже.

Номер элемента i			Номер элемента i			Номер элемента i			Номер элемента i			Номер элемента i
1	0,1005	0,0888	6	0,1287	0,1294	11	0,0646	0,0627	16	0,0572	0,0481	21	0,1079	0,0991
2	0,0853	0,0838	7	0,0928	0,0778	12	0,0811	0,0823	17	0,0724	0,0743	22	0,0930	0,0904
3	0,0627	0,0623	8	0,0585	0,0520	13	0,1094	0,1044	18	0,0978	0,0941	23	0,0680	0,0666
4	0,0562	0,0601	9	0,0550	0,0564	14	0,0805	0,0808	19	0,0993	0,1067	24	0,0910	0,0955
5	0,0728	0,0717	10	0,1117	0,1177	15	0,0317	0,0267	20	0,0740	0,0724	25	0,0698	0,0674

Сумма . .

Выборочное среднее = 3,9934/50 = 0,079868.

Следовательно, выборочное среднее х равно = c + = = с + = 12,9 + 0,079868 = 12,979868.

Общая сумма квадратов у имеет вид = 0,34388292.

Общая сумма квадратов Т отклонений от общего выборочного среднего имеет вид:

.

(Р.11)

Сумма квадратов W в пределах элементов выборки имеет вид:

.

(Р.12)

= 0,34388292 - 0,34348984 = 0,00039308.

Вычитая W из общей суммы квадратов получаем:

B = T - W = 0,02493805 - 0,00039308 = 0,02454497.

(Р.13)

Оценка дисперсии погрешности измерений имеет вид:

= W/(N - n) = 0,000 393 08/(50 - 25) = 0,000 015 723 2.

Оценка дисперсии процесса имеет вид:

= = [B - (n - 1) ]/(N - n) =

= [0,024 544 097 - 24 х 0,000 015 723 2]/(50 - 25) = 0,024 167 62/25 = 0,000 966 70.

Таким образом

s = = = 0,031 092.

U - 2,425s = 13,05 - 2,4250,031 092 = 12,975.

Так как = 12,990 > 12,975, партию отклоняют.

Рисунок Р.1 - График А. Код объема выборки стандартных одноступенчатых планов контроля по указанию уровня несоответствий с вероятностями приемки 95 и 10%

Код объема выборки показан на графике жирным шрифтом.