Приложение С (справочное). Преобразование системы координат

Приложение С
(справочное)

Преобразование системы координат

С.1 Общие положения

В настоящем приложении рассматриваются некоторые аспекты задачи преобразования системы координат (см. 9.3). В разделе С.2 приведен аналитический вывод совместной плотности распределения для Y в случае, когда X₁ описывается нормальным распределением N(х₁, ), а Х₂ - нормальным распределением и при этом Х₁ и Х₂ взаимно независимы.

С.2 Аналитическое решение для особого случая

С.2.1 Предположим, что X имеет плотность распределения и  = f^-1() - взаимно-однозначное преобразование значений  = (, ..., )^T величины Y в значения  = (, ..., )^T величины X. Тогда [19, страница 35] Y имеет плотность распределения

,

(С.1)

где det(J) - детерминант матрицы Якоби J,

,

рассматриваемый как функция . Предполагается, что det(J) нигде не равен нулю или бесконечности.

Примечание 1 - Формулу (С.1) иногда называют формулой замены переменных.

Примечание 2 - В случае одномерной величины (N = 1) преобразование переменных  = f(), где f(.) - дифференцируемая и монотонная функция, дает следующую плотность распределения для Y [21, страницы 57-61]:

.

С.2.2 Для задачи преобразования системы координат, рассмотренной в 9.3, X = (X₁, Х₂)^Т со значениями  = (, )^Т, Y = (Я, )^Т со значениями  = (, )^Т и

.

Таким образом,

и

.

Из этого следует, что при  > 0

.

С.2.3 Рассмотрим случай, когда Х₁ описывается нормальным распределением N(x₁, ), а Х₂ - нормальным распределением N(x₂, ) и Х₁ и Х₂ взаимно независимы. Тогда

и

.

С.2.4 Маргинальное распределение для Y₁ = R имеет вид

,

(С.2)

где

,

а l₀ - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Примечание 1 - Полученное распределение представляет собой распределение Раиса с параметрами y₁ и u_х.

Примечание 2 - Если y₁ = 0, то данное распределение является распределением Рэлея с параметром u_х.

Примечание 3 - Если u_х = 1, то данное распределение представляет собой нецентральное распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы и параметром нецентральности .

С.2.5 Маргинальное распределение для Y₂ =  имеет вид

,

(С.3)

где

,

а

дополнительная функция ошибок.

С.2.6 Если, кроме того, выполнено условие х₁ = х₂ = 0, тогда

,

и, следовательно, Y₁ и Y₂ взаимно независимые величины с маргинальным распределением Рэлея с параметром u_х для Y₁,

,

и маргинальным равномерным распределением на интервале от до для Y₂,

.

С.3 Применение способа оценивания неопределенности по GUM

С.3.1 Для задачи преобразования системы координат, рассмотренной в 9.3, модель измерения может быть записана как двумерная модель

,

при этом подразумевается, что Y₁  0 и . Входные величины Х₁ и Х₂ имеют оценки х₁ и х₂, соответствующие стандартные неопределенности u(х₁) и u(х₂) и ковариацию u(x₁, х₂).

С.3.2 Из 6.2.1.2 следует, что оценки величин Y₁ и Y₂ имеют вид

.

С.3.3 Матрицу чувствительности С_х размерности 2 х 2 получают, вычисляя

в точке X₁ = х₁, Х₂ = х₂. Таким образом, при условии получаем

.

С.3.4 Из 6.2.1.3 следует, что

является ковариационной матрицей, соответствующей оценкам y = (y₁, y₂)^Т, с u(y₂, y₁) = u(y₁, y₂) и

,

,

.

С.3.5 В рамках способа оценивания неопределенности по GUM Y приписывают двумерное нормальное распределение N(y, U_y), по которому могут быть построены области охвата для Y при заданной вероятности охвата р (см. 6.5).

С.3.6 Рассмотрим случай, когда u(х₁) = u(х₂) = u_х и u(x₁, х₂) = 0 (см. С.2.3). Тогда

с Y, характеризуемым двумерным нормальным распределением, как в С.3.5. Т.е. в этом случае Y₁ и Y₂ являются независимыми величинами, и двумерное нормальное распределение для Y₁ и Y₂ распадается на два одномерных распределения, N(y₁, u²(y₁)) и N(y₂, u²(y₂)) соответственно.

Примечание - Напротив, при аналитическом решении (см. С.2) в случае, когда Y не характеризуется двумерным распределением Гаусса, выполнения условий u(х₁) = u(х₂) и u(х₁, х₂) = 0 недостаточно для независимости Y₁ и Y₂. Чтобы выходные величины были независимы, необходимо также, чтобы х₁ = х₂ = 0 (см. С.2.6).