Приложение А (обязательное). Методы сбора и анализа результатов

Приложение А
(обязательное)

Методы сбора и анализа результатов

А.1 Общая модель

Общая модель с четырьмя параметрами, используемая в настоящем стандарте для расчетов, описывается уравнением

,

(А.1)

где t - время до разрушения образца, ч;

Т - температура, для которой рассчитывают предел экстраполяции во времени, К (°С + 273,15);

- кольцевое напряжение в образце трубы, МПа;

, , , - коэффициенты, рассчитываемые по результатам испытаний;

е - ошибка переменной, имеющая распределение Лапласа-Гаусса с нулевым средним значением и постоянной дисперсией (ошибки считаются независимыми).

Модель с четырьмя параметрами должна быть преобразована в модель с тремя параметрами, если уровень вероятности коэффициента превышает 0,05. В этом случае = 0, а уравнение (А.1) принимает вид

.

(А.2)

Модель с двумя параметрами выбирают, если все результаты испытаний получены при одной температуре.

.

(А.3)

Расчеты для модели с четырьмя параметрами приведены ниже. Расчеты для других моделей могут быть получены путем исключения соответствующих величин.

При проведении расчетов матриц все арифметические вычисления должны быть выполнены с двойной точностью (до 14 значащих цифр). Преобразование матриц проводят, применяя классический подход Гаусса-Джордана [1].

Применяют следующие матричные записи:

,

где N - общее число наблюдений.

При , где T является оператором перестановки, модель, описываемая уравнением (А.1), может быть записана в следующем виде:

.

Оценку остаточной дисперсии проводят по формуле

,

(A.4)

где q - число параметров в модели.

Расчет параметра проводят методом наименьших квадратов по формуле

.

(А.5)

Значение прогнозируемого напряжения по отношению к полученному времени до разрушения t и температуре Т определяют по формуле

.

(A.6)

Для расчета нижнего доверительного предела прогнозируемой гидростатической прочности , соответствующего времени до разрушения t и температуре T, проводят преобразование, используя соотношение

,

(A.7)

где - t-значение критерия Стьюдента, соответствующее уровню вероятности 0,975 и числу степеней свободы N - 4;

х - вектор .

Результатом преобразования является уравнение

,

где ;

;

;

- элемент матрицы .

Значение нижнего доверительного предела прогнозируемой гидростатической прочности может быть рассчитано по формуле

.

(A.8)

А.2 Упрощенные модели

В качестве упрощенных моделей могут быть использованы модели с тремя параметрами ( = 0) и двумя параметрами ( = 0, = 0).

Модель с тремя параметрами имеет вид:

с учетом параметров:

;

;

;

соответствует N - 3 степеням свободы.

Модель с двумя параметрами имеет вид:

с учетом параметров:

;

;

;

соответствует N - 2 степеням свободы.

А.3 Расчет и с учетом перегиба

В соответствии с приложением В механизмы двух типов разрушений могут действовать каждый в своем диапазоне температур и времени до разрушения. Два набора результатов испытаний, соответствующих каждому типу разрушения, должны быть представительными независимо от модели. Для проведения расчетов экспериментальные данные делят на две группы, в каждой из которых действующим считают один из типов разрушения.

Значения и в каждой группе могут быть рассчитаны по общей методике, приведенной в настоящем приложении, при условии достаточности приведенных данных и их удовлетворительного распределения в температурном диапазоне (см. 4.2 и 5.1.1).

Для обнаружения перегиба при каждой температуре применяют метод, приведенный в приложении В, в соответствии с которым результаты испытаний разделяют на две группы и оценивают соответствие примененной модели полученным результатам по общей методике, приведенной в настоящем приложении.

А.4 Оценка соответствия

Для оценки соответствия принятой модели экспериментальным данным применяют следующий статистический критерий F:

,

(A.9)

где - сумма квадратов разности между каждым отдельным экспериментальным результатом и их соответствующим средним значением для повторяющихся экспериментальных условий, при которых были получены результаты (метод расчета не зависит от примененной модели);

- сумма квадратов разности между каждым отдельным экспериментальным результатом и значением, прогнозируемым с помощью использованной модели для экспериментальных условий, при которых получены результаты;

- число степеней свободы для (число результатов испытаний минус число различных экспериментальных условий);

- число степеней свободы для (число результатов испытаний минус число параметров в использованной модели).

Если согласно гипотезе использованная модель соответствия является корректной, то статистический критерий F подчиняется F-распределению с степенями свободы для числителя и степенью свободы для знаменателя.

Используя F-распределение, можно определить вероятность того, что значение статистического критерия F будет превышать значение, рассчитанное по формуле (А.9). Данную вероятность сравнивают со значимым пределом 0,05. Если указанный предел превышен, то гипотезу о том, что модель является корректной, принимают. Если предел не превышен, гипотезу отклоняют.

Примечание - Приведенную оценку принятой модели принимают как указание на то, что соответствие модели имеет место.

Приведенный ниже пример расчета критерия соответствия результатов испытаний при температуре 20°С, приведенных в таблице С.1, предполагает использование модели с двумя параметрами:

2 = 2,37778; = 31 -15 = 16.

= 5,98424; = 31 - 2 = 29.

Значение критерия F (13; 16) равно 1,86675.

Вероятность того, что F-распределение с конкретным числом степеней свободы превышает указанное значение, равна:

Pr [F(13; 16) > 1,86675] = 0,1183.

При значимом пределе, установленном на уровне 0,05, модель принимают, так как вероятность превышает установленный уровень.