Приложение Б (справочное). Гашение энергии колебаний мостов

Приложение Б
(справочное)

Гашение энергии колебаний мостов

Б.1 В мостах энергия колебаний поглощается за счет работы по преодолению сил внутреннего трения, а также трения в подвижных соединениях (опорных частях, деформационных швах) и рассеивается при деформациях грунта, окружающего фундаменты опор и обсыпные устои, а также расходуется на преодоление сопротивления воздушной и водной среды. Значительная часть энергии колебаний моста может быть поглощена гидравлическими гасителями колебаний (демпферами), используемыми с этой целью при строительстве мостов в районах с большими сейсмическими и ветровыми воздействиями.

Б.2 Учет демпфирующих свойств конструкций

В формуле, определяющей сейсмическую нагрузку от масс сооружений спектрально-модальным методом, в качестве одного из сомножителей присутствует коэффициент , учитывающий влияние на нагрузку нестандартного поглощения и рассеяния энергии по основной форме колебаний. Значение коэффициента изменяется от 0,7 для гидротехнических сооружений из грунтовых материалов до 1,5 для высоких сооружений с небольшими размерами в плане.

При проектировании мостов в Российской Федерации коэффициент обычно принимают равным 1,0. Для мостов, оборудованных гасителями колебаний, пилонов вантовых мостов, стальных пролетных строений большой длины с уменьшенным декрементом упругих колебаний, допускается определять коэффициент на основании данных специального расчета, принимая его не менее 0,7 и не более 1,5.

При проектировании автодорожных мостов для нахождения коэффициента применяют формулу

, (Б.1)

где h - относительный коэффициент затухания колебаний сооружения.

К сооружениям со стандартным затуханием колебаний относятся объекты, для которых . В этом случае относительный коэффициент затухания h = 0,05 (5%) и логарифмический декремент колебаний . Наибольшие значения h и , соответствующие , равны и . Наименьшие h и , соответствующие , характерны для висячих, вантовых мостов и балочных разрезных пролетных строений из стали ( и ).

Для применения формулы (Б.1) к сооружениям с нестандартным затуханием колебаний необходимо оценить логарифмический декремент колебаний проектируемого сооружения. При этом используются данные о декрементах колебаний, полученные при испытаниях аналогичных объектов и справочные материалы.

В качестве справочного материала для проектирования автодорожных мостов допускается использовать следующие значения относительного коэффициента затухания h:

- стальные пролетные строения - ;

- стальные опоры - ;

- железобетонные опоры - ;

- фундаменты - .

Б.3 Методика нахождения параметров затухания колебаний мостов, оборудованных демпферами

При нахождении характеристик затухания h и , а также коэффициента поглощения энергии колебаний исходят из следующих предпосылок:

1) действие различных механизмов потери энергии колебаний суммируется. Характеристики , h и принимают в качестве констант, соответствующих основной форме собственных колебаний системы;

2) при определении характеристик демпфирования необходимо сначала установить их значения для отдельных частей сооружения и демпферов, а затем найти эти характеристики для сооружения в целом, т.е. расчетные (эквивалентные) характеристики затухания должны учитывать все виды потерь в различных частях и устройствах сооружения;

3) при оценке энергии колебаний и ее потерь следует учитывать допустимые трещины и пластические деформации в элементах сооружения;

4) для оценки характеристик , h и используется теория колебаний осцилляторов с затуханием.

Затухающие колебания системы с одной массой описываются дифференциальным уравнением второго порядка

, (Б.2)

где у - отклонение массы от положения равновесия;

m - масса осциллятора;

n - коэффициент вязкого сопротивления;

k - коэффициент упругого сопротивления.

Уравнение (Б.2) приводят к стандартному виду делением всех членов на m. В результате получают уравнение

, (Б.3)

где - коэффициент затухания;

- квадрат частоты , рад/с, колебаний осциллятора.

Для мостовых сооружений имеет место неравенство . В этом случае решением уравнения (Б.3) является функция

, (Б.4)

где ;

;

;

здесь и - заданные начальные условия (отклонение от положения равновесия и скорость массы m при t = 0).

Имея в виду, что коэффициент затухания существенно меньше частоты , можно полагать и период колебаний осциллятора определять без учета демпфирования, т.е. по формуле

. (Б.5)

Из формулы (Б.4) следует, что отношение предыдущей амплитуды колебаний к последующей амплитуде остается неизменным и равным .

Натуральный логарифм отношения амплитуд называется логарифмическим декрементом колебаний. Формулой (Б.6) удобно пользоваться при оценке характеристик рассеяния энергии колебаний сооружений по данным натурного эксперимента:

. (Б.6)

Движение осциллятора перестает быть колебательным при критических значениях коэффициента затухания . Коэффициент затухания, выраженный в долях критического коэффициента , называется относительным коэффициентом затухания . С учетом и коэффициент h определяют по формуле

. (Б.7)

Формула (Б.7) показывает, что коэффициент h содержит информацию об упругих, демпфирующих и инерционных свойствах осциллятора. Его значение может быть меньше, равно или больше единицы. В первом случае система имеет слабое затухание и совершает гармонические движения с амплитудой, уменьшающейся по экспоненте. Если , то движение массы перестает быть колебательным.

Соотношение (Б.8) между h и показывает, что при движение становится апериодическим:

. (Б.8)

Для характеристики потерь энергии за один цикл колебаний используют коэффициент поглощения энергии

, (Б.9)

где - энергия колебаний в начале цикла;

- потеря энергии за один цикл колебаний.

Потенциальная энергия деформированной системы:

- в начале цикла

;

- в конце цикла

,

где k - коэффициент жесткости системы;

и - последовательные амплитуды колебаний.

Потеря энергии колебаний за один цикл

, (Б.10)

Учитывая, что и , . Следовательно,

, (Б.11)

Искомый коэффициент поглощения связан с декрементом колебаний соотношением

. (Б.12)

График коэффициента поглощения в зависимости от декремента колебаний показан на рисунке Б.1.

По соотношению (Б.12) определяют зависимость, по которой определяется декремент колебаний при известном коэффициенте поглощения :

, (Б.13)

Б.4 Пример определения сейсмической нагрузки с учетом поглощения энергии колебаний демпферами

Приложение приведенных зависимостей показано ниже на примере расчета промежуточной опоры автодорожного путепровода, оборудованного гидравлическими демпферами.

Путепровод расположен в районе сейсмичностью 9 баллов. Неразрезное пролетное строение перекрывает два пролета, опираясь на продольно-подвижные опорные части на крайних опорах и на продольно-неподвижные опорные части на промежуточной опоре. Между концами пролетного строения и крайними опорами установлены гидравлические демпферы (по два демпфера на каждой опоре). Осевая нагрузка на один демпфер 5 тс, ход поршня в цилиндрах см. Принятая конструкция демпферов соответствует колебаниям пролетного строения относительно крайних опор при расчетной амплитуде относительных перемещений 10,6 см.

Расчетная схема секции включает в себя шесть масс, представляющих инерционные свойства фундамента, надфундаментных частей опоры и пролетного строения. Веса частей секции и расчетные скорости их колебаний при сейсмическом воздействии, найденные спектрально-модальным методом, приведены в таблице Б.1.

Таблица Б.1 - Массы и скорости колебаний секции путепровода

Номера частей секции, считая от плиты фундамента промежуточной опоры	Веса частей расчетной схемы , тс	Скорости горизонтальных колебаний масс , см/с
1	269,7	9,7
2	50,4	11,8
3	45,5	23,9
4	20,6	33,4
5	20,6	36,2
6	1854,0	38,1

Считая за начало цикла вертикальное положение промежуточной опоры, при котором кинетическая энергия системы достигает максимума, а потенциальная энергия, обусловленная деформациями конструкции, равна нулю, определяют кинетическую энергию

.

Из этого значения на энергию колебаний фундамента приходится , на энергию колебаний тела опоры выше обреза фундамента и на энергию колебаний пролетного строения .

Коэффициенты поглощения энергии колебаний определены по формулам (Б.8) и (Б.12) при относительном коэффициенте затухания h для фундамента 0,2, для опоры 0,1 и для пролетного строения 0,02.

Коэффициент h = 0,2 учитывает рассеяние энергии за счет сил внутреннего трения в массивной плите свайного ростверка и сил сопротивления грунта обратной засыпки пазух котлована, а также уход энергии в грунт ниже подошвы фундаментной плиты и потери на деформации столбов. Коэффициенту h = 0,2 соответствует декремент колебаний и коэффициент поглощения .

Потеря кинетической энергии телом опоры происходит за счет внутреннего трения в ее кладке и аэродинамического сопротивления. Коэффициенту h = 0,1 соответствуют декремент и коэффициент поглощения .

Потеря энергии колебаний пролетным строением вызывается трением в подвижных опорных частях и гашением в деформационных швах. Коэффициенту h = 0,02 соответствует декремент и коэффициент поглощения .

К этим потерям следует добавить поглощение энергии колебаний в четырех демпферах

, (Б.14)

где n - число демпферов;

A = 10,6 см - амплитуда колебаний пролетного строения;

S = 5 тс - рабочая нагрузка на один демпфер.

Общая потеря энергии за один цикл колебаний секции из промежуточной опоры и пролетного строения

. (Б.15)

Вычисления по формуле (Б.15) позволяют найти потерю энергии . Эквивалентный коэффициент поглощения энергии в системе . Эквивалентный относительный декремент колебаний . Эквивалентный относительный коэффициент затухания .

По найденному h с использованием формулы (Б.1) определяют поправочный коэффициент к сейсмической нагрузке, учитывающий необратимые потери энергии при колебаниях средней секции путепровода , т.е. нагрузка за счет рассеяния энергии колебаний преимущественно в демпферах уменьшается на 7%.

Для снижения сейсмической нагрузки более чем на 7% необходимо увеличить способность демпферов рассеивать энергию колебаний системы. Например, можно использовать демпферы с осевой рабочей нагрузкой 10 тс вместо 5 тс. В этом случае потеря энергии в системе за первый цикл колебаний тсм. При этом характеристики затухания увеличатся до следующих значений: ; , h = 0,15, а коэффициент уменьшится до 0,71.

Следовательно, установка на путепроводе четырех демпферов с рабочей нагрузкой 10 тс на каждый агрегат позволяет уменьшить сейсмическую нагрузку на среднюю секцию сооружения, направленную вдоль его оси, на 29%.