Приложение С (справочное). Идентификация распределения

Приложение С
(справочное)

Идентификация распределения

С.1 Основные положения

Иногда вид распределения известен или может быть обоснованно выбран и проверен с помощью критериев согласия. В этом случае на основе выбранного распределения определяют оценки его параметров и используют их для определения квантилей, на основе которых оценивают воспроизводимость процесса. Доли единиц, соответствующих и несоответствующих требованиям, могут быть оценены непосредственно.

Метод иллюстрирован на основе некоторых часто применяемых распределений.

С.2 Нормальное распределение

Если , ..., - выборка из нормального распределения со средним и дисперсией , оценки и получают по формулам:

,

,

Оценки индексов воспроизводимости процесса определяют по следующим формулам настоящего стандарта:

,

,

,

Таким образом,

.

Оценки доли единиц, значения контролируемой характеристики которых менее L и более U, определяют по формулам:

,

,

где - функция распределения нормированного нормального распределения.

Фактические вычисления и могут быть выполнены в соответствии с 5.8.

С.3 Логарифмически нормальное распределение

С.3.1 Основные положения

Логарифмически нормальное распределение с параметрами и имеет функцию плотности вероятностей

,

где Х>0 и In - знак натурального логарифма, т.е. логарифма по основанию е. Если X имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами и , то InX подчиняется нормальному распределению со средним и дисперсией .

Если , ..., - выборка из логнормального распределения, то данные могут быть преобразованы к нормальному распределению, т.е. к выборке , ..., , которая подчиняется нормальному распределению. Тогда могут быть использованы методы в соответствии с С.2. Альтернативно вычисления могут быть сделаны непосредственно на исходных величинах. Эти два метода приведены в С.3.2 и С.3.3. В обоих случаях оценки параметров являются функциями логарифма исходных данных и имеют вид

,

,

C.3.2 Логнормальное распределение. Преобразование к нормальному распределению

Верхнюю и нижнюю границы поля допуска преобразуют в InU и InL. Применяя формулы в соответствии с С.2, оценки , и принимают вид

,

,

,

Для получения оценок доли единиц, не соответствующих требованиям, необходимо оценки и подставить в соответствующие формулы раздела С.2.

С.3.3 Логнормальное распределение. Исходный масштаб

Квантили логнормального распределения имеют вид

,

где - функция, обратная к функции распределения нормированного нормального распределения.

В частности

,

,

,

,

,

,

Полученные данным методом оценки индексов будут отличаться от оценок, полученных методом преобразования (см. С.3.2). Владелец процесса, характеристика единиц которого подчиняется логнормальному распределению, обычно хорошо ориентируется в полученных оценках индексов, но при их интерпретации не следует использовать границы, полученные для данных, подчиняющихся нормальному распределению.

Оценки доли единиц продукции, не соответствующей требованиям, вычисляют, используя границы поля допуска и функцию логнормального распределения. Таким образом,

,

,

Эти оценки точно совпадают с оценками, полученными в соответствии с С.3.2.

С.4 Распределение Рэлея

Это распределение используют обычно для описания положения, эксцентриситета и других параметров в двумерных задачах. В этих ситуациях обычно имеется единственная граница поля допуска U. Функция распределения Рэлея имеет вид

,

где Х > 0 и - положительный параметр. Если , ..., - выборка из распределения Рэлея, оценка параметра имеет вид

.

Оценку доли единиц, не соответствующих требованиям, определяют по формуле

.

С.5 Распределение Вейбулла

Это универсальное распределение. Его часто используют при анализе данных о надежности, когда исследуемые образцы являются неоднородными, а измерения не описываются нормальным распределением. Распределение Вейбулла имеет три параметра:

1) - параметр масштаба;

2) - параметр формы;

3) - параметр положения, который часто равен нулю.

В некоторых случаях при исследовании воспроизводимости процесса, когда данные не подчиняются нормальному распределению, для описания данных и вычисления воспроизводимости или пригодности процесса может быть использовано распределение Вейбулла.

Функция распределения Вейбулла

.

Таким образом, квантили распределения Вейбулла

.

В частности могут быть вычислены процентили , и , а затем индексы воспроизводимости процесса. Доли единиц, не удовлетворяющих требованиям

,

,

Для получения оценок и в эти выражения подставляют оценки параметров распределения.

С.6 Половинное нормальное распределение

Половинное нормальное распределение часто используют для описания характеристики, на которую установлены геометрические допуски. Эта ситуация дает односторонние требования. Их обычно применяют, когда установлены геометрические характеристики, форма и координаты.

Функция плотности вероятности половинного нормального распределения с параметрами и имеет вид

,

где .

Половинное нормальное распределение пропорционально нормальному распределению. Оценки долей распределения могут быть найдены с помощью стандартных таблиц нормального распределения с умножением соответствующего табличного значения на 2.

С.7 Другие распределения

Выше были приведены наиболее применяемые распределения. Однако существует много других распределений, которые описаны в справочной литературе по статистике.