Приложение В (справочное). Определение сейсмической нагрузки от масс сооружения в случае неравномерного распределения переносных ускорений

Приложение В
(справочное)

Определение сейсмической нагрузки от масс сооружения в случае неравномерного распределения переносных ускорений

Для протяженных мостов переносные ускорения масс сооружения по длине объекта могут быть неодинаковыми. Различие переносных ускорений масс обусловлено неоднородностью пород, слагающих участок строительства, значительной протяженностью сооружения и конечной скоростью распространения сейсмических волн, в результате чего колебания грунта в основаниях соседних опор могут происходить в противоположных фазах или в одной фазе, но с различными амплитудами. В частности, переносные вертикальные ускорения масс балки жесткости висячего моста изменяются по длине пролета, если горизонтальные колебания пилонов происходят в противоположных фазах.

Колебания линейно деформируемой упругой системы, несущей n масс, определяются следующими матрицами:

1) С - квадратная порядка n матрица коэффициентов жесткости;

2) Т - то же, диссипации энергии колебаний;

3) М - диагональная порядка n матрица масс.

Возмущение системы задается вектором смещений масс при переносном движении, т.е. движении системы без учета ее деформаций силами инерции. Перемещения масс при относительном движении, обусловленном деформативностью элементов системы и опорных связей силами инерции, обозначают .

Уравнение колебаний масс выражает условие равновесия системы под действием сил инерции - , внутреннего трения - , упругости - и имеет вид

, (B.1)

где ; (В.2)

. (В.3)

В начальный момент времени перемещения и скорости относительного движения масс равны нулю. Следовательно, искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению (В.1) и начальным условиям

, . (B.4)

Уравнение (В.1) с начальными условиями (В.4) решается методом интегрального преобразования Лапласа. Изображения по Лапласу функций и обозначают соответственно и . Преобразуя оператором Лапласа обе части уравнения (В.1) и учитывая начальные условия (В.4), получают уравнение относительно изображения по Лапласу искомой функции :

(B.5)

После очевидных преобразований уравнение (В.5) записывают в виде

. (B.6)

где R(p) - квадратный трехчлен комплексного переменного р с матричными коэффициентами Е, и (Е - единичная матрица), вычисляемый по формуле

. (В.7)

Решение уравнения (В.6) очевидно

(В.8)

Преобразуя оператором обе части выражения (В.8), получают искомую функцию

. (B.9)

Матрица R(р), выраженная формулой (В.7), может быть представлена в виде произведения трех матриц

. (В.10)

В силу свойств матриц и С их произведение приводится к диагональной форме некоторым неособенным преобразованием, заданным матрицей Р

, (B.11)

где - собственная частота колебаний системы.

То же преобразование приводит к диагональной форме матрицу , т.е.

, (В.12)

где - коэффициент затухания свободных колебаний.

Используя формулы (В.11) и (В.12), получают представление матриц и в виде

, (В.13)

. (В.14)

Подстановка выражений (В.13) и (В.14) в формулу (В.7) доказывает справедливость формулы (В.10). Таким образом, матрица R(р) может быть представлена произведением трех матриц с центральным членом в виде диагональной матрицы. Используя формулу (В.10), определяют

. (В.15)

Из теории матриц известны формулы преобразования произведения трех матриц в сумму, что позволяет в данном случае записать равенство

, (В.16)

где - i-й столбец матрицы Р - собственная форма колебаний системы;

- i-я строка матрицы .

На основании формул (В.8) и (В.16) изображение по Лапласу искомого решения

. (В.17)

Выполнив обратное преобразование Лапласа над обеими частями уравнения (В.17), получают решение уравнения в виде

. (В.18)

Координата вектора определяет упругие колебания системы с одной степенью свободы (например, консоли с массой на конце), вызванные движением основания, заданным соответствующей координатой вектора . Таким образом, задача определения относительного движения масс системы с несколькими степенями свободы сводится к решению задачи о колебаниях системы с одной степенью свободы при различных возмущениях, определению собственных форм колебаний системы и суперпозиции собственных форм согласно формуле (В.18).

Пусть переносные колебания масс отличаются амплитудой, т.е.

, (B.19)

где - функция, задающая движение основания во времени;

- вектор амплитуд переносного движения масс.

Дальнейшие упрощения решения уравнения (В.1) связаны с разложением вектора по системе векторов , определяющих собственные формы колебаний некоторой конструкции. Пусть

. (В.20)

Коэффициент Фурье находим обычным способом, умножая скалярно обе части равенства (В.20) на вектор и используя свойство ортонормированности векторов в М-метрике, т.е. формулу

, (B.21)

где - символ Кронекера.

Получают тождество

# . (В.22)

Таким образом, коэффициент

. (В.23)

Вычислив скалярные произведения в правой части формулы (В.23), находят

(В.24)

и с учетом формул (В.17), (В.19) и (В.20) получают

(В.25)

Так как , - строка и столбец взаимно обратных матриц, то

. (В.26)

Выполняя обратное преобразование Лапласа над обеими частями равенства (В.26), представляют решение уравнения (В.2) в виде

Место для уравнения. (В.27)

Функция определяет упругие колебания системы с одной степенью свободы, вызванные заданным движением основания . В отличие от общего случая, рассмотренного выше, здесь требуется определить колебания системы с одной степенью свободы (при различных и ) только при одном возмущающем движении .

Изображение по Лапласу вектора сейсмических сил находят по формуле

, (В.28)

где - изображение вектора упругой деформации системы.

Используя формулу (В.26), находят

. (В.29)

Представляют С в виде произведения матриц М и и подставляют результат в формулу (В.29):

. (В.30)

Поскольку вектор и число являются собственными значениями матрицы , то

. (В.31)

После подстановки формулы (В.31) в формулу (В.30) получают

(В.32)

Преобразуя оператором обе части формулы (В.32), получают вектор сейсмической нагрузки

. (B.33)

Учитывая, что

, (B.34)

где - абсолютное смещение массы.

Для вектора сейсмической нагрузки получают выражение

. (B.35)

Рассматривая сейсмическую нагрузку, соответствующую одной форме колебаний, и учитывая, что наибольшее ускорение определяется величиной , получают расчетное значение сейсмических сил при колебаниях по i-й собственной форме

, (В.36)

где Q - диагональная матрица сосредоточенных грузов.

Положим

, (В.37)

где А - диагональная матрица коэффициентов амплитуд переносного движения масс.

На основании зависимостей (В.36) и (В.37) выражение для определения сейсмической нагрузки можно представить в виде

. (В.38)

Формула (В.38) дает для компонента вектора нормативные значения сейсмических сил, если переносные ускорения всех масс одинаковы.

Заменив векторные обозначения скалярными, получают в окончательном виде формулу для определения сейсмических нагрузок, соответствующих i-й форме собственных колебаний конструкции. Формула справедлива и в том случае, когда переносные колебания масс происходят с различными амплитудами

, (B.39)

где - сейсмический коэффициент;

- коэффициент динамичности;

- сосредоточенный в точке k груз;

- коэффициент формы;

- коэффициент, учитывающий действительный характер движения груза в переносном движении;

- ордината в точке прикрепления груза .