Приложение В (рекомендуемое). Тесты корректности реализации специальных уравнений притока к скважине, учитывающих изменение PVT-свойств флюидов в призабойной зоне, включая возможные фазовые превращения

Приложение В
(рекомендуемое)

Тесты корректности реализации специальных уравнений притока к скважине, учитывающих изменение PVT-свойств флюидов в призабойной зоне, включая возможные фазовые превращения

При моделировании газовых и газоконденсатных месторождений обычно используют гидродинамическую сетку с размером ячейки по латерали не менее 50 м. Однако свойства газа существенно зависят от давления, которое в призабойной зоне скважины, как правило, значительно ниже, чем в среднем по ячейке. Игнорирование изменения свойств газа в призабойной зоне скважины может привести к существенной ошибке в расчетной продуктивности скважины. Для того чтобы этого избежать, разработаны специальные уравнения притока, аналитически учитывающие влияние на продуктивность скважины изменения свойств газа в призабойной зоне:

- уравнение Russell Goodrich позволяет учесть эффект призабойной зоны для идеального газа постоянной вязкости;

- псевдодавление газа позволяет учесть эффект призабойной зоны для реального газа (без учета фазовых превращений);

- обобщенное многофазное псевдодавление позволяет дополнительно учесть влияние на продуктивность скважины в том числе и возможных фазовых превращений в призабойной зоне скважины.

Однако в системе тестов SPE отсутствуют тесты на проверку корректности реализации этих уравнений.

В.1 Тест 1 Случай идеального газа постоянной вязкости

Полный перечень параметров модели приведен в таблице В.1.

В.1.1 Описание модели пласта

Рассматривают горизонтальный однородный изотропный пласт круглой формы (в плане). Размерность сетки фильтрационной модели - 21 x 21 x 1. Радиус круга (по центрам ячеек) - 1000 м. Размер ячейки в плане - 100 м. Мощность пласта - 10 м. Пористость - 20 %, проницаемость - 0,01 мкм².

В.1.2 Свойства флюидов

Однофазная модель содержит только газ. Идеальный газ с постоянной вязкостью - 0,01 .

В.1.3 Начальные и граничные условия

В граничных ячейках либо за счет увеличения порового объема, либо иным способом задают условие постоянного давления (контур питания). Начальное пластовое давление - 15 МПа. Вертикальная добывающая скважина расположена в центре модели в ячейке (11, 11, 1) и вскрывает перфорацией всю толщину пласта. Забойное давление - 10 МПа. Расчет выполнен на один год. Дебит газа на конец расчета считают установившимся.

Рисунок В.1 - Начальные и граничные условия

Таблица В.1 - Параметры модели теста 1

Параметр	Значение
Размерность модели	21 x 21 x 1
Размер ячейки сетки DX x DY x DZ, м	100 x 100 x 10
Мощность пласта h, м	10
Пористость, д.ед.	0,2
Проницаемость k, мкм2	0,01
Температура, °С	20
Вязкость газа ,	0,01
Объемный коэффициент газа, д.ед.	1/р, где р - давление в 0,1 МПа
Радиус контура питания Rc, м	1000
Радиус скважины rw, м	0,1
Давление на контуре питания рс, МПа	15
Забойное давление pw, МПа	10
Сжимаемость пор породы, 1/МПа
Время расчета для получения дебита газа на установившемся режиме	-

В.1.4 Эталонные результаты моделирования

Объемный дебит газа в стандартных условиях при установившемся плоскорадиальном притоке (температура в пласте и на поверхности совпадает) вычисляют по формуле

,

(В.1)

где - давление в стандартных условиях.

Учитывая формулу объемного коэффициента газа, p_srf = 0,1 МПа (не 0,101325 МПа, как обычно).

Тогда эталонное значение объемного дебита газа равно: Q = 368,382 тыс. м³/сут.

В.1.5 Критерии оценки

Оценивают отклонение расчетного значения дебита газа через один год после начала моделирования от эталонного значения 368,382 тыс. м³/сут.

Допустимая относительная погрешность - 5 %.

В.2 Тест 2 Случай реального газа

Полный перечень параметров модели приведен в таблице В.2.

В.2.1 Описание модели пласта

Рассматривают горизонтальный однородный изотропный пласт круглой формы (в плане). Размерность сетки фильтрационной модели - 21 x 21 x 1. Радиус круга (по центрам ячеек) - 1000 м. Размер ячейки в плане - 100 м. Мощность пласта - 10 м. Пористость - 20 %, проницаемость - 0,01 мкм².

В.2.2 Свойства флюидов

Модель однофазная и содержит только газ.

Сверхсжимаемость Z задана зависимостью: Z(p) = (p/p_w) 0,5.

Вязкость газа, , задана зависимостью: (р) = .

В.2.3 Начальные и граничные условия

В граничных ячейках либо за счет увеличения порового объема, либо иным способом задают условие постоянного давления (контур питания). Начальное пластовое давление - 15 МПа. Вертикальная добывающая скважина расположена в центре модели в ячейке (11, 11, 1) и вскрывает перфорацией всю толщину пласта. Забойное давление - 10 МПа. Расчет выполнен на один год. Дебит газа на конец расчета считают установившимся.

Рисунок В.2 - Начальные и граничные условия

Таблица В.2 - Параметры модели теста 2

Параметр	Значение
Размерность модели	21 x 21 x 1
Размер ячейки сетки DX x DY x DZ, м	100 x 100 x 10
Мощность пласта h, м	10
Пористость, д.ед.	0,2
Проницаемость k, мкм2	0,01
Температура, °С	20
Вязкость газа ,	(p) =
Коэффициент сверхсжимаемости газа, д.ед.	Z(p) = (p/pw)0,5
Радиус контура питания Rc, м	1000
Радиус скважины rw, м	0,1
Давление на контуре питания рс, МПа	15
Забойное давление pw, МПа	10
Сжимаемость пор породы, 1/МПа
Время расчета для получения дебита газа на установившемся режиме	-

В.2.4 Эталонные результаты моделирования

Функцией Лейбензона называется следующая функция:

,

(В.2)

где - проницаемость;

- вязкость флюида;

- плотность флюида.

Функция Лейбензона определена с точностью до константы (как потенциал поля скоростей потока).

Для плоскорадиального потока (с нулевым скин-фактором) справедлива следующая формула массового дебита (жидкости или газа):

,

(В.3)

где - массовый дебит;

h - мощность пласта;

- радиус контура питания;

- радиус скважины;

- давление на контуре питания;

- забойное давление в скважине.

При вычислении интеграла, входящего в функцию Лейбензона, с учетом принятых зависимостей получают следующую формулу для объемного дебита газа:

.

(В.4)

Таким образом, значение дебита газа, рассчитанное аналитически, равно: Q = 264,934 тыс. м³/сут.

В.2.5 Критерии оценки

Оценивают отклонение расчетного значения дебита газа через один год после начала моделирования от эталонного значения 264,934 тыс. м³/сут.

Допустимая относительная погрешность - 5 %.

В.3 Тест 3 Нефтяная залежь, разрабатываемая на забойных давлениях ниже давления насыщения

Полный перечень параметров модели приведен в таблице В.3.

В.3.1 Описание модели пласта

Рассматривают горизонтальный однородный изотропный пласт круглой формы (в плане). Размерность сетки фильтрационной модели - 21 x 21 x 1. Радиус круга (по центрам ячеек) - 1000 м. Размер ячейки в плане - 100 м. Мощность пласта - 10 м. Пористость - 20 %, проницаемость - 0,1 мкм².

В.3.2 Свойства флюидов

Модель двухфазная: нефть, газ.

Свойства флюидов и зависимости PVT-свойств от давления представлены в таблице В.3.

В.3.3 Относительные фазовые проницаемости

Остаточная нефтенасыщенность (при вытеснении нефти газом) равна 10 %. ОФП заданы квадратичными зависимостями:

,

(В.5)

,

(В.6)

где s - газонасыщенность.

Рисунок В.3 - Относительные фазовые проницаемости

В.3.4 Начальные и граничные условия

В граничных ячейках либо за счет увеличения порового объема, либо иным способом задают условие постоянного давления (контур питания). Начальное пластовое давление - 15 МПа. Вертикальная добывающая скважина расположена в центре модели в ячейке (11, 11, 1) и вскрывает перфорацией всю толщину пласта. Забойное давление - 3 МПа. Расчет выполнен на один год. Дебит нефти на конец расчета считают установившимся.

Рисунок В.4 - Начальные и граничные условия

Таблица В.3 - Параметры модели теста 3. В зависимостях свойств от давления, единица измерения давления бар (0,1 МПа)

Параметр	Значение
Размерность модели	21 x 21 x 1
Размер ячейки сетки DX x DY x DZ, м	100 x 100 x 10
Мощность пласта h, м	10
Пористость, д.ед.	0,2
Проницаемость k, мкм2	0,1
Радиус контура питания Rc, м	1000
Радиус скважины rw, м	0,108
Давление на контуре питания рс, МПа	15
Давление насыщения нефти газом рb, МПа	9,5
Забойное давление pw, МПа	3
Объемный коэффициент нефти предельно насыщенной газом Вo, д.ед
Сжимаемость нефти, 1/МПа
Вязкость нефти предельно насыщенной газом ,
Сжимаемость вязкости нефти, 1/МПа	0,01
Газосодержание Rs нефти, предельно насыщенной газом, м3/м3
Объемный коэффициент газа Вg, д.ед.	р-1,02
Вязкость газа ,
Плотность разгазированной нефти, кг/м3	863
Молярная масса нефти, г/моль	212
Молярная масса газа, г/моль	31,3

В.3.5 Эталонные результаты моделирования

Обобщенное псевдодавление позволяет свести задачу установившегося движения многокомпонентной многофазной смеси к задаче движения (однофазной) жидкости.

Основа этого метода разработана С.А. Христиановичем в конце 40-х годов XX века. Позднее Whitson и Fevang предложили использовать обобщенное псевдодавление для моделирования эффекта образования в призабойной зоне газоконденсатной банки.

Рассматривают установившееся плоскорадиальное течение многокомпонентной многофазной смеси в однородном изотропном пласте.

Многофазное течение состоит из n_p фаз, которые содержат n_c компонентов. Не обязательно каждая фаза должна содержать все компоненты, но в общем случае каждый компонент может в определенных пропорциях присутствовать во всех фазах. Используют индекс i для обозначения компонентов, а индекс j - для обозначения фаз.

Такой подход одинаково хорошо применим как для модели черной нефти, так и для композиционной модели. В случае модели черной нефти компонентами являются поверхностная нефть, поверхностный газ и вода. В пласте они могут находиться в нескольких фазах. Например, газ может быть как в свободном состоянии, так и растворенным в нефти. Нефть также может находиться как в свободном состоянии, так и быть растворенной в газе (летучая нефть). Таким образом, все, что описано далее, относится как к моделям черной нефти, так и к композиционным моделям.

Через x_ij обозначают молярную долю компонента i в фазе j.

Обозначают через r расстояние до скважины. Так как течение плоскорадиальное, а пласт изотропный (проницаемость и другие свойства не зависят от направления), то градиент давления будет направлен по радиусу, то есть равен dp/dr.

Из обобщенного закона Дарси следует, что молярная скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления

,

(В.7)

где - молярная плотность потока компонента i в фазе j, моль/;

- вектор насыщенности фаз.

Все его компоненты неотрицательные, а их сумма равна 1;

- обобщенная молярная подвижность компонента i в фазе j.

,

(В.8)

где - молярная плотность фазы j;

- абсолютная проницаемость;

- относительная фазовая проницаемость фазы j;

- вязкость фазы j.

Таким образом, обобщенная подвижность учитывает влияние вязкости, объемного коэффициента (через молярную плотность), а также относительной и абсолютной проницаемостей.

Обозначают:

через - суммарную молярную плотность потока компонента i;

- полную молярную плотность потока.

Аналогично:

- обобщенная молярная подвижность компонента i;

- полная обобщенная молярная подвижность.

Если течение установившееся, то доля компонентов в потоке смеси должна оставаться постоянной (учитывается только доля в подвижных флюидах). В противном случае это означало, что какой-то компонент накапливается в пласте, то есть течение нестационарное. Таким образом, доля каждого компонента в потоке z_i есть величина постоянная:

.

(В.9)

Это означает, что вектор насыщенности фаз S не может быть произвольным, а имеет при каждом давлении строго определенное значение. Таким образом, если известна доля каждого компонента в потоке, то можно выразить насыщенность фаз S как функцию давления S(p). Часто это трудно сделать аналитически, но, по крайней мере, внутри симуляторов возможно численное решение этой задачи. В настоящем стандарте не будет рассмотрен вопрос существования и единственности для каждого давления р такого вектора S(p), что выполнено (В.9). Обычно ОФП и свойства флюидов заданы таким образом, что это условие выполнено.

Таким образом, обобщенные подвижности становятся известными функциями давления р. Тогда из (В.7) для каждого компонента i

.

(В.10)

Рассматривают в пласте цилиндр радиуса r и высоты h, в центре которого находится скважина. Так как течение установившееся, то суммарный молярный поток компонента i через боковую поверхность цилиндра не зависит от радиуса r и равен молярному дебиту Q_j этого компонента в скважине. То есть

.

(В.11)

Выражая из (В.11) v_i и подставляя в (В.10), получают:

.

(В.12)

Интегрируя левую и правую части данного уравнения, получают формулу для молярного дебита компонента i

.

(В.13)

Функцию H_i(p) в российской литературе называют функцией Христиановича.

Вычислять для каждого компонента свой интеграл неэффективно. Вместо этого достаточно выполнить вычисления только для суммарной обобщенной подвижности, вычислив суммарный молярный дебит всех компонентов

.

(В.14)

При этом дебит каждого компонента можно найти по его известной доле в потоке

.

(В.15)

Для того чтобы перейти от молярного дебита компонента к объемному, необходимо разделить молярный дебит на молярную плотность этого компонента в стандартных условиях

.

(В.16)

В формуле (В.16) подчеркнута возможность зависимости молярной плотности компонента от температуры. При выводе формулы (В.14) предполагалось, что температура в пласте постоянна, но она может не совпадать с температурой в стандартных условиях. Если в стандартных условиях компонент входит более чем в одну фазу, то формула (В.16) теряет смысл, либо молярная плотность b_compi должна быть рассчитана с учетом долей компонента во всех фазах.

Обозначают через b_o и b_g молярные плотности нефти и газа в стандартных условиях. Поскольку на контуре питания нефть недонасыщена газом, то поток однофазный (нефть), но содержит в себе и компоненту газа (в растворенном состоянии), и компоненту нефти. Таким образом, молярная доля компонента нефти в потоке известна и составляет

.

(В.17)

Вектор насыщенностей S = (s_o, s_g) выражен как функция давления. Так как s_o = 1 - s_g, то достаточно это сделать только для газонасыщенности s_g. Очевидно, что при давлении выше давления насыщения р_b газонасыщенность равна нулю. При давлении ниже давления насыщения р_b в плате будут присутствовать как фаза нефти, содержащая нефть и растворенный газ, так и фаза газа, содержащего только компонент газа. Учитывая принятые зависимости (см. таблицу В.3) и ОФП, молярные подвижности при этом имеют вид

,

(В.18)

,

(В.19)

,

(В.20)

,

(В.21)

где ,

(В.22)

,

(В.23)

.

(В.24)

Тогда

.

(В.25)

После несложных алгебраических преобразований получают

,

(В.26)

где

,

(В.27)

Отсюда

.

(В.28)

Теперь, когда насыщенность выражена как функция давления, можно записать полную молярную подвижность как функцию давления. Однако аналитическое вычисление интеграла от полной молярной подвижности весьма затруднительно. Поэтому данный интеграл вычислен численно с точностью до шести значащих цифр. В результате по формулам (В.14)-(В.16) получено значение дебита нефти 62,455 м³/сут. Это значение, полученное аналитически.

В.3.6 Критерии оценки

Оценивают отклонение расчетного значения дебита нефти через один год после начала моделирования от эталонного значения 62,455 м³/сут.

Допустимая относительная погрешность - 5 %.

В.4 Тест 4 Газоконденсатная залежь, разрабатываемая на забойных давлениях ниже давления начала конденсации

Полный перечень параметров модели приведен в таблице В.4.

В.4.1 Описание модели пласта

Рассматривают горизонтальный однородный изотропный пласт круглой формы (в плане). Размерность сетки фильтрационной модели - 21 x 21 x 1. Радиус круга (по центрам ячеек) - 1000 м. Размер ячейки в плане - 100 м. Мощность пласта - 10 м. Пористость - 20 %, проницаемость - 0,01 мкм².

В.4.2 Свойства флюидов

Модель двухфазная: нефть, газ.

Свойства флюидов и зависимости PVT-свойств от давления представлены в таблице В.4.

В.4.3 Относительные фазовые проницаемости

Остаточная нефтенасыщенность (при вытеснении нефти газом) равна 10 %. ОФП заданы квадратичными зависимостями:

,

(В.29)

,

(В.30)

где s - газонасыщенность.

Рисунок В.5 - Относительные фазовые проницаемости

В.4.4 Начальные и граничные условия

В граничных ячейках либо за счет увеличения порового объема, либо иным способом задают условие постоянного давления (контур питания). Начальное пластовое давление - 15 МПа. Вертикальная добывающая скважина расположена в центре модели в ячейке (11, 11, 1) и вскрывает перфорацией всю толщину пласта. Забойное давление - 3 МПа. Расчет выполнен на один год. Дебит нефти на конец расчета считают установившимся.

Рисунок В.6 - Начальные и граничные условия

Таблица В.4 - Параметры модели теста 4

Параметр	Значение или зависимость, здесь р - давление, 0,1 МПа (бар)
Мощность пласта h, м	10
Пористость, д.ед.	0,2
Проницаемость K, мкм2	0,01
Радиус контура питания Rc, м	1000
Радиус скважины rw, м	0,108
Давление на контуре питания рс, МПа	30
Давление точки росы рb, МПа	23
Забойное давление pw, МПа	15
Объемный коэффициент нефти, предельно насыщенной газом Вo, д.ед
Вязкость нефти, предельно насыщенной газом ,
Газосодержание Rs нефти, предельно насыщенной газом, м3/м3
Объемный коэффициент газа, предельно насыщенного нефтью Вg, д.ед.
Объемный коэффициент газа, недонасыщенного нефтью с Rv, равным начальному, д.ед.
Вязкость газа, предельно насыщенного нефтью, ,
Вязкость газа, недонасыщенного нефтью, с Rv, равным начальному,
Плотность разгазированной нефти, кг/м3	780
Молярная масса нефти, г/моль	132
Молярная масса газа, г/моль	25,83

В.4.5 Эталонные результаты моделирования

Аналитическое значение дебита газа находится тем же методом и по аналогичным формулам, что и в тесте 3 (подраздел В.3). С учетом принятых зависимостей свойств от давления получают следующее аналитическое значение дебита газа: 300,308 тыс. м³/сут.

В.4.6 Критерии оценки

Оценивают отклонение расчетного значения дебита газа через один год после начала моделирования от эталонного значения 300,308 тыс. м³/сут.

Допустимая относительная погрешность - 5 %.