Приложение В (справочное). Ортогональные функции на "нетривиальных поверхностях"

Приложение В
(справочное)

Ортогональные функции на "нетривиальных поверхностях"

B.1 Общие сведения

В данном приложении даны рекомендации по вычислению ортогональных полиномов, описывающих требуемые характеристики поверхностей произвольной формы с учетом необходимой весовой функции. Математически это не новый метод, но ранее он не применялся в оптической практике. В этом приложении используется термин функция, а не полином, поскольку этот метод применим к любым базисным функциям. Например, для точного моделирования дефокусировки можно пользоваться функцией .

Приводятся несколько примеров ортогональных полиномов без деталей вычислений, которые упрощаются с использованием матриц, с помощью выстраиваемых друг за другом полиномов, причем детерминированным путем (без итераций и аппроксимаций).

B.2 Предварительные рассмотрения

Прежде всего нужно решить, будут ли используемы функции/полиномы для сохранения данных или для их анализа (обработки).

a) Сохранение данных

В этом случае важно иметь в виду, чтобы функции были ортогональны или, по крайней мере, принимать во внимание частичную потерю ортогональности, в противном случае реконструкция волнового фронта, хоть и незначительно, но может оказаться ошибочной.

Часто в цифровых интерферометрах приходится иметь дело с дискретными зрачками. В этом случае приходится создавать специальное множество ортогональных функций для каждого типа зрачка.

b) Анализ данных

Потеря ортогональности может оказывать влияние на амплитуду вычисляемых функций.

Если функции "почти" ортогональны (например, функции Цернике на дискретном зрачке), то погрешность будет мала. Для кривизны "Z3", например, погрешность равна ; для более высоких порядков она может быть больше.

B.3 Общий метод и определения

Даже не в системе прямоугольных координат определим х и у как основные координаты.

Сформируем ряды {(x, у), (х, у),..., (х, у)}.

B.3.1 Основная поверхность

"зрачок"

Примечание - Весовая функция (см. В.3.2) может участвовать в этом определении.

B.3.2 Весовая функция

w (х, у).

Амплитуда волнового фронта на поверхности зрачка.

B.3.3 Корреляция двух функций

(х, у), (х, у)

Корреляция: .

Краткая запись: C(1, 2)=C()

B.4 Генерирование функций

B.4.1 Начальные условия

В оптике по очевидным причинам предпочтительно начинать ряды функций с {1, х, у} или даже {1, х, у, }.

Примечание - ИСО 10110-5 и ИСО 10110-14 определяют "центр" зрачка таким образом, что три первых функции всегда ортогональны, {} никогда не может быть ортогональна с {1}, поскольку, как и {1}, эта функция всегда положительна.

B.4.2 Свойства - примеры

B.4.2.1 Пример 1 - Функции (полиномы) Цернике

должен иметь форму {} = {}, где n и p - целые числа. На практике косинусный член подвергается растяжению и записывается в виде {}. Это значительно упрощает вычисление. Полиномы Цернике наиболее просты для генерации.

B.4.2.2 Пример 2 - "Квадратно-радиальные" функции

Рассмотрим пример: Z6 = {}, который также может быть переписан в виде

.

Член 2х введен в это выражение лишь для коррекции усредненного наклона основного члена {} = (степень 3 здесь введена с целью общей нормировки).

На поверхности квадратного зрачка усредненный наклон базового члена вероятно будет другим. "Радиально-квадратные" функции будут идентичны функциям Цернике только в пределах базового члена, но в "корректирующих членах" будут отличаться от них.

"Квадратное" множество функций имеет серьезный недостаток, поскольку 4-симметричный квадратный зрачок будет всегда являться источником корреляции между {} = - 6 + и членом с круговой симметрией. Но зрачковая (т.е. амплитудная) функция играет роль в распространении волнового фронта и его дифракции. Следовательно, некорректно говорить о циркулярно-симметричных функциях на поверхности циркулярно-асимметричного зрачка.

Таким образом, в противоположность круглому зрачку (Цернике) нельзя сначала генерировать циркулярно симметричные функции, а затем добавлять члены cos, cos2 т.д. Следовательно, необходимо генерировать функции другого порядка, например классические функции Цернике.

B.4.2.3 Пример 3 - "Квадратные" функции

Запишем, что основной член будет иметь форму {, } с корректирующими членами той же формы, но с парой индексов, "меньших", чем (р, q), при той же "значимости" (этого свойства вполне достаточно, так как симметричная квадратная поверхность гарантирует, что различные "значимости" будут устраняться при интегрировании по поверхности зрачка).

Основной ряд выглядит следующим образом:

{1, х, у, , ху, , , у, х, , , у и т. д.}.

Каждый порядок (р + q) содержит (р + q+ 1) функций, т.е. также, как и в функциях Цернике (Z8; Z11; Z12; Z16; Z17 и т.д.).

B.4.3 Генерация множества

Для каждого полинома следует отметить, что он не коррелирован с полиномами других генераций. Это обеспечивает возможность определять как главный, так и корректирующий члены. Если базовые члены выбраны правильно (а это значит, что между ними отсутствует взаимная корреляция), то и вся генерация выбрана правильно.

B.5 Дискретные (т.е. "реальные") поверхности

К дискретным поверхностям относится все сказанное ранее.

B.6 Матричное вычисление

Использование матриц облегчает процесс вычисления.