Приложение А (справочное). Расчет трехмерной текучести тела трубы

Приложение А
(справочное)

Расчет
трехмерной текучести тела трубы

А.1 Трехмерная текучесть тела трубы

А.1.1 Общие положения

При анализе трехмерной текучести тела трубы используют критерий фон Мизеса. Упругое состояние, ведущее к возникновению текучести, возникает при наложении следующих факторов:

a) радиальных и тангенциальных напряжений, определяемых по формулам Ламе для толстостенного цилиндра;

b) равномерного осевого напряжения любого происхождения, кроме напряжения изгиба;

c) осевого напряжения изгиба для бруса Тимошенко;

d) напряжения сдвига от кручения с моментом, направленным по оси трубы.

А.1.2 Формулы упругого напряжения

А.1.2.1 Общие положения

В формулах упругого напряжения, возникающего в трубе, предел упругости, предел пропорциональности и предел текучести материала совпадают. Под текучестью металла в данном случае понимают границу между упругим и неупругим состояниями. Эта граница не имеет отношения к стандартному определению понятия минимального предела текучести. Стандартное определение, приведенное в ГОСТ Р 53366, применяют для расчетных формул.

Предельные значения возникновения текучести тела трубы - это значения, при которых начинается текучесть. Материал тела трубы в целом еще упругий, но в одной или в нескольких областях достигает предела текучести. Поэтому напряжения, определяющие предельные значения возникновения текучести материала тела трубы, могут быть найдены при помощи формул, основанных на линейном упругом поведении материала.

А.1.2.2 Формулы Ламе

Когда труба находится под действием внутреннего и наружного давлений, радиальное напряжение , МПа, и тангенциальное напряжение , МПа, возникающие в теле трубы, вычисляют по следующим формулам:

;

(А.1)

,

(А.2)

где - внутреннее давление, МПа;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

- наружное давление, МПа;

r - радиальная координата, d/2 r D/2.

Упругие радиальные и тангенциальные напряжения не зависят от осевой нагрузки.

А.1.2.3 Равномерное осевое напряжение

Сила тяжести вместе с другими внешними нагрузками (изменения температуры и давления, способ спуска в скважину и др.) создает осевое усилие , вызывающее напряжение , МПа (составляющая осевого напряжения, не вызваемая изгибом), равномерно распределенное по поперечному сечению и вычисляемое по следующей формуле

,

(А.3)

где - осевое усилие, Н;

- площадь поперечного сечения трубы, равная , ;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t:), мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм.

В случаях когда известно осевое усилие, вызванное им напряжение определяют по формуле (А.3). В других случаях когда известно осевое напряжение, по нему находят усилие . Так, если труба зацементирована в скважине, то ее растяжение и сжатие в осевом направлении невозможны. Осевое напряжение, а значит и осевое усилие являются тогда функцией изменения температуры и давления. Таким образом, осевое напряжение и осевое усилие являются вторичными, а не первичными переменными. В этих случаях применяют формулу (А.3).

А.1.2.4 Напряжение изгиба

Составляющую осевого напряжения , вызванную изгибом, МПа, вычисляют по следующей формуле

,

(А.4)

где - изгибающий момент, Н м;

I - момент инерции поперечного сечения трубы, равный , ;

E - модуль Юнга, равный 206,9 ГПа;

с - изгиб трубы - обратная величина радиуса изгиба оси трубы, рад/м;

r - радиальная координата d/2 r D/2;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм.

Знак указывает на то, что составляющая осевого напряжения, вызванная изгибом, может быть положительной (при растяжении) или отрицательной (при сжатии) в зависимости от положения рассматриваемой точки поперечного сечения. От изгиба в точках поперечного сечения, расположенных ближе к центру радиуса кривизны, чем продольная ось трубы, возникают сжимающие напряжения, а в точках поперечного сечения, расположенных дальше от центра радиуса кривизны, чем продольная ось трубы, возникают растягивающие напряжения.

Единицей измерения переменной с является радиан на метр, что не характерно для нефтяной и газовой промышленности. Чаще применяемой единицей измерения переменной с является градус на 30 м. Для перевода единицы измерения градус на 30 м в радиан на метр правую часть формулы (6) настоящего стандарта необходимо умножить на постоянную /() или .

А.1.2.5 Напряжения кручения

Касательное напряжение при кручении , МПа, действующее по окружности поперечного сечения трубы, составляет

,

(А.5)

где - крутящий момент, ;

r - радиальная координата d/2 г D/2;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

- полярный момент инерции поперечного сечения трубы, равный , .

А.1.3 Формула предельных значений трехмерной текучести

А.1.3.1 Общие положения

При известных значениях внутреннего и наружного давлений, осевого усилия, изгибающего и крутящего моментов, эквивалентное напряжение , МПа, вычисляют по следующей формуле

,

(А.6)

где - радиальное напряжение по формуле (А.1), МПа;

- тангенциальное напряжение по формуле (А.2), МПа;

- составляющая осевого напряжения, не вызванная изгибом, по формуле (А.3), МПа;

- составляющая осевого напряжения, вызванная изгибом, по формуле (А.4), МПа;

- касательное напряжение при кручении по формуле (А.5), МПа.

Условие возникновения текучести:

,

(А.7)

при этом < соответствует упругому состоянию;

- эквивалентное напряжение, МПа;

- предел текучести представительного образца при растяжении, МПа.

При отсутствии изгиба и кручения наибольшее значение эквивалентного напряжения всегда будет наблюдаться на внутренней поверхности тела трубы. При наличии изгиба необходимо четыре раза провести расчет по формуле (А.7): по одному расчету для наружной и внутренней поверхностей для каждого из возможных положительного и отрицательного значений .

А.1.3.2 Специальные случаи критерия текучести

А.1.3.2.1 Действие только осевого напряжения

При отсутствии внутреннего и наружного давлений, изгиба и кручения формула (А.6) упрощается до следующего выражения

,

(А.8)

где - эквивалентное напряжение, МПа;

- составляющая осевого напряжения, не вызванная изгибом, МПа.

Текучесть возникает тогда, когда осевое напряжение становится равным - пределу текучести представительного образца при растяжении.

А.1.3.2.2 Действие внутреннего и наружного давлений и осевого напряжения

При отсутствии изгиба и кручения формула (А.6) упрощается до следующего выражения

,

(A.9)

где - эквивалентное напряжение, МПа;

- радиальное напряжение, МПа;

- тангенциальное напряжение, МПа;

- составляющая осевого напряжения, не вызванная изгибом, МПа.

Подставляя формулы (А.1) и (А.2) и критерий текучести на внутренней поверхности тела трубы (А.7) в формулу (А.9), получим

(A.10)

или

,

(A.11)

где - предел текучести представительного образца при растяжении, МПа;

- составляющая осевого напряжения, не вызванная изгибом, МПа;

- внутреннее давление, МПа;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2f), мм;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

- наружное давление, МПа.

Графическим представлением формулы (А.11) является эллипс с большой и малой осями с центром в точке пересечения осей координат, показанный на рисунке А.1.

Рисунок А.1 - Критерий текучести тела трубы по фон Мизесу при действии внутреннего и наружного давлений и осевого напряжения

А.1.3.2.3 Альтернативное описание области текучести

Представление критерия текучести в зависимости от внутреннего и наружного давлений и осевого напряжения показывает, что давление и осевое напряжение взаимосвязаны. Решение, принятое в стандартах [1] и [2], заключается в том, чтобы разделить выражение для текучести на два отдельных случая при действии только наружного давления или только внутреннего давления в сочетании с осевым напряжением. Кроме того, геометрический фактор, показанный в виде абсциссы на рисунке А.1, представлен на альтернативной поверхности текучести при упрощении абсциссы до (два верхних квадранта) и (два нижних квадранта). Полученное при этом графическое представление формулы текучести (см. рисунок А.2) подобно представленному на рисунке А.1, но при = = 0 кривая критерия текучести не ровная.

Рисунок А.2 - Критерий текучести тела трубы по фон Мизесу при действии внутреннего и наружного давлений и осевого напряжения по стандарту [1]

Формула для двух верхних квадрантов ( = 0) имеет вид

;

(А.12)

;

(А.13)

;

(А.14)

;

(А.15)

.

(А.16)

Формула для двух нижних квадрантов ( = 0) имеет вид

;

(А.17)

где

;

(А.18)

;

(А.19)

;

(А.20)

.

(А.21)

В обоих случаях:

- внутреннее давление, МПа;

, , - промежуточные переменные в формуле критерия текучести фон Мизеса по стандартам [1] и [2];

- геометрический коэффициент верхнего квадранта в формуле критерия текучести фон Мизеса по стандартам [1] и [2];

- составляющая осевого напряжения, не вызванная изгибом, МПа;

- предел текучести представительного образца при растяжении, МПа;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

- геометрический коэффициент нижнего квадранта в формуле критерия текучести фон Мизеса по стандартам [1] и [2];

- наружное давление, МПа.

А.1.3.2.4 Представление области текучести в зависимости от эффективного напряжения

Для упрощения формулу для текучести можно представить в виде зависимости от эффективного напряжения , МПа, определяемого по следующей формуле

,

(А.22)

где - составляющая осевого напряжения, не вызванная изгибом, МПа;

- внутреннее давление, МПа;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

- наружное давление, МПа.

В этом случае эквивалентом формулы (А.11) будет являться формула

,

(А.23)

где - предел текучести представительного образца при растяжении, МПа, для которого графическое представление этой формулы имеет вид окружности (рисунок А.3);

Рисунок А.3 - Критерий текучести по фон Мизесу в зависимости от эффективного напряжения при действии внутреннего и наружного давлений

- эффективное напряжение, МПа;

- внутреннее давление, МПа;

- наружное давление, МПа;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм.

А.1.3.3 Ограничения и допущения

А.1.3.3.1 Общие положения

Формулы (А.6) и (А.7) основаны на приведенных далее допущениях:

a) концентричность и окружность поперечного сечения трубы.

Формулы для радиальных и тангенциальных напряжений, изгиба и кручения предполагают, что сечение трубы состоит из наружной и внутренней окружностей, концентричных и имеющих правильную форму;

b) изотропная текучесть.

Предел текучести металла труб предполагается не зависящим от направления. Предполагается, что свойства продольных и поперечных образцов идентичны, они обладают одинаковыми модулями упругости и пределами текучести при растяжении и сжатии;

c) отсутствие остаточных напряжений.

При определении возникновения текучести предполагается, что остаточными напряжениями от производственного процесса можно пренебречь;

d) неустойчивость поперечного сечения (смятие) и продольная неустойчивость (выгнутость).

При > возможно смятие поперечного сечения из-за потери устойчивости еще до возникновения текучести. Случай смятия, когда наружное давление больше внутреннего, см. в разделе 8. Аналогично при < 0 возможна выгнутость трубы как колонны до возникновения текучести, и изгибающие напряжения от выгнутости необходимо учитывать при проверке на текучесть.

А.1.3.3.2 Удлинение под нагрузкой, при которой определяется предел текучести

Удлинение под нагрузкой, при которой определяют предел текучести по ГОСТ Р 53366, ГОСТ Р 54383, ГОСТ Р ISO 3183, для труб с заданным минимальным пределом текучести 655 МПа и менее, принято равным 0,5%.

Удлинение под нагрузкой, при которой определяется предел текучести по ГОСТ Р 53366, ГОСТ Р 54383, ГОСТ Р ISO 3183, для труб с заданным минимальным пределом текучести более 655 МПа, определяют с помощью следующей формулы

,

(А.24)

где - деформация, соответствующая заданному минимальному пределу текучести;

- заданный минимальный предел текучести при растяжении, МПа;

Е - модуль Юнга, для данного расчета принятый равным 193,0 ГПа.

Расчетное значение округляют до ближайших 0,005.

А.1.4 Формула проектной трехмерной текучести тела трубы

Формулу проектной трехмерной текучести выводят из всех общих и упрощенных форм формулы (А.7) со следующими изменениями:

a) в формулах (А.1) и (А.2) для расчета радиальных и тангенциальных напряжений t заменяют на , что недопустимо для формул (А.3) и (А.5) для расчета осевых напряжений и напряжения кручения;

b) заменяют на .

Назначение формулы проектной трехмерной текучести - определить напряженное состояние, приводящее к текучести металла труб в случае наихудших свойств этого металла, т.е. при минимально допустимых значениях этих свойств. Толщину стенки трубы всегда принимают равной минимально допустимой толщине стенки при эксцентриситете, являющемся естественным фактором процесса производства труб.

А.2 Формулы Ламе возникновения текучести тела трубы в случае, когда наружное давление, изгиб и кручение равны нулю

А.2.1 Общие положения

Формулы Ламе для радиальных и тангенциальных напряжений основаны на формулах трехмерного равновесия поперечного сечения трубы в состоянии линейной упругости. Поскольку это формулы для трехмерного измерения, то они обеспечивают наиболее точный расчет напряжений в трубе. Далее рассмотрены два вида таких формул: для труб с открытыми торцами, с осевыми напряжениями, равными нулю, и для труб с торцевым уплотнением, с осевыми напряжениями от действия внутреннего давления на торцевое уплотнение.

А.2.2 Формула предельных значений текучести для труб с торцевым уплотнением

Возникновение текучести в толстостенных трубах с торцевым уплотнением является особым случаем формул (А.6) и (А.7), когда отсутствуют наружное давление, изгиб и кручение. Осевое напряжение создается только действием внутреннего давления на торцевое уплотнение. В этом случае эффективное напряжение равно нулю [см. формулу (А.22)].

Внутреннее давление возникновения текучести в толстостенной трубе с торцевым уплотнением МПа, вычисляют по следующей формуле

,

(А.25)

где - предел текучести представительного образца при растяжении, МПа;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм.

На формулу (А.25) распространяются те же допущения и ограничения (см. А.1.3.3), которые относятся к более общей формуле, из которой она выведена.

В формуле (А.25) не учтено осевое растяжение, поскольку оно создается внутренним давлением на торцевое уплотнение труб. В более общем случае, когда осевое напряжение создается иными факторами, оно учитывается критерием трехмерной текучести по формулам (А.6) и (А.7).

А.2.3 Формула проектной текучести для труб с торцевым уплотнением

Формулу проектной текучести для труб с торцевым уплотнением с учетом формул Ламе для радиальных и тангенциальных напряжений выводят из формулы (А.9) со следующими изменениями:

a) в формулах (А.1) и (А.2) для расчета радиальных и тангенциальных напряжений t заменяют на , что недопустимо для формулы (А.3) для расчета осевых напряжений;

b) заменяют на .

Окончательная формула для расчета внутреннего давления возникновения текучести металла толстостенных труб с торцевым уплотнением имеет вид

,

(A.26)

где - заданный минимальный предел текучести при растяжении, МПа;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

- внутренний диаметр трубы, рассчитанный с коэффициентом , равный (D - ), мм;

- коэффициент, учитывающий установленное предельное отклонение толщины стенки трубы, равный 0,875 для предельного отклонения минус 12,5%;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм.

Следует обратить внимание на то, что использование разной толщины стенки для расчета с одной стороны радиальных и тангенциальных напряжений, а с другой стороны осевых напряжений исключает вывод этой расчетной формулы непосредственно из формулы (А.25).

А.2.4 Формула предельных значений текучести тела трубы с открытыми торцами при отсутствии наружного давления и осевой нагрузки

Возникновение текучести в толстостенных трубах с открытыми торцами является особым случаем формул (А.6) и (А.7), когда отсутствуют равномерная осевая нагрузка, наружное давление, изгиб и кручение. В этом случае внутреннее давление возникновения текучести в толстостенной трубе с открытыми торцами МПа, вычисляют по следующей формуле

,

(A.27)

где - предел текучести представительного образца при растяжении, МПа;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

d - внутренний диаметр трубы, равный (D - 2t), мм;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм.

На формулу (А.27) распространяются те же допущения и ограничения (см. А.1.3.3), которые относятся к более общей формуле, из которой она выведена.

В более общем случае, когда осевое напряжение не равно нулю, оно учитывается критерием трехмерной текучести по формулам (А.6) и (А.7).

А.2.5 Формула проектной текучести тела трубы с открытыми торцами при отсутствии наружного давления и осевой нагрузки

Формулу проектной текучести тела труб с открытыми торцами с учетом формул Ламе для радиальных и тангенциальных напряжений выводят на основе формулы (А.9) со следующими изменениями:

a) в формулах (А.1) и (А.2) для расчета радиальных и тангенциальных напряжений t: заменяют на t;

b) заменяют на .

Окончательная формула для расчета возникновения текучести в толстостенных трубах с открытыми торцами МПа, имеет вид

,

(А.28)

где - заданный минимальный предел текучести при растяжении, МПа;

D - номинальный наружный диаметр трубы, мм;

- внутренний диаметр, рассчитанный с коэффициентом , равный (D - 2 t), мм;

- коэффициент, учитывающий установленное предельное отклонение толщины стенки трубы, равный 0,875 для предельного отклонения минус 12,5%;

t - номинальная толщина стенки трубы, мм;

Поскольку в формуле (А.28) осевая нагрузка отсутствует, то возможен вывод этой расчетной формулы (А.28) непосредственно из формулы (А.27).