Приложение В (справочное). Статистический метод построения декларируемого графика теплопроводности

Приложение В
(справочное)

Статистический метод построения декларируемого графика теплопроводности

B.1 Общие положения

В настоящем приложении приведен статистический метод построения декларируемого графика теплопроводности и процедуру его подтверждения, а также метод построения прогнозируемого графика и его последующее подтверждение.

Построение декларируемого графика выполняют с доверительным интервалом 90% и 90%-ной вероятностью, что экспериментальные значения будут меньше значений на прогнозируемом графике или равны им.

Применяют два варианта построения декларируемого графика:

- имеется большое число значений теплопроводности (n50), известны среднее значение теплопроводности и стандартное отклонение базового распределения;

- имеется незначительное число значений теплопроводности (n<50), когда для расчета и используются среднее значение теплопроводности и стандартное отклонение выборки s.

B.2 Обозначения и единицы измерения

Обозначения и единицы измерения, применяемые в настоящем стандарте, приведены в таблице В.1.

Таблица В.1 - Обозначения и единицы измерения

Обозначение	Параметр	Единица измерения
	Статистический коэффициент	-
	Число испытаний, проведенных на случайных выборках	-
	Стандартные отклонения для случайных выборок	-
	Стандартное отклонение базового распределения
	Средняя теплопроводность случайной выборки, взятой с учетом базового распределения (для расчета )
	Средняя теплопроводность случайной выборки, используемая при исследовании базового распределения
	Средняя теплопроводность вне базового распределения n
	Статистический коэффициент (по таблице В.2)	-
	Средняя температура	°С

В.3 Определение расчетных значений

В.3.1 Число значений теплопроводности при каждой температуре

Для случая, если известны среднее значение , стандартное отклонение базового распределения и средняя температура :

1-я точка: температура : =+ ;

2-я точка: температура : =+ ;

3-я точка: температура : =+ .

Если подтверждается, что зависимость между теплопроводностью и средней температурой линейная, то стандартное отклонение базового распределения аи коэффициент k базового распределения при одной температуре могут быть приняты для всех температур. Коэффициент k зависит от числа испытаний при разных температурах. Значения приведены в таблице В.2.

В.3.2 Число значений теплопроводности n < 50 при каждой температуре

Средние значения и стандартные отклонения для случайных выборок при средних температурах используют для расчета средних значений ... и стандартных отклонений ... базового распределения при соответствующих средних температурах:

1-я точка: температура : =+ ;

2-я точка: температура : =+ ;

3-я точка: температура : =+ .

... и ... определяют не менее чем по трем результатам испытаний при средних температурах .

Декларируемый график строят по значениям, рассчитанным с помощью соответствующего полинома. Значения приведены в таблице В.2.

В.4 Подтверждение декларируемого графика

Подтверждение декларируемого графика проводят следующим образом:

a) Образец испытывают при температурах, близких к взятым при построении декларируемого графика, разность температур не должна превышать 5 К для температуры испытаний ниже или равной 100 К и 10 К - для более высоких температур.

b) Результаты испытаний преобразуют в значения применительно к температурам, использованным при построении декларируемого графика, применяя угол наклона декларируемого графика.

c) Экспериментальные значения считают удовлетворительными, если преобразованное значение меньше декларируемого или равно ему при той же температуре.

d) Если одно или более экспериментальных значений превышают значения декларируемого графика, то проводят дальнейшие испытания для оценки того, что базовое распределение, используемое для определения значений декларируемого графика, является действующим. Гипотетическое соглашение между новым средним значением для образцов, число которых , и средним значением, используемым при определении декларируемых значений, оценивают при 10%-ном уровне вероятности ошибки.

e) Рассчитывают новое среднее значение и стандартное отклонение .

f) Рассчитывают соответствующие критерии приемлемости результатов испытаний:

- при наличии большой базы данных:

известны и :

;

(В.1)

- при наличии малой базы данных:

для всех значений температуры применяют уравнение

,

(В.2)

где - число испытаний, проведенных для случайной выборки, взятой при базовом распределении, и использованных при построении или подтверждении декларируемого графика;

- число испытаний, проведенных для случайной выборки и использованных при изучении базового распределения;

- стандартное отклонение случайной выборки, взятой при базовом распределении (для расчета );

- стандартное отклонение случайной выборки, использованное при изучении базового распределения (для расчета ).

Гипотеза о том, что базовое распределение сохраняется и соответствует прогнозируемому графику, опровергается, если или выше, чем соответствующая вероятность, приведенная в таблицах В.3 и В.4. Вероятный уровень ошибки этого решения 10%.

В.5 Примеры

В.5.1 Построение декларируемого графика

В.5.1.1 Базовое распределение при средней температуре известно для большого числа результатов испытаний ().

для всех значений температур :

(0°С) = 0,035 ,

(0°С) = 0,0011 ,

(10°С) = 0,036 ,

(10°С) = 0,0012 ,

(40°С) = 0,0395 ,

(40°С) = 0,0012 ,

Декларируемый график (90/90):

1-я точка: (0°С) = 0,035 + 1,280,0011 = 0,0364 ,

2-я точка: (10°С) = 0,036 + 1,280,0012 = 0,0375 ,

3-я точка: (40°С) = 0,0395 + 1,280,0012 = 0,0410 ,

Примечание - Если известно, что для данного изделия существует линейная зависимость между теплопроводностью и средней температурой, то для всех температур допускается использовать стандартное отклонение, полученное при 40°С.

В.5.1.2 Число результатов испытаний является незначительным при средней температуре (n<50).

Определено, что:

(0°С) = 0,035	s = 0,0010	n = 5;
(10°С) = 0,036	s = 0,0013	n = 5;
(40°С) = 0,040	s = 0,0012	n = 5.

1-я точка: (0°С) = 0,035 + 2,740,0010 = 0,0377 ,

2-я точка: (10°С) = 0,036 + 2,740,0013 = 0,0396 ,

3-я точка: (40°С) = 0,040 + 2,740,0012 = 0,0433 .

"Рисунок В.1 - Графики, построенные по процедурам В.5.1.1 (график 1) и В.5.1.2 (график 2)"

В.5.2 Подтверждение декларируемого графика

В.5.2.1 Декларируемый график, полученный на основе оценки большого числа результатов испытаний

Декларируемый график (90/90):

1-я точка: (0°С) = 0,035 + 1,280,0011 = 0,0364 ;

2-я точка: (10°С) = 0,036 + 1,280,0012 = 0,0375 ;

3-я точка: (40°С) = 0,0395 + 1,280,0012 = 0,0410 .

a) Получено значение = 0,0410 при температуре 40°С (результат удовлетворительный).

b) Получено значение = 0,0420 при температуре 40°С (следует проверить, изменилось ли базовое распределение после испытания пяти образцов).

Определяют теплопроводность пяти образцов при 40°С, отобранных от случайных выборок:

0,0420 ;

0,0400 ;

0,0410 ;

0,0380 ;

0,0370 .

= 0,0396 s = 0,0021 .

Предположение: среднее значение базового распределения случайных выборок с принятым оценочным значением равно среднему значению базового распределения, применяемого при построении/определении декларируемого графика:

- нулевая гипотеза = 0,0395 ,

- вероятностная ошибка = 10% (если гипотеза отвергается, вероятность ошибки 10%)

.

u (z) = 1 - 0,10 = 0,90; по таблице В.2 z = 1,28 (односторонний интервал допуска).

0,19 < 1,28 - гипотеза принимается. Возможна вероятность того, что результаты пяти испытаний попали в базовое распределение, использованное для декларируемого графика.

В.5.2.2 Декларируемый график, полученный на основе оценки незначительного числа результатов испытаний.

Декларируемый график:

1-я точка: (0°С) = 0,035 + 2,740,0010 = 0,0377 ;

2-я точка: (10°С) = 0,036 + 2,740,0013 = 0,0396 ;

3-я точка: (40°С) = 0,040 + 2,740,0012 = 0,0433 .

Получено значение = 0,044 при температуре 40°С.

Для пяти образцов, взятых от случайных выборок, теплопроводность определялась при температуре 40°С:

= 0,0410 s = 0,00184 n = 5.

Предположение: случайный образец 1, находящийся вне базового распределения со средним значением , оценочное значение которого известно, и случайный образец 2, находящийся внутри базового распределения со средним значением , оценочное значение которого известно, являются образцами, находящимися вне того же самого базового распределения со средним значением .

1) ;

2) = 10%.

3) ;

.

4) таблица В.3: f = + - 2 = 8 и 1 - = 0,90 (односторонний интервал допуска): с*= 1,397 (таблица В.4).

5) t = 1,0 < с* = 1,397 - предположение верно: экспериментальные значения находятся внутри базового распределения.

Таблица В.2 - Коэффициенты для одностороннего интервала допусков

Размер выборки n			Размер выборки n
	1 - = 0,90; р = 90%	1 - = 0,90; р = 90%		1 - = 0,90; р = 90%	1 - = 0,90; р = 90%
3	2,02	4,26	15	1,61	1,87
5	1,88	2,74	20	1,57	1,77
7	1,77	2,33	50	1,46	1,56
10	1,69	2,07		1,28	1,28
Примечание - - коэффициент, применяемый в случае, если стандартное отклонение известно; - коэффициент, применяемый в случае, если стандартное отклонение оценивается.

Таблица В.3 - Накопительное распределение Гаусса

z	u (z)	z	u (z)	z	u (z)
0,0	0,5000	1,1	0,8643	2,1	0,9821
0,1	0,5398	1,2	0,8849	2,2	0,9861
0,2	0,5793	1,3	0,9032	2,3	0,9893
0,3	0,6179	1,4	0,9192	2,4	0,9918
0,4	0,6554	1,5	0,9332	2,5	0,9938
0,5	0,6915	1,6	0,9452	2,6	0,9953
0,6	0,7257	1,7	0,9554	2,7	0,9965
0,7	0,7580	1,8	0,9641	2,8	0,9974
0,8	0,7881	1,9	0,9713	2,9	0,9981
0,9	0,8159	2,0	0,9772	3,0	0,9987
1,0	0,8413
Примечание - z - стандартная нормальная переменная ; u (z) - площадь под кривой Гаусса, соответствующая стандартной нормальной переменной z. Демонстрирует вероятность того, что полученное значение меньше z.

Таблица В.4 - t-распределение

р = 0,9		р = 0,9		р = 0,9
t	с*	f	с*	f	c*
1 2 3 4 5	3,078 1,886 1,638 1,533 1,476	6 7 8 9 10	1,440 1,415 1,397 1,383 1,372	20 40 60 120	1,325 1,303 1,296 1,289 1,282
f - степень свободы.

Таблица В.4 демонстрирует вероятность p того, что параметр t меньше табличных значений.